1、一题多变一题多解（十四）谈谈圆锥曲线中的变式题问题1：设椭圆过点，且左焦点为.（1） 求椭圆的方程；（2） 当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足.证明：点总在定直线上.解答：第（1）题易得椭圆方程为（过程略）；主要第（2）题证明如下：ABPQ如图，设，由三角形的相似得：化简得：现设直线（k必存在）代入椭圆方程，得： 由韦达定理，得：代入式，化简得： ，代入直线方程，得：两式联立，消去，得：，即点在定直线上，得证.变1：设椭圆，当过点（其中）的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足证明：点在定直线上.变2：设双曲线，过点（其中）的动直线与双曲线相交于两不同点，在线段
2、上取点，满足证明：点在定直线上.证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（，且不同时小于）（注：实际上还可包括圆）；设直线（注：当k不存在的情况需另行证明，这里略），两式联立，消去，得：设，得现设，由条件知，点在线段外，不失一般性，在图象中，从左到右这四个字母的顺序是，故由三角形的相似得：，即现韦达定理代入式，化简得：，化简得：点在直线上，得证.变3：设抛物线，当过点（其中）的动直线与抛物线相交于两不同点，在线段上取点，满足证明：点在定直线上.证明：设直线，代入抛物线方程，得：设，得现设，由条件知，点在线段外，不失一般性，在图象中，从左到右这四个字母的顺序是，故由三角形的相似得：
3、，即：现韦达定理代入式，化简得：，化简得：点在直线上，得证.问题2：（同问题1）变1：已知定点和椭圆，直线分别与椭圆相切于点，直线PAB与椭圆相交于A，B两点，Q在线段AB上，若满足，则点Q在定直线MN上.证明：由问题2的变1的结论，只需证：切点M，N在定直线上.先在椭圆方程里对求导，得：设切点M（N）的坐标是，代入式，得化简，得 切点M，N在定直线上.得证.变2：已知定点和抛物线，直线分别与抛物线相切于点，直线PAB与抛物线相交于A，B两点，Q在线段AB上，若满足 ，则点Q在定直线MN上.证明：由问题2的变3的结论，只需证：切点M，N在定直线上.先在抛物线方程里对求导，得：设切点M（N）的坐
4、标是，代入式，得化简，得切点M，N在定直线上.问题3：椭圆左右焦点是，抛物线的焦点也是，点M是两曲线在第一象限的交点，且，求椭圆方程.解答：由共焦点知：椭圆中的；又抛物线的准线必过椭圆的左焦点，所以所以变1：设抛物线和椭圆的公共焦点为，是椭圆的左焦点，是两曲线的交点，椭圆的离心率是的面积是，则：证明：（1）由共焦点知，联立，得： （2）（3）设，则又由余弦定理，（4）变2：设抛物线和双曲线的公共焦点为，是双曲线的左焦点，是两曲线的交点，双曲线的离心率是的面积是，则：证明：（1）由共焦点知，联立，得：（2）（3）设，则又由余弦定理，（4）变3：设椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个交点，的面
5、积为，证明：证明：（1）由共焦点知：联立方程组：两式相加，得：所以：，所以：同理可证：(2)由(1),得：(3) 设,由(2)：又由余弦定理，(4)由椭圆和双曲线的第一定义，分别得：所以：问题4：设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，定点，求证：三点共线.证明：设，（这里m是定值，n是变量）切点对双曲线两边求导，得：点代入，得：，化简，得：同理，点代入，得：即所在直线为： 令，则即也在直线上，所以三点共线.变1：已知双曲线及定点，过直线上任一点P作双曲线的两条切线，切点为，求证：三点共线.变2：已知及定点，过直线上任一点P作椭圆的两条切线，切点为，求证：三点共线.证明：这两个命题可
6、以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（，且不同时小于）（注：实际上还可包括圆）两边求导，得：设，（这里m是定值，n是变量）代入，得：，即：所以同理，代入，得所以所在直线方程为令，得，即点在直线上.变3：已知抛物线及定点，过直线上任一点P作抛物线的两条切线，切点为，求证：三点共线.证明：对两边求导，设，（这里m是定值，n是变量）代入，得：，即： 所以：同理，代入，得所以所在直线方程为，令，得即点在直线上.问题5：过定点（0m0），过M的直线交抛物线于A，B两点，过A，B作抛物线的两条切线，交于点P，求证：P在直线上证明：对两边求导，设，代入，得：，即： 所以：同理，代入，得所以所在直线方程为因为
7、定点在直线AB上，所以：，所以：所以在直线上问题6：椭圆的一个焦点为且过点.(1)求椭圆的方程；(2)若AB为垂直于x轴的动弦，直线与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证点M恒在椭圆上.证明：(1) 椭圆的方程：（过程略）(2)当AB过焦点F时，易证。现证AB不过焦点F时的情形：设，则，且有所以：，直线 ，直线联立，解得：，即所以： 即点M恒在椭圆上.变1：椭圆的一个焦点为，其中，一条准线：交x轴于点N（称它为准点），若AB为垂直于x轴的动弦，求证：直线AF与BN的交点M必在椭圆上.变2：双曲线的一个焦点为，其中，一条准线：交x轴于点N（称它为准点），若AB为垂直于x轴的动弦，求证：直线
8、AF与BN的交点M必在双曲线上.证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（，且且当时）则，准线当AB过焦点F时，易证。现证AB不过焦点F时的情形：设，则，且有所以：，直线 ，直线联立，解得：，即为点M的坐标所以：即点M在曲线上，得证.变3：抛物线的焦点为F，准线交x轴于点N（准点），若AB为垂直于x轴的一条动弦，求证：直线AF与BN的交点M必在抛物线上.证明：当AB过焦点F时，易证。现证AB不过焦点F时的情形：设，则，且有所以：，直线 ，直线两式联立，得：，即为点M的坐标所以：即点M在抛物线上，得证.问题7：已知椭圆方程， ，M为椭圆上一点，且MF不垂直x轴，直线MF，MN分别交
9、椭圆于另一点A，B，求证：轴证明：设，则有所以：，直线代入椭圆，得： 即：由韦达定理，得：同理：，所以，而AB显然不平行于x轴，所以轴变1：已知椭圆， ，M为椭圆上一点，且MF不垂直x轴，直线MF，MN分别交椭圆于另一点A，B，求证：轴变2：已知双曲线， ，M为双曲线上一点，且MF不垂直x轴，直线MF，MN分别交双曲线于另一点A，B，求证：轴证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（，且且当时）则，设，则有所以：，直线，代入，得由韦达定理：所以：同理，在上式中，用换掉，即得： 而由圆锥曲线的对称性知：，所以轴变3：抛物线的焦点为，准点，M为抛物线上一点，且MF不垂直x轴，直线MF
10、，MN分别交抛物线于另一点A，B，求证：轴证明：设，则有所以：，直线，代入得：由韦达定理： ，所以：同理可得： 所以而由圆锥曲线的对称性知：，所以轴高一数学测试题一 选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设集合x0,B=x|-1x3,则AB=（ ）A-1,0 B-3,3 C0,3 D-3,-12.下列图像表示函数图像的是（ ）A B C D3. 函数的定义域为（ ）A(5，) B5，C(5，0) D (2，0)4. 已知，则的大小关系是（ ）A B C D 5.函数的实数解落在的区间是（ ） 6.已知则线段的垂直平分线的方程是（ ）
11、7. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 8. 如图，在RtABC中，ABC=90，P为ABC所在平面外一点PA平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形。 A 4 B 3 C 2 D 19.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（） A B C D 10 .在圆上，与直线的距离最小的点的坐标为（ ） 二 填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分11.设，则的中点到点的距离为 .12. 如果
12、一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm）， 则此几何体的表面积是 .13.设函数在R上是减函数，则的范围是 .14.已知点到直线距离为，则= .三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15. （本小题满分10分）求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程（一般式）.16. （本小题满分14分）如图，的中点.（1）求证：；（2）求证：； 17. （本小题满分14分）已知函数（14分）（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并证明；18. （本小题满分14分）当，函数为，经过（2，6），当时为，且过（-2，-2），（1）求的解析式；（2）求；（3）作出的
13、图像，标出零点。19. （本小题满分14分）已知圆：，（1）求过点的圆的切线方程；（2）点为圆上任意一点，求的最值。20.（本小题满分14分）某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如下图，每月各种开支2000元，（1） 写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系。（2） 该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？（3） 当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值。答案一选择（每题5分） 1-5 A C A C B 6-10 B D A B C二填空（每题5分） 11. 12. 13.
14、14. 1或-3三解答题15.（10分） 16.（14分） （1）取1分 为中点， （2）17.（14分）（1）由对数定义有 0，（2分）则有（2）对定义域内的任何一个，1分都有， 则为奇函数4分18.14分（1）.6分（2） 3分（3）图略3分. 零点0，-12分19.14分（1）设圆心C，由已知C(2,3) , 1分AC所在直线斜率为， 2分则切线斜率为，1分则切线方程为。 2分（2）可以看成是原点O(0,0)与连线的斜率，则过原点与圆相切的直线的斜率为所求。1分圆心（2，3），半径1，设=k，1分则直线为圆的切线，有，2分解得，2分 所以的最大值为，最小值为 2分20.14分（1） 4分（2）当时，1分即，解得，故; 2分当时， 1分即，解得，故。2分所以（4） 每件19.5元时，余额最大，为450元。4分25
