1、专题专题 2020简单的四点共圆简单的四点共圆 破解策略破解策略 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆一般简称为”四点共 圆”四点共圆常用的判定方法有： 1若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆 如图，若OAOBOCOD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的 圆上 O D A B C 【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成 90时，MN取最大值，最大值是 2 【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O，显然点M，N在以OP为直径的O上， 连结NO并延长， 交O于点Q， 连结QM， 则QMN90，QNOP2， 而MQN180 BOC60，所以可求得MN的长为定
2、值 Q M N O D O A B C P （2）由（1）知，四边形PMON内接于O，且直径OP2，而MN为O的一条弦， 故MN为O的直径时，其长取最大值，最大值为 2，此时MON90 2若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆 如图，在四边形ABCD中， 若AC180（或BD180）则A，B，C，D 四点在同一个圆上 D B C A 【答案】（1）略；（2）ADDE；（3）ADDEtan 3 3 【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而AEDABD45，所以ADDE （2）同（1） ，可得A，D，B，E四点共圆，AEDABD30，所以 tan30， AD DE 即AD DE
3、 3 3 3若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆 如图，在四边形ABCD中，CDE为外角，若BCDE，则A，B，C，D四点在同一个 圆上 D B C A E 【答案】略 4若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两 个点和这条线段的两个端点共圆【来源：21世纪教育网】 如图，点A，D在线段BC的同侧，若AD，则A，B，C，D四点在同一个圆上 D B C A 【答案】略 诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来利用四 点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等 例题讲解例题讲解 例例
4、 1 如图，在ABC中，过点A作ADBC与点D，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分 别为E，F求证：B，E，F，C四点共圆 A BC D E F A BC D E F 证明证明 因为DEAB，DFAC， 所以AEDAFD180，即A，E，D，F四点共圆 G 连结EF，则AEFADF 因为ADBC，DFAC， 所以FCDADFAEF， 所以B，E，F，C四点共圆 例例 2 在锐角ABC中，ABAC，AD为边上的高，E为AC的中点若M为线段BD上的 BC 动点 （点M与点D不重合） ， 过点C作CNAM与点N， 射线EN与AB相交于点P， 证明 ： APE 2MAD A BC D E PN M
5、A BC D E PN M 证明证明 如图，连结DE 因为ADBC，CNAM，E为AC的中点，所以DEAECENE， 从而A，N，D，C在以点E为圆心、AC为直径的圆上，所以DEN2DAN 由题意可得D为BC的中点，所以EDAB， 所以APEDEP 2MAD 进阶训练进阶训练 1已知O的半径为 2，AB，CD是O的直径，P是BC上任意一点，过点P分别作AB，CD 的垂线，垂足分别为N，M （1）如图 1，若直径AB与CD相交成 120角，当点P（不与B，C重合）从B运动到C的 过程中，证明MN的长为定值； （2）如图 2，求当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值 A
6、 BC D O M N P 图 1图 2 A B C D P M N O 答案：答案：（1）略 （2）AB，CD相交成 90时，MN取最大值，最大值为 2 【提示】 （1）如图，连接OP，取其中点O，显然点M，N在以OP为直径的O上连结NO 并延长，交O于点Q，连结QM，则QMN90，QNOP2而MQN180BOC 60，所以可求得MN的长为定值 A BC D O M N Q O P 图 1 （2）由（1）知，四边形PMON内接于O，且直径OP2而MN为O的一条弦，故MN 为O的直径时，其长取最大值，最大值为 2，此时QMN90 2 在 RtABC中， BAC90， 过点B的直线MNAC，D为BC边上一点， 连结AD， 作DEAD 交MN于点E，连结AE （1）如图 1，当ABC45时，求证：ADDE； （2）如图 2，当ABC30时，线段AD与DE有何数量关系？请说明理由； （3）当ABC时，请直接写出线段AD与DE的数量关系（用含的三角函数表示） 图 1 A BC D E F G 图 2 A BC D E M N 答案：答案：（略）；（2）ADDE；（3）ADDEtan 3 3 【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而AEDABD45，所以ADDE （2）同（1）可得A，D，B，E四点共圆，从而AEDABD30，所以tan30， AE DE 即ADDE 3 3
