1、aabb2222)(bababa 二项式定理，又称牛顿二项式二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克定理，由艾萨克牛顿于牛顿于16641664、16651665年间提出年间提出二项式定理在组合理论、开高二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用及差分法中都有广泛的应用 物理是我物理是我的强项的强项数学上我同样有建树数学上我同样有建树2222)(bababa 其中提及：其中提及：3223333)(babbaaba 公元公元1313世纪世纪 九章算术九章算术?)(nba二项式二项式11-1311-13世纪世纪 六次幂的系数表六次幂的系数表
2、中国数学家中国数学家贾宪、杨辉贾宪、杨辉1313世纪世纪 阿拉伯数学家阿拉伯数学家阿尔图斯阿尔图斯 1212次幂的系数表次幂的系数表1616世纪世纪 德国数学家德国数学家斯蒂菲尔斯蒂菲尔1616次幂的系数表次幂的系数表16541654年：年：法国数学家法国数学家 帕斯卡帕斯卡)()(*Nnban?)(4 ba?)(3 ba?)(2 banba)(二项式定理研究的是二项式定理研究的是 的展开式的展开式.222baba?)(100 ba )()(2baba )()(3baba此法此法有困难有困难?)(nba展开式有几项？每一项是怎样构成的？展开式有几项？每一项是怎样构成的？的展开式是什么？的展开式
3、是什么？)(2121bbaa 问题问题1:1:展开式中展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？每一项是怎样构成的？展开式有几项？)()(212121ccbbaa 问题问题2:2:多项式乘法的多项式乘法的再认识再认识规律规律:每个括号内任取一个字母相乘构每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项成了展开式中的每一项.)()(bababa 3aba22ab3b 项：系数：113C23C33C03C)()(bababa )()(bababa )()(bababa ba2分析分析13C3332232133033)(bCabCbaCaCba 3)(ba 展开式：探究探究1 1 推导推导 的展开
4、式的展开式.3)(ba kkba 33,2,1,0 kkC3探究3：请分析 的展开过程，证明猜想.展开式的第项？求 的展开式中的 的系数展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？字母a按降幂排列，次数由n递减到0,思考2：展开式的第项展开式的第项？规律:每个括号内任取一个字母相乘构展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664、1665年间提出例：求 的展开式(2)用计数原理分析二项式的展开过程.思考1：展开式的第项二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用的系数是多少
5、？(2)二项展开式的通项：的展开式是什么？3)(ba 4)(ba 2)(ba 2a22C2 ab2b02C12C03C 2ab ba2 3a13C23C33C3b 4a04C24C14C34C44C ba3 22ba 3ab4b?)(nba探究探究2 2 仿照上述过程仿照上述过程,推导推导 的展开式的展开式.4)(ba nnbabababa)()()(项：系数：kknba 分析分析相乘相乘个个)(ba naba中选中选个个)(kn bba中选中选个个)(kknC0nC1nCnnCknC)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn 探究探究3 3：请分析请分析 的展开过
6、程，证明猜想的展开过程，证明猜想.nba)(naban 1 kknba nb展开式：二项展开式的通项二项展开式的通项:1kT二项式系数二项式系数:),2,1,0(nkCkn 项数：项数：次数：次数：共有共有n1项项 各项的次数都等于各项的次数都等于n，kknknbaC)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn 字母字母a按按降幂降幂排列排列，次数由次数由n递减到递减到0,字母字母b按按升幂升幂排列排列，次数由次数由0递增到递增到n.杨辉，南宋时期杰出杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育的数学家和数学教育家家二项式定理二项式定理?)1(nx)()(*110NnbCba
7、CbaCaCbannnkknknnnnnn?)(nbannnkknknnnnnbCbaCbaCaC)()()(110 nnnnknnnxCxCxCC 10二项式定理二项式定理 例：求例：求 的展开式的展开式6)12(xx 解解:直接展开直接展开)1()2()2()12(5166066xxCxCxx 6665564246)1()1)(2()1()2(xCxxCxxC 33362426)21()2()21()2(xxCxxC 32231126016024019264xxxxxx 例例1求求 的展开式的展开式6)12(xx 先化简后展开先化简后展开32231126016024019264xxxxxx
8、 6366)12(1)12()12(xxxxxx42651663)2()2()2(1xCxCxx )2()2()2(6656246336CxCxCxC 例：求例：求 的展开式的展开式6)12(xx 解解:解解:例：求例：求 的展开式的展开式61(2 x)x 666312x 11(2 x)()(2x 1)xxx 1.1.直接展开直接展开24265166066)1()2()1()2()2()12(xxCxxCxCxx2.2.先化简后展开先化简后展开32236012164192240160 xxxxxx=-+-+-+66655642463336)1()1)(2()1()2()1()2(xCxxCxx
9、CxxC 思考思考：解解:例：求例：求 的展开式的展开式61(2 x)x 思考思考3 3：你能否直接求出你能否直接求出 展开式的第项？展开式的第项？思考思考1 1：展开式的第项展开式的第项 的系数是多少？的系数是多少？思考思考2 2：展开式的第项展开式的第项 的二项式系数是多少？的二项式系数是多少？666312x 11(2 x)()(2x 1)xxx 322364x192x240 x 16060121.xxx 31x 62x 516C2x 426C2x 336C2x 246C2x 56C2x 66C 解解:例：例：61(2 x)x 思考思考3 3：你能否直接求出你能否直接求出 展开式的第项？展
10、开式的第项？思考思考1 1：展开式的第项展开式的第项 的系数是多少？的系数是多少？思考思考2 2：展开式的第项展开式的第项 的二项式系数是多少？的二项式系数是多少？242612)1()2(xxCT x240 展开式的展开式的第项的第项的系数是系数是240240，二项式系数是二项式系数是1515。求求 的展开式中的第的展开式中的第4 4项的系数项的系数7(1 2)x例例2 237 333 171(2)TxC解：3280 x因此展开式中第因此展开式中第4 4项的系数是项的系数是280280变式：变式：求该展开式中的二项式系数最大的项求该展开式中的二项式系数最大的项求该展开式中的中间项求该展开式中的
11、中间项37 333471(2)280TxxC47 444571(2)560TxxC例例3 3 求求 的展开式中的的展开式中的 的系数的系数91()xx3x1rT9 29(1)rrrxC 991()rrrxxC根据题意得根据题意得：923r3r 所以所以展开式中的展开式中的 的系数是的系数是-84-843x339(1)84C 例例4 4若今天是星期五，再过若今天是星期五，再过 天后的那一天是星期几？天后的那一天是星期几？10080199100100100100991001001001008(7 1)77.7CCCC除以除以7 7余余1 1，所以那一天是星期，所以那一天是星期六(2)(2)二项展开式的通项：二项展开式的通项：kknknkbaCT 11.1.二项式定理：二项式定理：2 2思想方法思想方法)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn (1)(1)二项式系数：二项式系数：),2,1,0(nkCkn(2)(2)用计数原理分析二项式的展开过程用计数原理分析二项式的展开过程.(1)(1)从特殊到一般的数学思维方式从特殊到一般的数学思维方式.(3)(3)类比、等价转换的思想类比、等价转换的思想.
