1、 专题专题 0 09 9 二次函数二次函数综合性综合性问题问题 【典例分析】 【考点【考点 1】二次函数与经济利润问题二次函数与经济利润问题 【例【例 1 1】（2019 山东中考真题）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了山东中考真题）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了 市场与去年相比，今年这种水果的产量增加了市场与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000 千克，每千克的平均批发价比去年降低了千克，每千克的平均批发价比去年降低了 1 元，批发元，批发 销售总额比去年增加了销售总额比去年增加了20% （1）已知去年这种水果批发销售总额
2、为）已知去年这种水果批发销售总额为 10 万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果调查发现，若每千克的平发，专营这种水果调查发现，若每千克的平均销售价为均销售价为 41 元，则每天可元，则每天可 售出售出 300 千克千克；若每千克的平均销售价每降低；若每千克的平均销售价每降低 3 元，每天可多卖出元，每天可多卖出 180 千克，设水果店一天的利润为千克，设水果店一天的利润为w元，元， 当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时
3、，其它费当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费 用忽略不计 ）用忽略不计 ） 【答案】【答案】 （1）这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元； （2）每千克的平均销售价为 35 元时，该水果店 一天的利润最大，最大利润是 7260 元. 【解析】【解析】 【分析】 (1)由去年这种水果批发销售总额为 10 万元，可得今年的批发销售总额为10 1 20%12万元，设这种水 果今年每千克的平均批发价是x元， 则去年的批发价为1x元， 可列出方程： 120000100000 1000 1xx ， 求得x即可. (2)根据总利润(售价成本) 数
4、量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值 【详解】 (1)由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为1x元， 今年的批发销售总额为10 1 20%12万元， 120000100000 1000 1xx ， 整理得 2 191200xx ， 解得24x或5x (不合题意，舍去). 故这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元 (2)设每千克的平均售价为m元，依题意 由(1)知平均批发价为 24 元，则有 41 24180300 3 m wm 2 60420066240mm ， 整理得 2 60357260wm ， 600a ， 抛物线开口向下， 当35m元时，w取最大值
5、， 即每千克的平均销售价为 35 元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是 7260 元 【点睛】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首 先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润=一件的利润 销售件数，建立函数关系式，此 题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 【变式【变式 1 1- -1 1】（2019 浙江中考真题）某农作物的生长率浙江中考真题）某农作物的生长率 P 与温度与温度 t()有如下关系：如图有如下关系：如图 1，当，当 10t25 时时 可近似用函数可近似用函数 11 505 Pt刻画；当刻画；当 25t37
6、时可近似用函数时可近似用函数 2 1 ()0.4 160 Pth 刻画刻画 (1)求求 h 的的值值 (2)按照经验，该作物提前上市的按照经验，该作物提前上市的天数天数 m(天天)与生长率与生长率 P 满足函数关满足函数关系：系： 生长率生长率 P 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数提前上市的天数 m （天）（天） 0 5 10 15 请运用已学的知识，求请运用已学的知识，求 m 关于关于 P 的函数表达式；的函数表达式； 请用含请用含t的代数式表示的代数式表示 m ； (3)天气寒冷， 大棚加温可改变农作物生长速度 在天气寒冷， 大棚加温可改变农作物生长速度 在(2)的条件下
7、， 原计划大棚恒温的条件下， 原计划大棚恒温 20时， 每天的成本为时， 每天的成本为 200 元，该作物元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完一次售完)，销售额可增加，销售额可增加 600 元因此元因此 给大棚继续加温，加温后每天成本给大棚继续加温，加温后每天成本 w (元元)与大棚温度与大棚温度 t()之间的关系如图之间的关系如图 2问问提前上市多少天时增加的提前上市多少天时增加的 利利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用） 润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用） 【答案】【答
8、案】 （1）29h ； （2）10020mp， 2 (0 5 8 29)2mt ； （3）当29t 时，提前上市 20 天，增加利润的最大值为 15000 元. 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据 11 505 Pt求出 t=25 时 P 的值，代入 2 1 ()0.4 160 Pth 即可； （2）由表格可知 m 与 p 的一次函数，用待定系数法求解即可；分当1025t剟时与当25 1 37剟时两种 情况求解即可； （3）分当2025t剟时与当2537t 时两种情况求出增加的利润，然后比较即可. 【详解】 （1）把 t=25 代入 11 505 Pt，得 P=0.3， 把（25，0.3）
9、的坐标代入 2 1 16 ). 0 (0 4pth 得29h 或21h 25h，29h . （2）由表格可知 m 与 p 的一次函数，设 m=kp+b，由题意得 0.20 0.255 kb kb ， 解之得 100 20 k b ， 10020mp ； 当1025t剟时， 11 505 pt， 11 10020240 505 mtt 当25 1 37剟时， 2 1 (29)0.4 160 pt . 22 100(29)0.420 15 160 (29)2 8 0mtt ； （3） （）当2025t剟时， 由(20,200)，(25,300)，得20200wt. 增加利润为 2 600200 3
10、0(30)406004000mwmtt. 当 25t 时，增加利润的最大值为 6000 元. （）当2537t 时，300w. 增加利润为 2 5 600200 30(30)=900(29)15000 8 mwmt 2 1125 (29)15000 2 t ， 当 29t 时，增加利润的最大值为 15000 元. 综上所述，当29t 时，提前上市 20 天，增加利润的最大值为 15000 元. 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的应用，用到的知识点有二次函数图上点的坐标特征，待定系数法求一次 函数解析式，二次函数的图像与性质，利用二次函数求最值及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数图上 点
11、的坐标特征是解（1）的关键，分类讨论是解（2）与（3）的关键. 【变式【变式 1 1- -2 2】（2019 辽宁中考真题）网络销售是一种重要的销售方式某乡镇农贸公司新开设了一家网店，辽宁中考真题）网络销售是一种重要的销售方式某乡镇农贸公司新开设了一家网店， 销售当地农产品其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克销售当地农产品其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克 10 元公司在试销售期间，调查发现，元公司在试销售期间，调查发现， 每天销售量每天销售量 y（kg）与销售单价）与销售单价 x（元）满足如图所示的函数关系（其中（元）满足如图所示的函数关系（其中030x ） ） （1）直接
12、写出）直接写出 y 与与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围之间的函数关系式及自变量的取值范围 （2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到 3100 元，则销售单价元，则销售单价 x 应定为多少元？应定为多少元？ （3）设每天销售该特产的利润为）设每天销售该特产的利润为 W 元，若元，若1430x ，求：销售单价，求：销售单价 x 为多少元时，每天的销售利润最为多少元时，每天的销售利润最 大？最大利润是多少元？大？最大利润是多少元？ 【答案】【答案】 （1） 640(1014) 20920(1430) x y xx ； （2）销售单价 x 应定为 15
13、 元； （3）当28x时，每天的销 售利润最大，最大利润是 6480 元 【解析】【解析】 【分析】 （1）当1014x 时，可直接根据图象写出；当1430x 时，y 与 x 成一次函数关系，用待定系数法求 解即可； （2）根据销售利润=每千克的利润（x10） 销售量 y，列出方程，解方程即得结果； （3）根据销售利润 w=每千克的利润（x10） 销售量 y，可得 w 与 x 的二次函数，再根据二次函数求最值 的方法即可求出结果. 【详解】 解： （1）由图象知，当1014x 时，640y ； 当1430x 时，设y kxb ，将(14,640)，(30,320)代入得 14640 30320
14、 kb kb ，解得 20 920 k b ， y 与 x 之间的函数关系式为20 920yx ； 综上所述， 640(1014) 20920(1430) x y xx ； （2）(1410)6402560， 25603100，14x ， (10)( 20920)3100xx， 解得： 1 41x （不合题意舍去） ， 2 15x ， 答：销售单价 x 应定为 15 元； （3）当1430x 时， 2 (10)( 20920)20(28)6480Wxxx ， 200，1430x ， 当28x时，每天的销售利润最大，最大利润是 6480 元 【点睛】 本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的
15、实际应用，正确理解题意求出函数关系式、熟练掌握一 元二次方程的解法和求二次函数的最值的方法是解题的关键. 【考点【考点 2】二次函数与几何图形问题二次函数与几何图形问题 【例【例 2 2】（2018 福建中考真题）空地上有一段长为福建中考真题）空地上有一段长为 a 米的旧墙米的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜 园园 ABCD，已知木栏总长为，已知木栏总长为 100 米米 （1）已知）已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏，且围成的矩形菜园面积为米木栏，且围成的矩形菜园面积为 450 平
16、方平方 米如图米如图 1，求所利用旧墙，求所利用旧墙 AD 的长；的长； （2）已知）已知 050，且空地足够大，如图，且空地足够大，如图 2请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的 矩形菜园矩形菜园 ABCD 的面积最大，并求面积的最大值的面积最大，并求面积的最大值 【答案】【答案】 （1）利用旧墙 AD 的长为 10 米 （2）见解析. 【解析】【解析】 【分析】 （1）按题意设出 AD，表示 AB 构成方程； （2）根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数量关系 【详解】 （1
17、）设 AD=x 米，则 AB= 100 2 x- 米 依题意得， (100) 2 xx 450 解得 x1=10，x2=90 a=20，且 xa x=90 舍去 利用旧墙 AD 的长为 10 米 （2）设 AD=x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米 如果按图一方案围成矩形菜园，依题意 得： S= 2 (100)1 (50)1250 22 xx x ，0xa 0a50 xa50 时，S 随 x 的增大而增大 当 x=a 时，S最大=50a- 1 2 a2 如按图 2 方案围成矩形菜园，依题意得 S= 22 (1002 ) (25)(25) 244 xaxaa x ，ax50+ 2 a 当
18、 a25+ 4 a 50 时，即 0a 100 3 时， 则 x=25+ 4 a 时，S最大=（25+ 4 a ）2= 2 10000200 16 aa ， 当 25+ 4 a a，即 100 3 a50 时，S 随 x 的增大而减小 x=a 时，S 最大= (1002 ) 2 aaa = 2 1 50 2 aa， 综合，当 0a 100 3 时， 2 10000200 16 aa -（ 2 1 50 2 aa）= 2 (3100) 16 a 0 2 10000200 16 aa 2 1 50 2 aa，此时，按图 2 方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为 2 10000200 16 aa 平
19、方米 当 100 3 a50 时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等 当 0a 100 3 时，围成长和宽均为（25+ 4 a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为 2 10000200 16 aa 平 方米； 当 100 3 a50 时，围成长为 a 米，宽为（50- 2 a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（ 2 1 50 2 aa）平方 米 【点睛】 本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系 【变式【变式 2 2- -1 1】（2019 湖南中考真题）如图，已知抛物线经过湖南中考真题）如图，已知抛物线经过两点两点 A（3，0） ，）
20、，B（0，3） ，且其对称轴为直） ，且其对称轴为直 线线 x1 （1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式； （2）若点）若点 P 是抛物线上点是抛物线上点 A 与点与点 B 之间的动点（不包括点之间的动点（不包括点 A，点，点 B） ，求） ，求 PAB 的面积的最大值，并求出的面积的最大值，并求出 此时点此时点 P 的坐标的坐标 【答案】【答案】 （1）yx22x+3； （2） PAB 的面积的最大值为 27 8 ，此时点 P 的坐标（ 3 2 ， 15 4 ） 【解析】【解析】 【分析】 （1） 因为对称轴是直线 x=-1， 所以得到点 A （-3， 0） 的对称点是 （1， 0）
21、 ， 因此利用交点式 y=a （x-x1） （x-x2） ， 求出解析式 （2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关 系，可得答案 【详解】 （1）抛物线对称轴是直线 x1 且经过点 A（3，0） 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0） 设抛物线的解析式为 ya（xx1） （xx2） （a0） 即：ya（x1） （x+3） 把 B（0，3）代入得：33a a1 抛物线的解析式为：yx22x+3 （2）设直线 AB 的解析式为 ykx+b， A（3，0） ，B（0，3） ， 30 3 kb b ， 直线 AB 为 yx+3， 作 PQx
22、 轴于 Q，交直线 AB 于 M， 设 P（x，x22x+3） ，则 M（x，x+3） ， PMx22x+3（x+3）x23x， 2 2 13327 Sx3x3x 2228 ， 当 3 x 2 时， 27 S 8 最大 ， 2 3315 y23 224 ， PAB 的面积的最大值为 27 8 ，此时点 P 的坐标为（ 3 2 ， 15 4 ）. 【点睛】 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函 数的性质 【变式【变式 2 2- -2 2】（2018 吉林中考真题）如图，在吉林中考真题）如图，在 Rt ABC 中，中，C=90 ，A=30 ，
23、AB=4，动点，动点 P 从点从点 A 出发，沿出发，沿 AB 以每秒以每秒 2 个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点 B 运动过点运动过点 P 作作 PDAC 于点于点 D（点（点 P 不与点不与点 A、B 重重 合） ，合） ，作作DPQ=60 ，边，边 PQ 交射线交射线 DC 于点于点 Q设点设点 P 的运动时间为的运动时间为 t 秒秒 （1）用含）用含 t 的代数式表示线段的代数式表示线段 DC 的长；的长； （2）当点）当点 Q 与点与点 C 重合时，求重合时，求 t 的值；的值； （3）设）设 PDQ 与与 ABC 重叠部分图形的面积为重叠部分图形的面积为 S，求，求 S
24、 与与 t 之间的函数关系式；之间的函数关系式； （4）当线段）当线段 PQ 的垂直平分线经过的垂直平分线经过 ABC 一边中点时，直接写出一边中点时，直接写出 t 的值的值 【答案】【答案】 （1）CD= 233t（0t2） ； （2）1； （3）见解析； （4）t 的值为 1 2 秒或 3 4 秒或 5 4 秒 【解析】【解析】 【分析】 （1）先求出 AC，用三角函数求出 AD，即可得出结论； （2）利用 AD+DQ=AC，即可得出结论； （3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论； （4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论 【详解】 （1）在 Rt ABC 中，
25、A=30 ，AB=4， AC=2 3， PDAC， ADP=CDP=90 ， 在 Rt ADP 中，AP=2t， DP=t，AD=APcosA=2t 3 2 = 3t， CD=ACAD=2 33t（0t2） ； （2）在 Rt PDQ 中，DPC=60 ， PQD=30 =A， PA=PQ， PDAC， AD=DQ， 点 Q 和点 C 重合， AD+DQ=AC， 2 3t=23， t=1； （3）当 0t1 时，S=S PDQ= 1 2 DQ DP= 1 2 3t t= 3 2 t2， 当 1t2 时，如图 2， CQ=AQAC=2ADAC=2 3t23=23（t1） ， 在 Rt CEQ 中
26、，CQE=30 ， CE=CQtanCQE=2 3（t1） 3 3 =2（t1） ， S=S PDQS ECQ= 1 2 3t t 1 2 2 3（t1） 2（t1）= 3 3 2 t2+4 3t23， S= 2 2 3 t01 2 3 3 t4 32 3 02 2 t tt ； （4）当 PQ 的垂直平分线过 AB 的中点 F 时，如图 3， PGF=90 ，PG= 1 2 PQ= 1 2 AP=t，AF= 1 2 AB=2， A=AQP=30 ， FPG=60 ， PFG=30 ， PF=2PG=2t， AP+PF=2t+2t=2， t= 1 2 ； 当 PQ 的垂直平分线过 AC 的中点
27、 M 时，如图 4， QMN=90 ，AN= 1 2 AC= 3，QM= 1 2 PQ= 1 2 AP=t， 在 Rt NMQ 中，NQ= 2 3 cos303 MQ t ， AN+NQ=AQ， 3+ 2 3 3 t=23t， t= 3 4 ， 当 PQ 的垂直平分线过 BC 的中点时，如图 5， BF= 1 2 BC=1，PE= 1 2 PQ=t，H=30 ， ABC=60 ， BFH=30 =H， BH=BF=1， 在 Rt PEH 中，PH=2PE=2t， AH=AP+PH=AB+BH， 2t+2t=5， t= 5 4 ， 即：当线段 PQ 的垂直平分线经过 ABC 一边中点时，t 的值
28、为 1 2 秒或 3 4 秒或 5 4 秒 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质， 根据题意准确作出图形、熟练掌握和运用相关知识是解题的关键. 【考点【考点 3】二次函数与抛物线形问题二次函数与抛物线形问题 【例【例 3 3】（2019 山东省青岛第二十六中学中考模拟）如图，斜坡山东省青岛第二十六中学中考模拟）如图，斜坡 AB 长长 10 米，按图中的直角坐标系可用米，按图中的直角坐标系可用 y= 3 3 x+5 表示，表示，点点 A，B 分别在分别在 x 轴和轴和 y 轴上在坡上的轴上在坡上的 A 处处有有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形
29、落到喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到 B 处，抛物线可用处，抛物线可用 y= 1 3 x2+bx+c 表示表示 （1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围） ；）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围） ； （2）求水柱离坡面）求水柱离坡面 AB 的最大高度；的最大高度； （3）在斜坡上距离）在斜坡上距离 A 点点 2 米的米的 C 处有一颗处有一颗 3.5 米高的树，水柱能否越过这棵树？米高的树，水柱能否越过这棵树？ 【答案】【答案】 （1）y=- 1 3 x2+ 4 3 3 x+5； （2）当 x= 5 3 2 时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为 25 4 ； （3）水柱 能
30、越过树，理由见解析 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据题意先求出 A,B 的坐标，再把其代入解析式即可 （2）由（1）即可解答 （3）过点 C 作 CDOA 于点 D，求出 OD=4 3，把 OD 代入解析式即可 【详解】 （1）AB=10、OAB=30 ， OB= 1 2 AB=5、OA =10 3 2 =5 3， 则 A（5 3，0） 、B（0，5） ， 将 A、B 坐标代入 y=- 1 3 x2+bx+c，得： 1 755 30 3 5 bc c ， 解得： 4 3 3 5 b c ， 抛物线解析式为 y=- 1 3 x2+ 4 3 3 x+5； （2）水柱离坡面的距离 d=- 1
31、3 x2+ 4 3 3 x+5-（- 3 3 x+5） =- 1 3 x2+ 5 3 3 x =- 1 3 （x2-5 3x） =- 1 3 （x- 5 3 2 ）2+ 25 4 ， 当 x= 5 3 2 时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为 25 4 ； （3）如图，过点 C 作 CDOA 于点 D， AC=2、OAB=30 ， CD=1、AD= 3， 则 OD=4 3， 当 x=4 3时，y=- 1 3 （4 3） 2+4 3 3 4 3+5=51+3.5， 所以水柱能越过树 【点睛】 此题考查二次函数的应用，解题关键在于求出 A,B 的坐标 【变式【变式 3 3- -1 1】（2019
32、河北中考模拟）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高河北中考模拟）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高 6m，在长度为，在长度为 8m的两支的两支 柱柱OC和和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离为之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离为 5m . （1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式； （2）求支柱）求支柱EF的长度的长度. （3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高 3m的汽车能够通过（车顶与的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于拱桥的距离不小于 0.3m） ，行车道最） ，行车
33、道最 宽可以铺设多少米？宽可以铺设多少米？ 【答案】【答案】 （1） 2 36 505 yxx ； （2）EF=3.5m； （3）行车道最宽可以铺设 13.4 米. 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解； （2）设 N 点的坐标为（15，y）可求出支柱 EF 的长度； （3）令 y=3.3，求得 x 的值即可求解 【详解】 （1）根据题意，设拱桥抛物线的函数表达式为： 2 yaxbx， 相邻两支柱间的距离均为 5m，OA=4 5m=20m， （20，0） ， （10，6）两点都在抛物线上， 400200, 100106. ab ab
34、 ，解得 3 , 50 6 . 5 a b 2 36 505 yxx （2）设点 F 的坐标为（15，y） ， 2 369 1515 5052 y EF=8m 9 2 m= 7 2 m=3.5m （3）当 y=3+0.3=3.3（m）时，有 2 36 3.3 505 xx， 化简，得 2 20550xx， 解得103 5x ， 1 3.292x ， 2 16.708x ， 21 16.708 3.29213.41613.4xx 答：行车道最宽可以铺设 13.4 米 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键 【变式【变式 3 3- -2
35、2】 （2019 辽宁中考模拟） 如图， 是一座古拱桥的截面图， 拱桥桥洞的上沿是抛物线形状， 当水面的宽度为辽宁中考模拟） 如图， 是一座古拱桥的截面图， 拱桥桥洞的上沿是抛物线形状， 当水面的宽度为 10m 时，桥洞与水面的最大距离是时，桥洞与水面的最大距离是 5m （1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图） ，你选择的方案是）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图） ，你选择的方案是 （填方案一，（填方案一， 方案二，或方案三） ，则方案二，或方案三） ，则 B 点坐标是点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
36、 （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为）因为上游水库泄洪，水面宽度变为 6m，求水面上涨的高度，求水面上涨的高度 【答案】【答案】(1) 方案 1; B（5,0）; 1 (5)(5) 5 yxx ;(2) 3.2m. 【解析】【解析】 试题分析： （1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式 （2）把 x=3 代入抛物线的解析式，即可得到结论 试题解析：解：方案 1： （1）点 B 的坐标为（5，0） ，设抛物线的解析式为：(5)(5)ya xx由题意可 以得到抛物线的顶点为（0，5） ，代入解析式可得： 1 5 a ，抛物线的解析式为： 1 (5)(5) 5 yxx ； （
37、2）由题意：把3x 代入 1 (5)(5) 5 yxx ，解得： 16 5 y =3.2，水面上涨的高度为 3.2m 方案 2： （1）点 B 的坐标为（10，0） 设抛物线的解析式为：(10)yax x 由题意可以得到抛物线的顶点为 （5， 5） ， 代入解析式可得： 1 5 a ， 抛物线的解析式为： 1 (10) 5 yx x ； （2）由题意：把2x代入 1 (10) 5 yx x 解得： 16 5 y =3.2，水面上涨的高度为 3.2m 方案 3： （1）点 B 的坐标为（5， 5） ，由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0） 设抛物线的解析式为： 2 yax，把点 B 的坐标（5，
38、 5） ，代入解析式可得： 1 5 a ， 抛物线的解析式为： 2 1 yx 5 ； （2）由题意：把3x 代入 2 1 yx 5 解得： 9 5 y =1.8，水面上涨的高度为5 1.83.2m 【达标训练】 1 （ （2019 江苏中考真题）如图江苏中考真题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 场 ABCD，其中，其中C120 若新建若新建 墙墙 BC 与与 CD 总长为总长为 12m，则该梯形储料场，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（的最大面积是（ ） A18m2 B18 3m2 C24 3m2 D 45 3 2 m2 【答案】【答案】C 【
39、解析】【解析】 【分析】 过点 C 作 CEAB 于 E，则四边形 ADCE 为矩形，CD=AE=x，DCE=CEB=90 ，则 BCE=BCD-DCE=30 ，BC=12-x，由直角三角形的，性质得出 11 BEBC6x 22 得出 311 ADCE3BE6 3x,ABAEBEx6xx6 222 ，又梯形面积公式求出梯形 ABCD 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解. 【详解】 解：如图，过点 C 作 CEAB 于 E， 则四边形 ADCE 为矩形，CD=AE=x，DCE=CEB=90 ， 则BCE=BCD-DCE=30 ，BC=12-x， 在 RtCBE 中，CE
40、B=90 ， 11 BEBC6x 22 311 ADCE3BE6 3x,ABAEBEx6xx6 222 梯形 ABCD 面积 2 11133 33 3 S(CDAB) CExx66 3xx3 3x18 3 2222888 2 (4)24 3x 当 x=4 时，S 最大=24 3 即 CD 长为 4 m 时，使梯形储料场 ABCD 的面积最大为 24 3 m 2； 故选 C 【点睛】 此题考查了梯性质、矩形的性质、含 30 角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用,利用梯形的面 积建立二次函数是解题的关键 2（2019 台湾台湾中考真题） 如图， 坐标中考真题） 如图， 坐标平面上有一顶点
41、为 平面上有一顶点为A的抛物线， 此抛物线与方程式的抛物线， 此抛物线与方程式2y的图形交于的图形交于B、 C两点，两点，ABC为正三角形若为正三角形若A点坐标为点坐标为3,0，则此抛物线与，则此抛物线与Y轴的交点坐标为何？（轴的交点坐标为何？（ ） A 9 0, 2 B 27 0, 2 C0,9 D0,19 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 设3,2Bm ，3,2Cm ，0m， 可知2BCm， 再由等边三角形的性质可知 2 33,2 3 C ， 设抛物线解析式 2 3ya x，将点C代入解析式即可求a，进而求解. 【详解】 解：设3,2Bm ，3,2Cm ，0m A点坐标为3,
42、0， 2BCm， ABC为正三角形， 2ACm，C60AO ， 2 3 3 m 2 33,2 3 C 设抛物线解析式 2 3ya x， 2 2 3 332 3 a ， 3 2 a， 23 3 2 yx， 当0x时， 27 2 y ； 故选：B 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标 是解题的关键 3 （ （2019 山西中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥山西中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图 如图 1)，它由五个高度不同，跨径也不同，它由五个高度不同，跨径也不同 的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最
43、高的钢拱如图的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2 所示，此钢拱所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象近似看成二次函数的图象- 抛物线抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点，拱高为两点，拱高为 78 米米(即最高点即最高点 O 到到 AB 的距的距 离为离为 78 米米)，跨径为，跨径为 90 米米(即即 AB=90 米米)，以最高点，以最高点 O 为坐标原点，以平行于为坐标原点，以平行于 AB 的直的直线为线为x轴建立平面直轴建立平面直 角坐标系，则此抛物线钢角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为拱的函数表
44、达式为( ) A 2 26 675 yx B 2 26 675 yx C 2 13 1350 yx D 2 13 1350 yx 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 设抛物线解析式为 y=ax2，由已知可得点 B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】 拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点 O 为坐标原点， 以平行于 AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为 y=ax2，点 B(45，-78)， -78=452a， 解得：a= 26 675 ， 此抛物线钢拱的函数表达
45、式为 2 26 675 yx ， 故选 B. 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 4 （ （2019 山西中考模拟）如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面山西中考模拟）如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 时，水面宽 4m，若水面下降，若水面下降 2m， 则水面宽度增加（则水面宽度增加（ ） A4 24 m B4 2m C4 24 m D4m 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 根据已知建立平面直角坐标系， 进而求出二次函数解析式， 再通过把 y=-2 代入抛物线解析式得出水面宽度， 即可得出答案 【详解】 解：以 AB 所在的直线为 x 轴，向右为正方向，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，向上为正方向，建立如图所 示的平面直角坐标系， 抛物线以 y 轴为对称轴， 且经过 A， B 两点， OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，
