1、1 第第 7 讲、拆解转化（讲义）讲、拆解转化（讲义） 1. 在平面直角坐标系中，直线交 y 轴于点 B，交 x 轴于点 A，抛物 3 1 4 yx 线经过点 B，与直线交于点 C(4，-2) 2 1 2 yxbxc 3 1 4 yx （1）求抛物线的解析式； （2）如图，横坐标为 m 的点 M 在直线 BC 上方的抛物线上，过点 M 作 ME y 轴交直线 BC 于点 E，以 ME 为直径的圆交直线 BC 于另一点 D，当点 E 在 x 轴上时，求DEM 的周长； （3）将AOB 绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转 90，得到 A1O1B1，点 A，O，B 的对应点分别是 A1，O1，B1
2、，若A1O1B1的两个顶点 恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1的坐标 O M E D C B A y x O y x O y x 2 2. 如图，已知抛物线（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半 2 11 (1) 444 b yxbx 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C （1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表 示） （2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b， 且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在， 求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明 理由 （3）请你进一步探
3、索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO，QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似 （全等可看作相似的特殊情况）？如果存 在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 y xO C BA P AB C Ox y y xOA 3 3. 如图，已知二次函数 y=x2+(1-m)x-m（其中 0m1）的图象与 x 轴交于 A， B两点 （点A在点B的左侧） ， 与y轴交于点C， P为对称轴l上一点， 且PA=PC （1）ABC 的度数为_ （2）求点 P 的坐标（用含 m 的代数式表示） （3）在坐标轴上是否存在点 Q（与原点 O 不重合） ，使得以 Q，B，C 为顶 点的三角形与PAC 相似
4、，且线段 PQ 的长度最小？若存在，求出所有满足 4 条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 P C BA l y x O P C BA l y x O P C BA l y x O 5 4. 已知抛物线 y=ax2+bx+c，其中 2a=b0c，且 a+b+c=0 （1）直接写出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根； （2）证明：抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 A 在第三象限； （3）直线 y=x+m 与 x，y 轴分别相交于 B，C 两点，与抛物线 y=ax2+bx+c 相 交于 A，D 两点设抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴与 x 轴相交于点 E如果在
5、 对称轴左侧的抛物线上存在点 F， 使得ADF 与BOC 相似， 并且 SADF= 1 2 SADE，求此时抛物线的表达式 O y x 6 O y x 【参考答案】【参考答案】 1. （1）抛物线的解析式为； 2 15 1 24 yxx （2）DEM 的周长为； 64 15 （3）A1的坐标为(，)或(，) 7 12 29 288 3 4 31 96 2. （1）(b，0)；(0，)； 4 b （2）存在，点 P 的坐标为(，)； 16 5 16 5 （3）存在，点 Q 的坐标为(1，)或(1，4) 23 3. （1）45； 7 （2）P(，)； 1 2 m1 2 m （3）存在，点 Q 的坐标为(，0)或(0，) 2 5 2 5 4. （1）x=1； （2）证明略； （3）此时抛物线的解析式为 y=x2+2x-3
