1、第二节第二节 模糊集合模糊集合。10,xRxxA)(xAAxAxxA01)(AxAxAxxA0)1,0(1)(的程度属于)(xA)(xA)(xAiixxxA/2211),(,),(),(2211iixxxAxxAA/)(AAuCA学习差学习好01)(,0.850.95,0.90A 100/)(xxA1002552512501)(12xxxxY200,0X02040608010012000.10.20.30.40.50.60.70.80.91X YearsDegree of membership0)(uAA1)(uEAA)()(uuBABA)(1)(uuAAAA2.08.01)(0uA0u8.0
2、)(0uA0u)()(uuABAB)()()(),(max()(uuuuuBABABABA)()()(),(min()(uuuuuBABABABAAABABABABA43215.08.02.09.0uuuuA43216.04.01.03.0uuuuB43216.08.02.09.0uuuuBA43215.04.01.03.0uuuuBA1)()(uuAA0)()(uuAA4.0)(uA6.04.01)(uA16.06.04.0)()(uuAA04.06.04.0)()(uuAA)(),()(xxMinxBAc)()()(xxxBAc1)()(,0)(xxMaxxBAc)(),()(xxMaxx
3、BAc)()()()()(xxxxxBABAc)()(,1)(xxMinxBAc)(1()(1(1)()()(1xxxxxBABAc)()()(xxxBAc)().()()()(xxxxxBABAc第三节第三节 隶属函数隶属函数222)(),(cxecxfc),gaussmf(x,bacxcbaxf211),(c)b,a,gbellmf(x,)(11),(cxaecaxf)ca,sigmf(x,dxdxccdxdcxbbxaabaxaxdcbaxf010),(d)c,b,a,trapmf(x,cxcxbbcxcbxaabaxaxcbaxf00),(c)b,a,trimf(x,b)a,zmf(x
4、,01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=3 6 801234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=2 4 601234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=2 401234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=1 5 7 801234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=3 6 801234567891000.10.20.30.40.50
5、.60.70.80.91trimf,P=3 7-3-2-1012300.20.40.60.81xDegree of membership010203040506070809010000.20.40.60.81gradeDegree of membershipEDCBANAu试验总次数的次数00u第四节第四节 模糊关系模糊关系1.模糊关系的定义定义211所谓A，B两集合的直积中的一个模糊关系R，是指以为论域的一个模糊子集，序偶的隶属度为一般地，若论域为n个集合的直积，则它所对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函数。显然当隶属度函数值只取“0”或“1”时，模糊关系就退化为普通关系。Bb
6、AabaBA,),(BA),(ba。),(baRnAAA21),(21nRaaan对于确定的控制系统而言，系统的输入输出存在一种确定的关系也称普通关系。同样，对于模糊的控制系统，系统的输入输出也存在某种关系通常称为模糊关系，而这种模糊关系是通过定义在不同论域上的模糊变量之间的模糊条件语句来表示的。假设有如下一条模糊规则其中，条件部模糊集A定义为，结论部模糊集B定义为。为了建模糊关系，先来考虑一下A和B的直积，记为。其中，是有序 对的集合，即B(v)THENA(u)FI或BA UuuA/)(VvvB/)(BA)292(),/()(,)(min(vuvuBABVUAVU),(vu。VvUuvuVU
7、,/),(n例设；则由式（229）可知对于以上这种模糊集合的表示形式也可以很方便地用模糊关系矩阵R来表示;3/2.02/7.01/1/)(;4,3,2,1;3,2,1uuVUA4/2.03/4.02/6.01/8.0/)(vvB)4,3/(2.0)3,3/(2.0)2,3/(2.0)1,3/(2.0)4,2/(2.0)3,2/(4.0)2,2/(6.0)1,2/(7.0)4,1/(2.0)3,1/(4.0)2,1/(6.0)1,1/(8.0 BA123410.80.60.40.220.70.60.40.230.20.20.20.2 为了进一步深入地分析模糊关系矩阵的内在含义和计算方法，引入笛卡
8、尔积算子。定义 2-12 笛卡尔积（算子）若分别是论域中的模糊集，则的笛卡尔积是在积空间中的一个模糊集，其隶属度函数为直积（极小算子）：或代数积：对于连续情况，关系矩阵可以定义为为了便于区分起见，我们引入两个记号分别表示笛卡尔积（算子）两种运算规则，即直积（极小算子）用表示，代数积用表示。tnAAA21、nUUU、21nAAA21、nUUU21),(2121nAnAAuuu)302()(,)(,)(min2211nAnAAuuu)312()()()(),(22112121nAnAAnAnAAuuuuuu),/()()(),/(),(vuvtuvuvuBARBVUAVURtAPminn例27考虑
9、如下模糊条件语句如果C是慢的，则A是快的。其中，C，A分别属于两个不同的论域 U，V。其隶属度函数分别为那么它们的直积为例27考虑如下模糊条件语句如果C是慢的，则A是快的。其中，C，A分别属于两个不同的论域 U，V。其隶属度函数分别为那么它们的直积为。慢快100/080/060/040/3.020/7.00/1;100/180/160/7.040/3.020/00/0CA0000000000000000003.03.03.03.0007.07.07.03.000117.03.000)1,0min()1,0min()1,0min()1,0min()1,0min()1,0min()1,3.0min
10、()1,3.0min()1,7.0min()1,7,0min()1,1min()1,1min()7.0,0min()3.0,0min()0,0min()0,0min()7.0,0min()3.0,0min()0,0min()0,0min()7.0,0min()3.0,0min()0,0min()0,0min()7.0,3.0min()3.0,3.0min()0,3.0min()0,3.0min()7.0,7.0min()3.0,7.0min()0,7.0min()0,7.0min()7.0,1min()3.0,1min()0,1min()0,1min(),()min(vuAC)()(vtuAC
11、CvuA)()(vtuACCvuA从这个简单的例子可以看出，代数积运算子比取小算子产生更平滑的模糊关系表面。从中我们也可以体会到，模糊关系实际上反映的是模糊系统的输入输出关系。因此，它也是模糊系统模型的重要表示法之一。由于模糊关系R实际上是一个模糊子集。因此它的运算完全服从于模糊子集的法则（如交、并、补等）特别是当论域 为有限集时，模糊关系R也可以用矩阵来表示，并称之为模糊矩阵。0000000000000000003.03.021.009.0007.07.049.021.000117.03.000),()(vuACAPBA 功功课课 姓姓名名英英语语数数学学物物理理化化学学张三70908065
12、李四90857670王五50958580100)(uu 功课功课 姓名姓名英语英语数学数学物理物理化学化学张三0.700.900.800.65李四0.900.850.760.70王五0.500.950.850.8080.085.095.050.070.076.085.090.065.080.090.070.0R)(ijaA)(ijbB nji,2,1,（1）相等若ijijba，则A=B。（2）包含若ijijba，则AB。例例3-10 设9.03.01.07.0A1.02.09.04.0B（3）并 运 算 若ijijijbac，则)(ijcC为A和B的 并，记 为C=A B。（4）交 运 算 若
13、ijijijbac，则)(ijcC为A和B的 交，记 为C=A B。（5）补 运 算 若ijijac1，则)(ijcC为A的 补，记 为C=A。9.03.09.07.01.09.02.03.09.01.04.07.0BA1.02.01.04.01.09.02.03.09.01.04.07.0BA1.07.09.03.09.013.011.017.01Akjikkijbac例例 3-8 设，22211211aaaaA22211211bbbbB22211211ccccBAC)b(a)ba(c2112111111)b(a)ba(c2212121112)b(a)ba(c2122112121)b(a)b
14、a(c2222122122当3.05.07.08.0A，9.06.04.02.0B时，有 4.03.07.06.0BA 6.06.03.04.0AB 可见，ABBA。第五节第五节 模糊推理模糊推理。例例3-9 设论域x=a1，a2，a3，y=b1，b2，b3，z=c1，c2，c3，已知 ，。试确定“If A AND B then C”所决定的模糊关系R，以及输入为 ,时的输出C1。3211.015.0aaaA3216.011.0abbB2114.0ccC32111.05.00.1aaaA32116.011.0bbbB1.01.01.06.00.11.05.05.01.06.011.01.015
15、.0T1.01.01.06.00.11.05.05.01.0 14.01.01.01.06.00.11.05.05.01.0TT1.01.01.06.011.05.05.01.01.01.01.04.04.01.04.04.01.0当输入为A1和B1时，有：(A1B1)=将A1B1矩阵扩展成如下行向量：(AB)T2=最后得:C1=即：C1=1.01.01.05.05.01.015.01.015.01.01.05.011.01.01.05.05.01.015.01.05.04.01.01.01.06.011.05.05.01.01.01.01.04.04.01.04.04.01.01.01.01
16、.05.05.01.015.01.0T215.04.0ccn从条件变量的多少、模糊规则多少的角度来划分，模糊规则推理方法又可以分为以下四种模糊推理规则。四种规则都 可选用不同的推理方法等。1、近似推理 在控制系统中经常存在此类现象，“如果温度低，则控制电压就增大”这样一个前提下，要问“如果温度很低，则控制电压将是多少呢？很自然用人们的常识可以推知，“如果温度很低，则控制电压就很大”，这种推理方式就称为模糊近似推理。这种推理方式可以这样来表达。前提1：如果是A，则是Bn 前提2：如果x是A 结 论：是=A。（AB）即结论可用 与由A到B的推理关系进行合成而得到,由于A到B模糊关系矩阵R为利用R可
17、以得到近似推理的隶属度函数为根据不同的推理方法可以得到模糊关系矩阵元素的不同计算方法，主要有扎德（Zadeh)推理法或yBB A)352(),/()()(YXBAyxytxBAR)362(),()()(yxxyBAAxB),(yxBA)372()1(1)(BABA TABABAxyxyx)(1)()(),(n玛达尼（Mamdani)推理法 那么其隶属度函数为例2-12设论域 XY1,2,3,4,5X、Y上的模糊子集“大”、“小”、“较小”分别定义为：“大”0.4/3+0.7/4+1/5 “小”1/1+0.7/2+0.3/3 “较小”1/1+0.6/2+0.4/3+0.2/4己知：规则若小，则大
18、问题：当较小时，？解己知 且 由扎德（Zadeh)推理法xyxy;17.04.000)(,003.07.01)yx大小（02.04.06.01)(x较小)1)(),xyxyx（小大小大小也可以得到其关系矩阵选择扎德推理法，因此，可得较小时的推理结果)392(00000000003.03.03.0007.07.04.00017.04.00011111111117.07.07.07.07.07.07.04.03.03.017.04.000minRRzdzdRyy)（较小较大17.04.04.04.011111111117.07.07.07.07.07.07.04.03.03.017.04.0000
19、2.04.06.01，5/14/7.03/4.02/4.01/4.0)y（较大xn从中可以看出，扎德推理的结果与人们的思维是一致的。同样，由玛达尼推理法也可得从上例可以看出，在近似推理中，扎德推理比玛达尼推理法更符合人们的思维。2.模糊条件推理语言规则是：如果是A，则是B，否则是C。其逻辑表达式为：。要实现模糊推理的关键是找出模糊关系矩阵，根据逻辑表达式，其模糊关系R是XY的子集，可以表示为有了这个模糊关系矩阵，就可根据模糊推理合成规则，将输入与该关系矩阵R进行合成得到模糊推理结论，即例2-13对于一个系统，当输入A时，输出为B，否则为C，5/14/7.03/4.0)y（较大xyy)()(CA
20、BA)()(CABAR)402()()(1()()(),(yxyxyxCABACABAR)()(CABAARAB且有己知当前输入。求输出D。解先求关系矩阵R因为。由玛达尼推理法得则321321321/7.0/6.0/5.0/2.0/5.0/8.0/1.0/4.0/1vvvCvvvBuuuA321/4.0/1/2.0uuuA)()(CABAR7.06.05.06.06.05.0000,1.01.01.02.04.04.02.05.08.0CABA7.06.05.06.06.05.02.05.08.0)()(CABAR输出即6.06.05.07.06.05.06.06.05.02.05.08.04.012.0RAD321/6.0/6.0/5.0vvvD4.04.02.06.0321xxx 4.04.02.06.0321xxx4.02.02x 4.04.06.031xx1,0,1,0,4.0321xxx4.01x1,03x4.0,01x1,4.03x1,4.0,1,0,4.0,0321xxx
