1、 专题专题 2828函数与角函数与角 破解策略破解策略 1、特殊角问题 （1）运用三角函数值； （2）遇 45构造等腰直角三角形； （3）遇 30，60构造等边三角形； （4）遇 90构造直角三角形 2、角的数量关系问题 （1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三 角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等； （2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理； （3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角 例题讲解例题讲解 例例 1 1、如图，抛物线43 2 xxy与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，点D在抛物线上且横坐标
2、为 3，连结CD，CB，BDP是抛物线上的一个动点， 且DBP45，求点P的坐标 x y AB D C Ox y F E AB DC O P 解：如图，过点D作DEBC于点E 设抛物线上点P的坐标为（m，43 2 mm），过点P作PFAB于点F 令043 2 xx，解得4, 1 21 xx 所以点A的坐标为（1，0），B的坐标为（4，0） 当x0 时，y4，所以点C的坐标为（0，4） 当x3 时，y4，所以点D的坐标为（3，4） 所以OBOC，CDAB 所以ABCBCDEDC45 在 RtCED中，有CEDECD 2 23 45sin， 因为24BC，所以BE 2 25 所以 tanDBC 5
3、 3 若PBD45ABC，则PBFDBC， 所以 tanPBF PF BF tanDBC，即 2 343 45 mm m ，解得m1 2 5 ，m24（舍） 所以满足条件的P点的坐标为 2 66 (,) 5 25 例例 2 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线yx 24x3 与 x轴交于点A，B（点A在点 B左侧），与y轴交于点 C若抛物线的对称轴上的点P满足APBACB，求点P的坐标 解：解： 由已知条件可得A（1，0），B（3，0），C（0，3） 可设ABC外接圆的圆心为D（2，m）， 则DCDA，即 1m 24（m3）2， 解得m2， 所以外接圆的圆心为D（2，2），则DA5 如图，该
4、圆交抛物线对称轴于点P1，作P1关于x轴的对称点P2，则P1，P2即为所求 所以点P的坐标为(2,2+ 5)或(2, 25) 例例 3 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线yx 22x3 与 x轴交于点A，B，与y轴交 于点C，抛物线的顶点为D，直线y 1 1 3 x交y轴于点E，求EBCCBD的度数 解：解：如图，过点D作DHy轴于点H 由已知条件可得A（1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4），E（0，1） 因为 OBCH OCDH ，且COBCHD90， 所以OBCHCD，OCBHCD90， 所以BCD90， CBOB DCCH 3 在 RtBOE中，tanEBO 1 3 ，
5、 所以EBOCBD 所以EBCCBDABC45 例例 4 在平面直角坐标系xoy中，抛物线yax 22ax3a（a0）与 x轴交于A，B两点（点 A在点B的左侧）若在抛物线上存在一点N，使得ANB90，结合图像，求a的取值范 围 解解 抛物线yax 22ax3aa（x3）（x1）a（x1）24a， 所以点A（3，0），点B（1，0）， 从而AB4，抛物线对称轴为x1 以AB为直径作圆 如图，当点N为圆与对称轴的交点时，则点N的坐标为（1，2） 将其代入抛物线表达式，得a 1 2 如图，当点N在抛物线上（不与顶点重合）时，4a2，则a 1 2 综上可得，满足题意的a的取值范围为a 1 2 进阶训
6、练进阶训练 1已知直线l：y2x4 和直线外一点P（3，2），求经过点P且与l夹角是 45的直 线的表达式 【答案】1直线的表达式为y 1 3 x3 或y3x7 【提示】 设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，将AOB绕点B顺时针旋转 90得到 AOB，则直线AA与直线l的夹角为 45，易求直线AA：y 1 3 x 2 3 ，所以只要求 过点P且平行于AA和垂直于AA的直线表达式即可 2抛物线yax 2bx3a 经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点B，点 D（m，m1）在第四象限的抛物线上，连结BD，问：抛物线上是否存在点P，使PCB CBD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
7、说明理由 【答案】2存在，点P的坐标为（5，12）或（ 7 3 ， 20 9 ） 【提示】易求抛物线的表达式为yx 22x3，将点 D的坐标代入表达式得m2，即点D 的坐标为（2，3） 如图，过点C作CP1/BD交抛物线于点P1，则P1CBCBD，由直线BD的表达式可得直 线P1C：y3x3，与抛物线方程联立方程组，得点P1的坐标为（5，12）； 如图，在x轴上点B的右侧取一点E，使得ECBP1CB，CE与抛物线交于点P2直线 CP1与x轴交点为F（1，0），作FMCB于点M，作ENCB于点N易证CMFCNE，从 而 ENFM CNCM 设BE2a，则ENa，CNa3 2，从而求得a3 2，所
8、以点E的坐 标为（9，0），得到直线CE：y 1 3 x3，与抛物线方程联立方程组，得点P2的坐标为（ 7 3 ， 20 9 ） 3如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线yx 22x3 与 x轴交于点A，B（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，过点A作ANx轴，D为直线AC下 方抛物线上的点若CODMAN，求此时点D的坐标 【答案】3点D的坐标为（3，2 3） 【提示】设点D的坐标为（m，m 22m3），所以 tanCODtanMAN，即可得到 m3 4如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数y 2 33 3 22 xx的图像与x轴交于A， C两点（点A在点C的左侧），
9、与y轴交于点B，M（ 1 2 ，t）为抛物线对称轴上的一个动点， 连结MA，MB若AMB不小于 60，求t的取值范围 【答案】4 2 339 6 t 2 339 6 【提示】由已知可得点A，B的坐标分别为（1，0），（0，3），连结AB，则ABO 30过AB的中点D作AB的垂线，交y轴于点P，连结AP，则APBP且APB120， 以点P为圆心，AP长为半径作P，交抛物线对称轴于E，F两点，连结AE，BE，AF，BF， 则AEBAFB60，故当点M在线段EF上时，有AMB60，过点P作PQEF于点 Q，则EQFQ 1 2 EF，PQ 1 2 连结PF，则PFPA 3 2 AO 2 3 3 所以QF 39 2 易得 点P的坐标为（0， 3 3 ），所以点Q的坐标为（ 1 2 ， 3 3 ），所以点E，F的坐标分别为 （ 1 2 ， 2 339 6 ），（ 1 2 ， 2 339 6 ），从而得到t的取值范围
