1、第九章第九章 常微分方程常微分方程第一节 常微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 可降阶微分方程 第四节 二阶常系数微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、基本概念引例一、基本概念引例二、微分方程的基本概念二、微分方程的基本概念第九章第九章 常微分方程常微分方程 导言：为了解决实际问题，经常需要确定反映客观事物内部间联系的函数关系.寻找函数关系的一种常用方法是建立所求函数的导数所满足的关系式这种关系式就是所谓的微分方程.本章主要介绍微分方程的基本概念、几种常用微分方程的经典解法和微分方程的应用.第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、基本概念引例
2、 例 一曲线过点(1,2),曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程.)(xyy 设所求曲线方程为解 3dd2xxy 由导数的几何意义得得式求积分对,)1(d332Cxxxy故因曲线通过点),5,2(21 xy|由条件 代入（3）式，得 21 xy|1 C 故所求曲线方程为 13 xy由条件 得得式两端求不定积分对,)(1)(为常数CCxxxy d332 21 xy|1 C 1 3 xy故所求曲线方程为 3dd2xxy.)(xyy 设所求曲线方程为由导数的几何意义得故因曲线通过点),(21 21 xy|解 法概念命名微分方程初始条件方程通解方程特解由牛顿第
3、二定律知设所求路程函数为),(tss 解)(mgtsm )(满足条件由题意知 ts)(gts 即 d)(1Cgttgts再积分，得212121d)(CtCgttCgts0)0(,0)0(vss对式两端积分，得0201CvC，0)0(,0)0(vss将代入，得 动规律为故所求的自由落体的运.2120gttvs 例2 设质量为m的物体,以初速度 从地面垂直上抛，若物体只受重力作用，试求物体的运动规律.0v实例2中的对应概念实例2概念名称二阶微分方程初始条件方程通解方程特解)(gts 0)0(,0)0(vss21221CtCgts.2120gttvs二、微分方程的基本概念定义含未知函数的导数或微分的
4、方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.2.微分方程的解、通解与特解 定义代入方程能使微分方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解.如果微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解.相应的，不包含任意常数的解为微分方程特解.1.微分方程及微分方程的阶 常数的独立性：若在表达式 中)()(xyCxyC2211 为常数）（kkxyxy)()(21则称函数线性无关与)()(xyxy21此时常数 相互独立.21CC 与.)(,)()(10)1(1000nnyxyyxyyxyn
5、n，个初值条件：阶微分方程需给出一般地，对于3.微分方程的初值条件及其记法 用以确定微分方程解中任意常数的特定条件，称为微分方程的初值条件.初值条件的记法1000|,|yyyyxxxx.,100都是已知值其中yyx.1 0 04 ee 00212221的特解程满足初值条件：的通解，并求此微分方是二阶微分方程为任意常数，验证函数 xxxxyyyyCCCCy,)(，xxCCy2221e4e4例，分别求导数，得将函数xxxxCCyCCy22212221e2e2 ee 解0e4e4e4e44 22212221 xxxxCCCCyy左端，得把它们代入微分方程的.是该方程的通解立的任意常数，所以它的独与微分方程的阶数相同又因这个解中含有两个是所给微分方程的解所以函数xxCCy2221ee xxxxCCyCCy22212221e2e2 ee 及分别代入下式及把初始条件1000 xxyy:.4141 1220 212121 CCCCCC，解得，得).(xxy22ee41 为故满足初值条件的特解
