1、 专题专题 0 06 6 一次函数的应用一次函数的应用问题问题 【典例分析】 【考点【考点 1】行程问题行程问题 【例【例 1 1】（2019 浙江中考真题）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距浙江中考真题）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距 2400 米米. 甲从小区甲从小区 步行去学校，出发步行去学校，出发 10 分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后， 立即步行走回学校立即步行走回学校. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快已知甲步行的速度比乙步行的速度
2、每分钟快 5 米米. 设甲步行的时间为设甲步行的时间为x(分分)，图，图 1 中线中线 段段OA和和折线折线B CD分别表示甲、乙离开小区的路程分别表示甲、乙离开小区的路程y(米米)与甲步行时间与甲步行时间x(分分)的函数关系的图象；图的函数关系的图象；图 2 表示甲、乙两人之间的距离表示甲、乙两人之间的距离s(米米)与甲步行时间与甲步行时间x(分分)的函数关系的图象的函数关系的图象(不完整不完整).根据图根据图 1 和图和图 2 中所给信中所给信 息，解答下列问题：息，解答下列问题： (1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程； (2)求乙骑自行
3、车的速度和乙到达还车点时甲、乙求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；两人之间的距离； (3)在图在图 2 中，画出当中，画出当2530x时时s关于关于x的函数的大致图象的函数的大致图象. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上温馨提示：请画在答题卷相对应的图上) 【答案】【答案】(1)甲步行的速度是 80 米/分，乙出发时甲离开小区的路程是 800 米；(2)乙到达还车点时，甲、乙 两人之间的距离是 700 米；(3)图象如图所示见解析. 【解析】【解析】 （1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程； （2）根据函数图象中的数据可以求得 OA 的函
4、数解析式，然后将 x=18 代入 OA 的函数解析式，即可求得 点 E 的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离； （3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整 【详解】 (1)由题意，得：甲步行的速度是2400 3080 (米/分)， 乙出发时甲离开小区的路程是80 10800 (米). (2)设直线OA的解析式为: (0)ykx k， 直线OA过点30,2400A ， 302400k ， 解得80k ， 直线OA的解析式为: 80yx. 当18x 时， 80 181440y ， 乙骑自行车的速度是144018 10180 (米/分).
5、乙骑自行车的时间为25 1015 (分)， 乙骑自行车的路程为180 152700 (米). 当25x时，甲走过的路程是8080 252000yx (米)， 乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是2700 2000700 (米). (3)乙步行的速度为：80-5=75（米/分） ， 乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400） 75=29（分） ， 当 25x30 时 s 关于 x 的函数的大致图象如图所示 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想 解答 【变式【变式 1 1- -1 1】（2019 山东中考真题）小王骑车从甲地到乙地，
6、小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小山东中考真题）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小 李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进图中的折线表示两人之间李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进图中的折线表示两人之间的距离的距离y km与小王的行驶与小王的行驶 时间时间 x h之间的函数关系之间的函数关系 请你根据图象进行探究：请你根据图象进行探究： （1）小王和小李的速度分别是多少？）小王和小李的速度分别是多少？ （2）求线段）求线段BC所表示的所表示的y与与x之间的函数解析式，并写出自变量之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围的取值范围 【答案】【答案】
7、（1）小王和小李的速度分别是10/km h、20/km h； （2）(3030 11.5)yxx 【解析】【解析】 1根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度； 2根据 1中的结果和图象中的数据可以求得点 C 的坐标，从而可以解答本题 【详解】 解： （1）由图可得， 小王的速度为：30 3 10/km h ， 小李的速度为：()30 10 1120/km h ， 答：小王和小李的速度分别是10/km h、20/km h； （2）小李从乙地到甲地用的时间为：30 201.5h， 当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10 1.515km， 点C的坐标为 1.5,15， 设线段BC所表
8、示的y与x之间的函数解析式为y kxb ， 0 1.515 kb kb ，解得 30 30 k b ， 即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是(3030 11.5)yxx 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中 xy 所表示的对象量，利用一次函数的 性质和数形结合的思想解答 【变式【变式 1 1- -2 2】（2019 江苏中考真题）江苏中考真题）“低碳生活，绿色出行低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出 发沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离发沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离
9、y(km)与出发时间之间的函数关系式如图与出发时间之间的函数关系式如图 1 中线中线 段段 AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离 S(km)与出与出 发时间发时间 x(h)之间的函数关系式如之间的函数关系式如图图 2 中折线段中折线段 CD-DE-EF 所示所示. （1）小丽和小明骑车的速度各是多少？）小丽和小明骑车的速度各是多少？ （2）求）求 E 点坐标，并解释点的实际意义点坐标，并解释点的实际意义. 【答案】【答案】 （1）=16/Vkm h 小丽 ，=20/Vk
10、m h 小明 ； （2）E( 9 5 , 144 5 )实际意义为小明到达甲地. 【解析】【解析】(1)观察图 1 可知小丽骑行 36 千米用了 2.25 小时，根据速度=路程 时间可求出小丽的速度，观察 图 2 可知小丽与小明 1 小时机遇，由此即可求得小明的速度； (2)观察图 2，结合两人的速度可知点 E 为小明到达甲地，根据相关数据求出坐标即可. 【详解】 (1)V小丽=36 2.25=16(km/h)， V小明=36 1-16=20(km/h)； (2)36 20= 9 5 (h)， 169 5 = 144 5 (km)， 所以点 E 的坐标为( 9 5 ， 144 5 )， 实际意
11、义是小明到达了甲地. 【点睛】本题考查了一次函数的应用行程问题，弄清题意，正确分析图象，得出有用的信息是解题的 关键. 【考点【考点 2】方案选择问题方案选择问题 【例【例 2 2】（2019 天津中考真题）甲、乙两个批发店销售同一种苹果在甲批发店，不论一次购买数量是多天津中考真题）甲、乙两个批发店销售同一种苹果在甲批发店，不论一次购买数量是多 少，价格均为少，价格均为 6 元元/kg在乙批发店，一次购买数量不超过元在乙批发店，一次购买数量不超过元 50kg 时，价格为时，价格为 7 元元/kg；一次购买数量超过；一次购买数量超过 50kg 时，时，其中有其中有 50kg 的价格仍为的价格仍为
12、 7 元元/kg，超出，超出 50kg 部分的价格为部分的价格为 5 元元/kg设小王在设小王在同一个批发店一次同一个批发店一次 购买苹果的数量为购买苹果的数量为 kgx(0)x （）根据题意填表：）根据题意填表： 一次购买数量一次购买数量/kg 30 50 150 甲批发店花费甲批发店花费/元元 300 乙批发店花费乙批发店花费/元元 350 （）设在甲批发店花费）设在甲批发店花费 1 y元，在乙批发店花费元，在乙批发店花费 2 y元，分别求元，分别求 1 y， 2 y关于关于x的函数解析式；的函数解析式； （）根据题意填空：）根据题意填空： 若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相
13、同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买 苹果的数量为苹果的数量为_kg； 若小王在同若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为一个批发店一次购买苹果的数量为 120kg，则他在甲、乙两个批发店中的，则他在甲、乙两个批发店中的_批发店购批发店购 买花费少；买花费少； 若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了 360 元，则他在甲、乙两个批发店中的元，则他在甲、乙两个批发店中的_批发店购买批发店购买 数量多数量多 【答案】【答案】 （）180，900，210，850； （
14、） 1 6yx(0)x ；当050x 时， 2 7yx；当50x时， 2 5100yx （）100；乙；甲 【解析】【解析】 （）根据在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为 6 元/kg在乙批发店，一次购买数量 不超过元 50kg 时， 价格为 7 元/kg； 一次购买数量超过 50kg 时， 其中有 50kg 的价格仍为 7 元/kg， 超出 50kg 部分的价格为 5 元/kg可以分别把表一和表二补充完整； （）根据所花费用=每千克的价格一次购买数量，可得出 12 yy、关于 x 的函数关系式，注意进行分段； （） 根据 21 yy得出 x 的值即可； 把 x=120 分别代入 1
15、y和 2 y的解析式， 并比较 1 y和 2 y的大小即可； 分别求出当 1 360y 和 2 360y 时 x 的值，并比较大小即可 【详解】 解： （）当 x=30 时， 1 30 6180y ， 2 30 7210y 当 x=150 时， 1 150 6900y ， 2 50 75 15050850y （） 故答案为：180，900，210，850 （） 1 6yx(0)x 当050x 时， 2 7yx； 当50x时， 2 7 505(50)yx，即 2 5100yx （）0x 6x7x 当 21 yy时，即 6x=5x+100 x=100 故答案为：100 x=12050 ， 1 6
16、120720y ； 2 5 120 100=700 y 乙批发店购买花费少； 故答案为：乙 当 x=50 时乙批发店的花费是：350 360 一次购买苹果花费了 360 元，x50 当 1 360y 时，6x=360，x=60 当 2 360y 时，5x+100=360, x=52 甲批发店购买数量多 故答案为：甲 【点睛】本题考查一次函数的应用方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和 数形结合的思想解答 【变式【变式 2 2- -1 1】（2019 山西中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式山西中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式. 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡方式
17、一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费泳，每次游泳再付费 30 元元. 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 40 元元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 x 次，选择方式一的次，选择方式一的 总费用为总费用为 y1(元元)，选择方式二的总费用为，选择方式二的总费用为 y2(元元). (1)请分别写出请分别写出 y1，y2与与 x 之间的函数表达式之间的函数表达式. (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x 在什
18、么范围时，选择方式一比方式二省钱在什么范围时，选择方式一比方式二省钱. 【答案】【答案】(1) 12 30200;40yxyx；(2)当20x时选择方式一比方式二省钱. 【解析】【解析】(1)根据题意列出函数关系式即可； (2)根据题意，列出关于 x 的不等式进行解答即可. 【详解】 (1) 1 30200yx， 2 40yx； (2)由 12 yy得：3020040xx， 解得：20x， 当20x时选择方式一比方式 2 省钱， 即一年内来此游泳馆的次数超过 20 次时先择方式一比方式二省钱. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是弄清题意，找准各量间的关系，正确运用相关知 识解答
19、. 【变式【变式 2 2- -2 2】（2019 湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为 x 时所需费用时所需费用 为为 y 元，选择这两种卡消费时，元，选择这两种卡消费时，y 与与 x 的函数关系如图所示，解答下列问题的函数关系如图所示，解答下列问题 （1）分别求出选择这两种卡消费时，）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于关于 x 的函数表达式；的函数表达式； （2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算 【答案】【答案】 （1）20yx 甲 ，10100yx 乙
20、 （2）见解析 【解析】【解析】 （1）运用待定系数法，即可求出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可 【详解】 （1）设 1 yk x 甲 ，根据题意得 1 5100k ， 解得 1 20k ， 20yx 甲 ； 设 2 100yk x 乙 ，根据题意得： 2 20100300k ， 解得 2 10k ， 10100yx 乙 ； （2）yy 甲乙，即20 10100xx，解得10x，当入园次数小于 10 次时，选择甲消费卡比较合算； yy 甲乙，即20 10100xx，解得10x ，当入园次数等于 10 次时，选择两种消费卡费用一样； yy 甲
21、乙，即20 10100xx，解得10x ，当入园次数大于 10 次时，选择乙消费卡比较合算 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出 正确信息是解题关键，属于中考常考题型 【考点【考点 3】最大利润问题最大利润问题 【例【例 3 3】（2019 辽宁中考真题）某服装超市购进单价为辽宁中考真题）某服装超市购进单价为 30 元的童装若干件，物价部门规定其销售单元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低价不低 于每件于每件 30 元，不高于每件元，不高于每件 60 元销售一段时间后发现：当销售单价为元销售一段时间后发现：当销售单价为 60 元时，平
22、均每月销售量为元时，平均每月销售量为 80 件，件， 而当销售单价每降低而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能多售出元时，平均每月能多售出 20 件同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用件同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用 450 元设销售单价为元设销售单价为 x 元，平均月销售量为元，平均月销售量为 y 件件 （1）求出）求出 y 与与 x 的函数关系式，并写出自变量的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围的取值范围 （2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利 1800 元？元？ （3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月
23、获得利润最大？最大利）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？润是多少？ 【答案】【答案】 （1）y2x+200 （30x60） ； （2）当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元； （3）当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元 【解析】【解析】 （1）当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能 多售出 20 件从而用 60 减去 x，再除以 10，就是降价几个 10 元，再乘以 20，再把 80 加上就是平均月销 售量； （2）利用（售价进价）乘以
24、平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于 1800，解方程即 可； （3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求 得取最大利润时的 x 值及最大利润 【详解】 解： （1）由题意得：y80+2060 10 x 函数的关系式为：y2x+200 （30x60） （2）由题意得： （x30） （2x+200）4501800 解得 x155，x275（不符合题意，舍去） 答：当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元 （3）设每月获得的利润为 w 元，由题意得： w（x30） （2x+200）450 2（x65）2+20
25、00 20 当 x65 时，w 随 x 的增大而增大 30x60 当 x60 时，w最大2（6065）2+20001950 答：当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元 【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性 【变式【变式 3 3- -1 1】（2019 四川中考真题）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进四川中考真题）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进 价比乙种水果的进价每千克价比乙种水果的进价每千克少少 4 元， 且用元， 且用 800 元购进甲种水果
26、的数量与元购进甲种水果的数量与用用 1000 元购进乙种水果的数量相同元购进乙种水果的数量相同 （1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？ （2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共 200 千克，其中甲种水果的数量不超过千克，其中甲种水果的数量不超过 乙种水果数量的乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过倍，且购买资金不超过 3420 元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克 20 元，乙种水果的销售价定为每千克元，乙种水果的
27、销售价定为每千克 25 元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】【答案】 （1）甲、乙两种水果的单价分别是 16 元、20 元； （2）水果商进货甲种水果 145 千克，乙种水果 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是 855 元 【解析】【解析】 （1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元； （2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不超过乙种水果数量 的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元，可以求得甲种水果数量的取值范围，最后根据一次
28、函数的性质即可解 答本题 【详解】 （1）设甲种水果的单价是 x 元，则乙种水果的单价是(4)x元， 8001000 4xx ， 解得，16x ， 经检验，16x 是原分式方程的解， 420x， 答：甲、乙两种水果的单价分别是 16 元、20 元； （2）设购进甲种水果 a 千克，则购进乙种水果(200)a千克，利润为 w 元， (2016)(2520)(200)1000waaa ， 甲种水果的数量不超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元， 3(200) 1620(200) 3420 aa aa ， 解得，145150a， 当145a 时，w 取得最大值，此时 855w，2
29、0055a， 答：水果商进货甲种水果 145 千克，乙种水果 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是 855 元 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意， 利用一次函数的性质和不等式的性质解答 【变式【变式 3 3- -2 2】（2019 辽宁中考真题）某公司研辽宁中考真题）某公司研发了一款成本为发了一款成本为 50 元的新型玩具，投元的新型玩具，投放市场进行试销售其放市场进行试销售其 销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于 90%，市场调研发现，在一段时间内，每天，市
30、场调研发现，在一段时间内，每天 销售数量销售数量 y（个）与销售单价（个）与销售单价 x（元）符合一次函数关系，如图所示：（元）符合一次函数关系，如图所示： （1）根据图象，直接写出）根据图象，直接写出 y 与与 x 的函数关系式；的函数关系式； （2）该公司要想每天获得）该公司要想每天获得 3000 元的销售利润，销售单价应定为多少元元的销售利润，销售单价应定为多少元 （3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】【答案】 （1）y2x+260； （2）销售单价为 80 元； （3）销售单价为 90 元时
31、，每天获得的利润最大，最大 利润是 3200 元 【解析】【解析】 （1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解； （3）设每天获得的利润为 w 元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案 【详解】 （1）设 ykx+b（k0，b 为常数） 将点（50，160） ， （80，100）代入得 16050 10080 kb kb 解得 2 260 k b y 与 x 的函数关系式为：y2x+260 （2）由题意得： （x50） （2x+260）3000 化简得：x2180x+80000 解得：x180，x2100 x50（1+90%）95 x21009
32、5（不符合题意，舍去） 答：销售单价为 80 元 （3）设每天获得的利润为 w 元，由题意得 w（x50） （2x+260） 2x2+360x13000 2（x90）2+3200 a20，抛物线开口向下 w 有最大值，当 x90 时， w最大值3200 答：销售单价为 90 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 3200 元 【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识 点，难度中等略大 【考点【考点 4】几何问题几何问题 【例【例 4 4】（2019 四川中考真题）如图，已知过点四川中考真题）如图，已知过点(1,0)B的直线的直线 1 l与直线
33、与直线 2 l：24yx相交于点相交于点( 1, )Pa . （1）求直线）求直线 1 l的解析的解析式；式； （2）求四边形）求四边形PAOC的面积的面积. 【答案】【答案】 （1）1yx ； （2） 5 2 【解析】【解析】 （1）根据 P 点是两直线交点，可求得点 P 的纵坐标，再利用待定系数法将点 B、点 P 的坐标代入 直线 l1解析式，得到二元一次方程组，求解即可. （2）根据解析式可求得点啊（-2，0） ，点 C（0，1） ，由 四边形 PABBOCPAOC SSS 可求得四边形PAOC的 面积 【详解】 解： （1）点 P 是两直线的交点， 将点 P（1，a）代入24yx 得2
34、 ( 1)4 a，即2a 则P的坐标为( 1,2)， 设直线 1 l的解析式为：ykxb(0)k ， 那么 0 2 kb kb ， 解得： 1 1 k b . 1 l的解析式为：1yx . （2）直线 1 l与y轴相交于点C，直线 2 l与 x 轴相交于点 A C的坐标为(0,1)，A点的坐标为( 2,0) 则3AB ， 而 四边形 PABBOCPAOC SSS ， PAOC S四边形 115 3 21 1 222 【点睛】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交 点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积. 【变式【变式 4 4- -1
35、1】 （2019 浙江中考真题）已知在平面直角坐标系浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，直线中，直线 1 l分别交分别交x轴和轴和y轴于点轴于点3,0 ,0,3AB . (1)如图如图 1，已知，已知P经过点经过点O，且与直线，且与直线 1 l相切于点相切于点B，求，求P的直径长；的直径长； (2)如图如图 2，已知直线，已知直线 2: 33lyx分别交分别交x轴和轴和y轴于点轴于点C和点和点D，点，点Q是直线是直线 2 l上的一个动点，以上的一个动点，以Q为为 圆心，圆心，2 2为半径画圆为半径画圆. 当点当点Q与点与点C重合时，求证重合时，求证: 直线直线 1 l与与Q相切；相切；
36、 设设Q与直线与直线 1 l相交于相交于,M N两点，两点， 连结连结,QM QN. 问问:是否存在这样的点是否存在这样的点Q，使得，使得QMN是等腰直角是等腰直角 三角形，若三角形，若存在，求出点存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】【答案】(1) P的直径长为3 2；(2) 见解析；存在这样的点 1(3 2,6 3 2)Q和 2(3 2,6 3 2)Q，使得 QMN是等腰直角三角形. 【解析】【解析】 （1）连接 BC，证明 ABC 为等腰直角三角形，则P 的直径长=BC=AB，即可求解； （2）过点C作CEAB于点E，证明 CE=ACsin45
37、 =4 2 2 =2 2 =圆的半径，即可求解； （3）假设存在这样的点Q，使得QMN是等腰直角三角形，分点Q在线段CF上时和点Q在线段CF的 延长线上两种情况，分别求解即可 【详解】 （1）如图 3，连接 BC， BOC=90 ， 点 P 在 BC 上， P 与直线 l1相切于点 B， ABC=90 ，而 OA=OB， ABC 为等腰直角三角形， 则P 的直径长=BC=AB=3 2 (2)如图 4 过点C作CEAB于点E ， 图 4 将0y 代入33yx，得1x ， 点C的坐标为 1,0. 4AC ， 45CAE， 2 2 2 2 CEAC . 点Q与点C重合， 又Q的半径为2 2， 直线
38、1 l与Q相切. 假设存在这样的点Q，使得 QMN 是等腰直角三角形， 直线 1 l经过点3,0 ,0,3AB， l的函数解析式为3yx=+. 记直线 2 l与 1 l的交点为F， 情况一： 如图 5，当点Q在线段CF上时， 由题意，得 45MNQ. 如图，延长NQ交x轴于点G， 图 5 45BAO， 180454590NGA， 即NGx轴， 点Q与N有相同的横坐标， 设,33Q m m，则,3N m m， 333QNmm . Q的半径为2 2， 3(33)2 2mm ， 解得 32m ， 3 36 3 2m ， Q的坐标为(32,63 2). 情况二： 当点Q在线段CF的延长线上时，同理可得
39、 32m ，Q的坐标为(32,63 2). 存在这样的点 1(3 2,6 3 2)Q和 2(3 2,6 3 2)Q，使得 QMN 是等腰直角三角形. 【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2） ，关键要确定圆的 位置，分类求解，避免遗漏 【变式【变式 4 4- -2 2】（2019 四川中考真题）在平面直四川中考真题）在平面直角坐标系角坐标系 xOy 中，已知中，已知 (0,2)A ，动点，动点P在在 3 3 yx 的图的图 像上运动（不与像上运动（不与O重合） ，连接重合） ，连接AP，过点，过点P作作 PQAP ，交，交x轴于点轴于点Q，连接，连接 AQ
40、 （1）求线段）求线段AP长度的取值范围；长度的取值范围； （2）试问：点）试问：点P运动过程中，运动过程中，QAP是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由 （3）当）当OPQ为等腰三角形时，求点为等腰三角形时，求点Q的坐标的坐标 【答案】【答案】 （1） 3AP ； （2）QAP为定值，QAP=30 ； （3） 1(2 3 4,0)Q， 2(2 3 4,0)Q， 3( 2 3,0) Q ， 4 2 3 (,0) 3 Q 【解析】【解析】 （1）作AHOP，由点P在 3 3 yx 的图像上知：30HOQ，求出 AH，即可得解； （2）
41、当点P在第三象限时，当点P在第一象的线段OH上时，当点P在第一象限的线段OH的延长 线上时，分别证明Q、P、O、A四点共圆，即可求得QAP=30 ； （3）分OPOQ，POPQ，QOQP三种情况，分别求解即可 【详解】 解： （1）作AHOP，则APAH 点P在 3 3 yx 的图像上 30HOQ，60HOA (0,2)A， sin603AHAO 3AP （2）当点P在第三象限时， 由90QPAQOA ，可得Q、P、O、A四点共圆， 30PAQPOQ 当点P在第一象的线段OH上时， 由90QPAQOA ，可得Q、P、O、A四点共圆， 180PAQPOQ，又此时150POQ 18030PAQPO
42、Q 当点P在第一象限的线段OH的延长线上时， 由90QPAQOA ，可得180APQAOQ， Q、P、O、A四点共圆， 30PAQPOQ （3）设 3 (,) 3 P mm，则AP l： 36 2 3 m y m PQAP， 3 2 3 PQ m k m PQ l ： 33 () 32 3 m yxmm m 42 3 (,0) 3 m Q 22 4 3 OPm， 22 16164 3 993 OQmm 22 444 3 993 PQmm 当OP OQ 时，则 22 416164 3 3993 mmm 整理得： 2 4 330mm 解得：2 33 m 1(2 3 4,0)Q， 2(2 3 4,0
43、)Q 当PO PQ 时，则 22 4444 3 3993 mmm 整理得： 2 2330mm 解得： 3 2 m 或 3m 当 3 2 m 时，Q点与O重合，舍去， 3m ， 3( 2 3,0) Q 当QO QP 时， 则 22 16164444 33 993993 mmmm 整理得： 2 30mm 解得：3m 4 2 3 (,0) 3 Q 【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、三角函数、等腰三角形判定和性质以 及圆的相关性质等知识点，其中（2） （3） ，要注意分类求解，避免遗漏 【达标训练】 1 （ （2019 辽宁中考真题）一条公路旁依次有辽宁中考真题）一条公路旁依
44、次有 , ,A B C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从 三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、村、B村同时村同时 出发前往出发前往C村，甲乙之间的距离村，甲乙之间的距离()s km与骑行时间与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：之间的函数关系如图所示，下列结论：,A B两村两村 相距相距 10km；出发出发 1.25h后两人相遇；后两人相遇；甲每小时比乙多骑行甲每小时比乙多骑行 8km；相遇后，乙又骑行了相遇后，乙又骑行了 15min或或 65min时两人相距时两人相距 2km其中正确的个数是（其中正确的个数是（ ） A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个 个 【答案】【答
45、案】D 【解析】【解析】根据题意结合一次函数的图像与性质即可一一判断. 【详解】 解： 由图象可知A村、B村相离 10km，故正确， 当 1.25h时，甲、乙相距为 0km，故在此时相遇，故正确， 当01.25t 时，易得一次函数的解析式为810st，故甲的速度比乙的速度快 8/km h故正确 当1.252t 时，函数图象经过点(1.25,0)(2,6)设一次函数的解析式为sktb 代入得 01.25 62 kb kb ，解得 k8 b10 810st 当2s 时得2810t，解得1.5th 由1.5 1.250.2515minh 同理当22.5t 时，设函数解析式为sktb 将点(2,6)(
46、2.5,0)代入得 02.5kb 62kb ，解得 k12 b30 1230st 当2s 时，得21230t，解得 7 3 t 由 713 1.2565min 312 h 故相遇后，乙又骑行了 15min或 65min时两人相距 2km，正确 故选：D 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与应用. 2 （ （2019 四川中考真题）如图，一束光线从点四川中考真题）如图，一束光线从点 4,4A出发，经出发，经y轴上的点轴上的点C反射后经过点反射后经过点10B ,，则点，则点 C的坐标是的坐标是( ) A 1 0, 2 B 4 0, 5 C0,1 D0,2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】延长AC交x轴于点D，利用反射定律，可得1OCB ，利用 ASA 可证 CODCOB ASA ，已知点B
