1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A6.3.3 6.3.3 多元函数的极值多元函数的极值6.3.4 6.3.4 条件极值条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 6.3.3 6.3.3 多元函数的极值多元函数的极值 二元函数极值的定义二元函数极值的定义极值存在的必要、充分条件极值存在的必要、充分条件 求函数极值的步骤与习例求函数极值的步骤与习例1-3多元函数的最值问题多元函数的最值问题 多元函数的最值问题习例多元函数的最值问题习例4-76.3.4 6.3.4 条件极值条件极值LagrangeLagrange乘数法则乘数法则 条件极值
2、条件极值 Lagrange乘数法乘数法Lagrange乘数法习例乘数法习例8-12 小结小结思考题思考题多元函数的极值与条件多元函数的极值与条件极值极值Lagrange乘数乘数法法 一、多元函数的极值一、多元函数的极值 1.二元函数极值的定义二元函数极值的定义 若都适合不等式若都适合不等式的点的点异于异于对于一切对于一切内有定义内有定义在在设设),(,),(),(0000yxPPyxPUyxfz ),(),(00yxfyxf 有极大值有极大值在在则称则称),(),(000yxPyxfz ),(),(00yxfyxf 或或).,(00yxf或极小值或极小值极大值与极小值统称为极值极大值与极小值统
3、称为极值.),(000为极值点为极值点yxP若引进点函数若引进点函数,则则 ;)(,)()(00为极大值为极大值时时当当PfPfPf .)(,)()(00为极小值为极小值时时当当PfPfPf(1)(2)(3)处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz 处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz 处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz 2.极值存在的必要条件和充分条件极值存在的必要条件和充分条件 定理定理1 1（极值存在的必要条件）（极值存在的必要条件）.0),(,0),(,),(,),(),(00000000 yxfyxfyxyxyxfzyx则则极值极值取得取得且
4、在且在具有偏导数具有偏导数在在设设证证,),(),(00取取得得极极小小值值在在设设yxyxfz ),(),(,00000yxfyxfyyxx 仍仍有有取取,),(00取取得得极极小小值值在在表表明明一一元元函函数数yyyxf.0),(00 yxfy.0),(00 yxfx同同理理可可证证),(),(00yxfyxf 则则注意注意:.),(),(,0),(,0),()1(000000的驻点的驻点为为则称则称若若yxfzyxyxfyxfyx .,),()2(0面面平行于平行于在极值点处的切平面为在极值点处的切平面为xoyzzyxfz (3)如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(
5、000zyxP具有具有偏导数，则它在偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条件为有极值的必要条件为 0),(000 zyxfx，0),(000 zyxfy，0),(000 zyxfz.(4)(4)驻点驻点极值点（可偏导函数）极值点（可偏导函数）定理定理2（极值存在的充分条件）（极值存在的充分条件）,),(),(0偏导数偏导数且有一阶及二阶连续且有一阶及二阶连续内连续内连续在在设设 PUyxfz ,0),(,0),(0000 yxfyxfyx又又),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx 令令2 (1)0,BAC则当时 有极值;0,0时有极小值时有极小值时有极大值
6、时有极大值 AA2(2)0,;BAC当时 没有极值.,0)3(2需另作讨论需另作讨论为可能极值为可能极值时时当当 BAC证证:由二元函数的泰勒公式,并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx则有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00连续的二阶偏导数在点由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(0022221kCkhBhA其中其中,是当h 0,k 0 时的无穷小量,于是z),(21khQ)(22kh,很小时因此当kh.),(确定的正负
7、号可由khQz(1)当 B2 AC 0 时,若A,C不全为零,无妨设 A0,则)(),(221kkBhAkhQA)(2BAC),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直线当时,有,0kBhAAkhQ与故),(异号;),(yx当,),(0000时接近沿直线yxyy,0k有AkhQ与故),(同号.可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yxxy),(00yxo+xy),(00yxo若 AC 0,则必有 B0,不妨设 B0,此时 222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx对点,同号时当kh,0),(khQ,异号时当kh,0),(khQ可见
8、z 在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yxkhB2,0z从而,0z从而(3)当ACB2 0 时,若 A0,则21)(),(kBhAkhQA若 A0,则 B0,2),(kCkhQ可能),(khQ为零或非零此时)(),(221okhQz,)(,0),(2确定的正负号由时因为ozkhQ因此,不能断定(x0,y0)是否为极值点.求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第第一一步步 解解方方程程组组,0),(yxfx0),(yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点.).,(),(),(yxfyxfyxfyyxyxx求求第二步第二步第第三三步步 对对于
9、于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C.3.求函数极值的步骤与习例求函数极值的步骤与习例 .1323),(12233的极值的极值求求例例 xyyxyxf.),(010422 2222的极值的极值所确定的函数所确定的函数求由方程求由方程例例yxzzzyxzyx .)0,0()(322233是否取得极值是否取得极值在点在点及及讨论函数讨论函数例例yxzyxz 例例4.设设 f(x,y)=2x2-3xy2+y 4,求它的极值求它的极值解解1,02,0 yyxx)1,2(),0,2(),1,0(),0,0(驻点有驻点有,0 xyfB36 yfCyy,3,
10、0,06)0,0()3(CBA处处在在,3,0,06)1,0(CBA处处在在得得由由 033063)1(22yyfxxfyx,66)2(xfAxx2180,;BAC有极大值2180,;BAC 无极值.1323),(12233的极值的极值求求例例 xyyxyxf,3,0,06)0,2(CBA处处在在,23)1,0(f极大值为极大值为.3)0,2(f极小值为极小值为,3,0,06)1,2(CBA处处在在2180,;BAC有极小值2180.BAC 无极值解解求偏导得求偏导得方程两边对方程两边对yx,)2(04222 yyzzzy,21 zxzx21 zyzy,1,10,0 yxzzyx得得令令.2,
11、621 zz从而从而的邻域内取值情况的邻域内取值情况及及在在下面考虑函数下面考虑函数)2,1,1()6,1,1(),(yxzz)1(04222 xxzzzx.),(010422 2222的极值的极值所确定的函数所确定的函数求由方程求由方程例例yxzzzyxzyx 10422),(222 zyxzyxzyxF令令42 zFz则则,08)2,1,1(,08)6,1,1(zzFF由于由于),(),(21yxfzyxfz 从而确定了从而确定了)1(04222 xxzzzx由由于于)2(04222 yyzzzy021)1(2 xxxxxzzzzx求偏导得求偏导得对对02)1(xyxyxyzzzzzy求求
12、偏偏导导得得对对021)2(2 yyyyyzzzzy求偏导得求偏导得对对,41,0,041,)6,1,1(CBA处处在在,41,0,041,)2,1,1(CBA处处在在.2)1,1(,6)1,1(zz极极小小值值为为极极大大值值为为20,;BAC有极大值20,.BAC有极小值解解 显然显然(0,0)都是它们的驻点都是它们的驻点,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值,因此因此 z(0,0)不是极值不是极值.因此因此,022时时当当 yx222)(yxz 0)0,0(z为极小值为极小值.正正负负0 xyzo并且在并且在(0,0)都有都有 20BAC33yxz 可能为可能为0)()0,0()0
13、,0(222 yxz.)0,0()(322233是否取得极值是否取得极值在点在点及及讨论函数讨论函数例例yxzyxz 例例4.设设 f(x,y)=2x2-3xy2+y 4,求它的极值求它的极值解：解：先求先求 ).,()(00 03220422Mxyyfyxfyx有有 A=fxx(0,0)=4,B=fxy(0,0)=0,2 0,BAC由定理由定理2不能判断不能判断M点是否为极值点点是否为极值点,但是当但是当(x,y)(0,0),因为因为 f(x,y)f(0,0)=2x2 3xy 2+y4=(2x y 2)(x y 2)C=fyy(0,0)=0,当当 x f(0,0);当当 y2/2 x y2时
14、时,f(x,y)0,B=fxy=4/5,2 0,BACC=fyy=18/5,由于由于A0,则驻点为极小值点，而该问题则驻点为极小值点，而该问题的最小值确实存在，则该极小值点也为最小值点。的最小值确实存在，则该极小值点也为最小值点。8 8.证明：函数(1)cosyyzexye有无穷多个极大值，但没有极小值。有无穷多个极大值，但没有极小值。解解:得驻点M(x,y)sin(1)0(cos1)0yxyyzxezexy 解方程组解方程组0,2,cos1,0,1,22,21nkxnynknk 22 ,2|cos(1)|,(1),21|sin|0,yxxMMyxyMMnkAzxeenkBzex 22221
15、,2|(cos2)|,212 ,20,(1),21yyyMMnkCzeyyenknkBACeenk由于由于A0,则所求的驻点均为极大值点，则所求的驻点均为极大值点，即得证该函数有无穷多个极大值，但没有极小值。即得证该函数有无穷多个极大值，但没有极小值。9 9.设设(x,y,z)在第一卦限的球面在第一卦限的球面22225xyzR（2 2）对任意的正数）对任意的正数a,b,c，证明下列不等式成立，证明下列不等式成立求（1）函数 的最大值；3(,)f x y zxyz3527()5abcabc解:(1)设拉格朗日函数32222(5)LxyzxyzR令332222220203205xyzLyzxLxzyLxyzzxyzR得驻点(,3)R RR在约束条件下，当点从第一卦限内趋于第一卦限的边界是，函数趋于零不可能取到最大值，而第一卦限内驻点唯一，所以函数5max(,3)27ff R RRR(2)由(1)有,当 的最大值为3(,)f x y zxyz22225,0,0,0 xyzRxyz时,52223522727()5xyzxyzR上式两边平方，22222235()27()5xyzx yz222,ax bycz再令 ，则有3527()5abcabc
