1、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 中考数学 3.4 二次函数 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 二次函数的图象与性质 A组 2019年全国中考题组 1.(2019甘肃兰州,11,4分)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是 ( ) A.2y1y2 B.2y2y1 C.y1y22 D.y2y12 答案答案 A 由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,y的最大值为2,在对称轴右侧y随x的增大而 减小,又1y1y2,故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛物线
2、y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称, 则符合条件的m、n的值为( ) A.m= ,n=- B.m=5,n=-6 C.m=-1,n=6 D.m=1,n=-2 5 7 18 7 答案答案 D 若两个抛物线关于y轴对称,则两个抛物线的对称轴关于y轴对称,两个抛物线与y轴交于同一点, 即- + =0,n=2m-4,解得m=1,n=-2,故选D. 21 2 m3 2 mn 解题关键解题关键 本题考查了二次函数的图象与系数的关系,根据题意得出对称轴关于y轴对称,两个抛物线与y 轴交于同一点是解题关键. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019云南,21,8分
3、)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点. (1)求k的值; (2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴, x=- =0,即k2+k-6=0, 解得k=-3或k=2. (2分) 当k=2时,二次函数解析式为y=x2+6,它的图象与x轴无交点,不满足题意,舍去. 当k=-3时,二次函数解析式为y=x2-9,它的图象与x轴有两个交点,满足题意. k=-3. (4分) (2)点P到y轴的距离为2
4、, 点P的横坐标为-2或2. 又点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上, 当x=2时,y=-5; 当x=-2时,y=-5. (6分) 点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5). (8分) 2 6 2 kk 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 易错警示易错警示 (1)抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为x=- .(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,二 者容易混淆,从而导致失分. 2 b a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 系数a、b、c的作用 1.(2019黑龙江齐齐哈尔,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点(-3,0
5、),其对称轴为直线x=- ,结 合图象分析下列结论: abc0;3a+c0;当x0,正确. 抛物线经过点(-3,0), 9a-3b+c=0, 又b=a, c=-6a, 3a+c=3a-6a=-3a0,正确. 1 2 2 b a 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 抛物线开口向下,对称轴为直线x=- , 当x- 时,y随x的增大而减小, 错误. b=a,c=-6a, 一元二次方程cx2+bx+a=0可化为一元二次方程-6ax2+ax+a=0, 即6x2-x-1=0,解得x1=- ,x2= , 正确. 抛物线与x轴有2个交点, b2-4ac0, 0.有下列结论: abc0; -2和3是关于x的
6、方程ax2+bx+c=t的两个根; 00, a- b-20,即 a+ a-20,a .对称轴为直线x= ,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,m),(2,n),m =n,当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,m+n=4a-4,a ,4a-4 ,错误.故选C. 0 1 2 1 2 1 2 1 22 b a 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 8 3 1 2 8 3 20 3 方法指导方法指导 本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特 征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题的关键. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索
7、引 考点三 二次函数与方程、不等式之间的关系 1.(2019贵州贵阳,10,3分)在平面直角坐标系内,已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y= x+ 上,若抛物线y=ax2-x +1(a0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是 ( ) A.a-2 B.a0,m=2,M(2,-8),故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2017天津,12,3分)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点 M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上.则平移后的抛物线解析式为 ( ) A.y=x2+2x+1 B.y=x
8、2+2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x2-2x-1 答案答案 A 令y=0,则x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3, A(1,0),B(3,0). y=x2-4x+3=(x-2)2-1,点M的坐标为(2,-1), 平移该抛物线,使点M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上, 抛物线向上平移了1个单位长度,向左平移了3个单位长度, 平移后的抛物线解析式为y=(x+1)2=x2+2x+1,故选A. 解题关键解题关键 正确得出平移的方向和距离是解题的关键. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2017甘肃兰州,18,4分)如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P
9、(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则Q点的坐标 为 . 答案答案 (-2,0) 解析解析 P,Q两点关于对称轴x=1对称,则P,Q两点到对称轴x=1的距离相等,易知Q点的纵坐标为0.设点Q的横 坐标为m,则 =1,解得m=-2.Q点的坐标为(-2,0). 4 2 m 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2018陕西,24,10分)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C. (1)求A、B、C三点的坐标,并求ABC的面积; (2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L,且L与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交 于
10、点C,要使ABC和ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)令y=0,得x2+x-6=0, 解得x=-3或x=2, 点A在点B的左侧, A(-3,0),B(2,0). (2分) AB=5, 令x=0,得y=-6, C(0,-6), (3分) OC=6, SABC= AB OC= 56=15. (4分) (2)由题意,得AB=AB=5. 要使SABC=SABC,只要抛物线L与y轴的交点为C(0,-6)或C(0,6)即可. 设所求抛物线L:y=x2+mx+6,y=x2+nx-6. (7分) 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引
11、 又知,抛物线L与抛物线L的顶点纵坐标相同, = , = , 解得m=7,n=1(n=1舍去). 抛物线L的函数表达式为y=x2+7x+6或y=x2-7x+6或y=x2-x-6. (10分) 2 24 4 m24 1 4 2 24 4 n24 1 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 系数a、b、c的作用 1.(2018四川达州,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0,2)与(0,3) 之间(不包括这两点),对称轴为直线x=2. 下列结论:abc0; 若点M 、N 是函数图象上的两点,则y10.抛物线交y轴于正半轴,c0.ab
12、c0,正确. 对称轴为直线x=2,点M 到对称轴的距离大于点N 到对称轴的距离,y1y2; 无论a,b,c取何值,抛物线都经过同一个点 ; am2+bm+a0. 其中所有正确的结论是 . ,0 c a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 解析解析 因为图象开口向上,所以a0;因为对称轴为直线x=1,所以- =1,得b=-2a0,正确; 由抛物线的对称性可知,点(-3,y2)关于对称轴的对称点是(5,y2),当x1时,y随x的增大而增大,因为4 ,作出函数y=2x2-x-m,y= 的图象,如图所示, 易知抛物线的对称轴为直线x= ,当 2恒成立,即2x2-x-m 恒成立,只需抛 物线与双曲
13、线的交点的横坐标x 即可,将x= 代入y= ,得y=4,将 代入y=2x2-x-m,解得m=-4.抛物 线越往上平移越符合题意,m-4. 1 2 2 x 2 x 1 4 1 2 2 x 1 2 1 2 2 x 1 ,4 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列 结论: 抛物线经过点(1,0); 方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根; -3ax2+bx+ c的解集为x4. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018云南,20,8分)已知二次函数
14、y=- x2+bx+c的图象经过A(0,3),B 两点. (1)求b、c的值; (2)二次函数y=- x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理由. 3 16 9 4, 2 3 16 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)二次函数y=- x2+bx+c的图象经过A(0,3)、B 两点, 解得 b= ,c=3. (4分) (2)b= ,c=3, y=- x2+bx+c=- x2+ x+3. 由- x2+ x+3=0得x2-6x-16=0, 解得x=-2或x=8. (6分) 二次函数y=- x2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,公共点的坐标为(-2,
15、0),(8,0). (8分) 3 16 9 4, 2 2 3, 39 ( 4)4, 162 c bc 9 , 8 3. b c 9 8 9 8 3 16 3 16 9 8 3 16 9 8 3 16 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 C组 教师丏用题组 考点一 二次函数的图象与性质 1.(2019浙江温州,9,4分)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1x3的取值范围内,下列说法正确的是 ( ) A.有最大值-1,有最小值-2 B.有最大值0,有最小值-1 C.有最大值7,有最小值-1 D.有最大值7,有最小值-2 答案答案 D y=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1x3). 由图
16、象可知当x=2时,y取得最小值-2,当x=-1时,y取得最大值7.故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 C 当x=1时,y=a+2a-1+a-30,解得a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得- =- 0,可得a1. 综上,实数a的取值范围是a1或a0,解得a1; 当a0,求m,n的值. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)令y=0,则- x2+2x+6=0, x1=-2,x2=6,
17、 A(-2,0),B(6,0). 由函数图象得,当y0时,-2x6. (2)由题意得B1(6,m),B2(6-n,m),B3(-n,m), 函数图象的对称轴为直线x= =2. 点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同, =2,n=1, m=- (-1)2+2(-1)+6= , m,n的值分别为 ,1. 1 2 26 2 6() 2 nn 1 2 7 2 7 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 8.(2017江西,22,9分)已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0). (1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴; (2)试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定
18、点的坐标; 将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式; (3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值. 备用图 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5. (1分) 令y=0,则x2-4x-5=0, 解得x1=-1,x2=5, 抛物线C1与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0), (2分) 对称轴为直线x=2. (3分) (2)由抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0), 可得其对称轴为直线x=- =2. (4分) 令x=0,得y=-5. 抛物线C1过定点(0,-5). (5分) 易知点(0,
19、-5)关于直线x=2的对称点为点(4,-5), 由抛物线的对称性可知,无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点(0,-5)和(4,-5). (6分) y=-ax2+4ax-5(或y=-a(x-2)2+4a-5). (7分) 4 2 a a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 提示:设抛物线C2的表达式为y=-a(x-2)2+b,将点(0,-5)的坐标代入求出b即可. (3)对于抛物线C2:y=-ax2+4ax-5, 当x=2时,y=4a-5, 抛物线C2的顶点坐标为(2,4a-5), (8分) |4a-5|=2,解得a1= ,a2= . (9分) 7 4 3 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考
20、点二 系数a、b、c的作用 1.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是 ( ) A.c0;当x=-1时,y=a-b+c, 由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x= =3,选项D正确,故选D. 1 5 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是 ( ) A.abc0 B.abc0,b2-4ac0 C.abc0,所以b0,故选B. 2 b a 思路分析思路分析 本题考查
21、二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴,以及与y轴的交点位置来 判断a,b,c的符号,由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2016湖南长沙,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(ba0)与x轴最多有一个交点.现有以下四个结论: 该抛物线的对称轴在y轴左侧;关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;a-b+c0; 的最小值为 3. 其中,正确结论的个数为 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 abc ba 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D ba0,- a,b-a0, 3,正确.故选D. abc b
22、a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经 过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C. (1)求点C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)将x=0代入y=4x+4,得y=4,B(0,4). 将点B向右平移5个单位长度得到点C, C(5,4). (2)将y=0代入y=4x+4,得x=-1, A(-1,0). 将(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+
23、bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a, 抛物线的对称轴为直线x=- =- =1. (3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的对称 点(3,0). a0时,如图1. 2 b a 2 2 a a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 图1 将x=5代入抛物线的解析式得y=12a, 12a4, a . a4, a-8 C.b8 D.b-8 答案答案 D 由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象. 将代入得,x2- 8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以=(-8)2-4(8-b)=4b+320,所
24、以b-8,故选D. 2 (3)1, 2, yx yxb 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2016广西南宁,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y= x的图象如图所示,则方程ax2+ x+c=0 (a0)的两根之和 ( ) A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定 2 3 2 3 b 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 A 根据题图可知a0,b0. 在方程ax2+ x+c=0(a0)中,= -4ac=b2- b+ -4ac=b2-4ac- b+ 0,设此方程的两根分别为x1, x2,则x1+x2=- =- + 0,故选A. 2 3 b 2 2 3 b
25、4 3 4 9 4 3 4 9 2 3 b a b a 2 3a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2019山东潍坊,17,3分)如图,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当PAB 的周长最小时,SPAB= . 答案答案 12 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 联立直线与抛物线的解析式得方程组 解得 或 点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5), AB= =3 , 作点A关于y轴的对称点A,则A(-1,2),连接AB与y轴交于P,则当点P与P重合时,PAB的周长最小, 设直线AB的解析式为y=kx+b,k0, 则 解得 直线AB
26、的解析式为y= x+ , 当x=0时,y= , 即点P的坐标为 , 2 1, 45, yx yxx 1, 2 x y 4, 5, x y 22 (52)(4 1)2 2, 45, kb kb 3 , 5 13 , 5 k b 3 5 13 5 13 5 13 0, 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 将x=0代入y=x+1中,得y=1, 直线y=x+1与y轴的夹角是45, 点P到直线AB的距离是 sin 45= = , PAB的面积是 = . 当PAB的周长最小时,SPAB= . 13 1 5 8 5 2 2 4 2 5 4 2 3 2 5 2 12 5 12 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索
27、引 6.(2018湖北黄冈,22,8分)已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x. (1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点; (2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求OAB的面积. 解析解析 (1)证明:令x2-4x=kx+1,则x2-(4+k)x-1=0, 因为=(4+k)2+40,所以直线l与该抛物线总有两个交点. (2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l与y轴的交点为C,则C点的坐标为(0,1), 易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1, 所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2 , 所以OAB的面积S= OC |x1
28、-x2|= 12 = . 2 1 2 1 2 22 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx- 与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长 度,得到点B,点B在抛物线上. (1)求点B的坐标(用含a的式子表示); (2)求抛物线的对称轴; (3)已知点P ,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 1 a 11 , 2a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)抛物线y=ax2+bx- 与y轴交于点A, 点A的坐标为 . 将点A向右平移2个单位长度,得到点B, 点B的坐标为 .
29、(2)点B 在抛物线上, 4a+2b- =- ,即b=-2a. 抛物线的对称轴为x=1. (3)点A ,B ,P . 当a0时,- 1时,y随x的增大而增大, xD2. 结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点. 1 , 2 C y 1 a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 当a1). 1 2 1 a 1 , 2 C y 1 a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 当x1时,y随着x的增大而减小, xD2. 结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点. (ii)当a=- 时,A(0,2),B(2,2),P ,Q(2,2),如图3. 图3 结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2,
30、2). (iii)当a1时,y随x的增大而减小, xD0,x0)于点P,且OA MP=12. (1)求k值; (2)当t=1时,求AB长,并求直线MP与L对称轴之间的距离; (3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标; (4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4x06,通过L位置随t变化的过程, 写出t的取值范围. 1 2 k x 直接 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M知OA=2x,代入OA MP=12,得2x y=12,即xy=6. k=xy=6. (3分) (2)当t=1时
31、,令y=0,得0=- (x-1)(x+3), x1=1,x2=-3. 由B在A左边,得B(-3,0),A(1,0), AB=4. (5分) L的对称轴为x=-1,而M的坐标为 , MP与L对称轴之间的距离为 . (6分) (3)A(t,0),B(t-4,0), L的对称轴为x=t-2. (7分) 又MP为x= , 1 2 1 ,0 2 3 2 2 t 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 当t-2 ,即t4时,顶点(t-2,2)就是G的最高点; 当t4时,L与MP的交点 就是G的最高点. (10分) (4)5t8- 或7t8+ . (12分) 注:如果考生答“5t8+ ”给1分 2 t 2 1 ,
32、28 t tt 22 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 【供评卷人参考:(4)的简解. 对于双曲线,当4x06时,1y0 , 即L与双曲线在C ,D(6,1)之间的一段有个交点. 由 =- (4-t)(4-t+4),得t1=5,t2=7; 由1=- (6-t)(6-t+4),得t3=8- ,t4=8+ . 随着t的逐渐增大,L位置随着点A(t,0)向右平移,如图所示. 3 2 3 4, 2 3 2 1 2 1 2 22 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 当t=5时,L右侧过点C;当t=8- 0,所以方程有两个不相等的实数根, 故直线与抛物线有两个交点. (3)把y=2x-2代入y=ax2+ax
33、-2a, 2 1 2 x 9 4 a 19 , 24 a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 得ax2+(a-2)x-2a+2=0,即x2+ x-2+ =0, 所以 = , 解得x1=1,x2= -2, 所以点N . (i)根据勾股定理得,MN2= + = - +45=20 , 因为-1a- , 由反比例函数的性质知-2 -1, 所以 - 0, 所以8S-5436 ,即S + , 当S= + 时,由方程可得a=- 满足题意. 故当a=- ,b= 时,QMN面积的最小值为 + . 2 27 4 3 a 27 8 a27 4 2 27 4 9 2 2 27 4 9 2 2 2 2 3 2 2 3 4
34、2 3 27 4 9 2 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 12.(2016内蒙古呼和浩特,25,12分)已知二次函数y=ax2-2ax+c(a9.故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018吉林实验中学一模,3)对于函数y=5x2,下列结论正确的是 ( ) A.y随x的增大而增大 B.图象开口向下 C.图象关于y轴对称 D.无论x取何值,y的值总是正的 答案答案 C 二次函数的解析式为y=5x2,二次函数的图象开口向上,对称轴为y轴,当x0时,y随x的增大而增大,无论x取何值,y的值总是非负.故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2017上海静安模拟,6)将抛物线y=
35、ax2-1平移后与抛物线y=a(x-1)2重合,如果抛物线y=ax2-1上的点A(2,3)平 移到A的位置,那么点A的坐标为 ( ) A.(3,4) B.(1,2) C.(3,2) D.(1,4) 答案答案 A 抛物线y=ax2-1的顶点坐标是(0,-1),抛物线y=a(x-1)2的顶点坐标是(1,0), 将抛物线y=ax2-1向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到抛物线y=a(x-1)2, 将点A(2,3)向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到点A的坐标为(3,4),故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018辽宁鞍山铁西3月模拟,8)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部
36、分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为 直线x=2,下列结论: 4a+b=0;9a+c-3b;7a-3b+2c0;若点A(-3,y1)、点B 、点C(7,y3)在该函数图象上,则y10, 9a+c-3b,故正确. 抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),a-b+c=0, 又b=-4a,a+4a+c=0,即c=-5a, 7a-3b+2c=7a+12a-10a=9a, 抛物线开口向下,ac;4a-2b+c0, 其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 C 抛物线与x轴有2个交点, =b2-4ac0,所以错误; 抛物线开口向上, a
37、0, 抛物线的对称轴在y轴的左侧, a、b同号,b0, 抛物线与y轴交点在x轴上方, c0,abc0, 所以正确; x=-1时,y0,4a-2b+c0, 所以正确. 综上,本题正确的有,共三个.故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 二、填空题二、填空题(每小题3分,共9分) 6.(2018上海宝山一模,15)二次函数y=- (x-1)2+ 的图象与y轴的交点坐标是 . 23 答案答案 (0, - ) 32 解析解析 当x=0时,y=- (x-1)2+ =- (0-1)2+ = - , 二次函数y=- (x-1)2+ 的图象与y轴的交点坐标是(0, - ). 23 2332 2332 栏目引
38、栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2019吉林长春一模,14)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x-1交y轴于点A,过点A作ABx轴交抛 物线于点B,点P在抛物线上,连接PA、PB,若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上,则ABP的面积是 . 答案答案 2 解析解析 在y=x2-2x-1中,令x=0,则y=-1,A(0,-1).把y=-1代入y=x2-2x-1得-1=x2-2x-1,解得x1=0,x2=2,B(2,-1), AB=2.点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上, PAB的边AB上的高为2,SABP= 22=2. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 8.(2019四川成
39、都龙泉驿二诊,12)将二次函数y=x2的图象先向上平移1个单位,然后向右平移2个单位,得到新 的二次函数的顶点式为 . 答案答案 y=(x-2)2+1 解析解析 将抛物线y=x2先向上平移1个单位,然后向右平移2个单位,得到的抛物线的表达式为y=(x-2)2+1. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 三、解答题三、解答题(共26分) 9.(2019云南昆明盘龙一模,20)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直 线x=2. (1)求抛物线的函数表达式; (2)根据图象,直接写出不等式x2+bx+c0的解集; (3)设D为抛物线上一点,E为对称轴上一
40、点,若以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为 . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)AB=2,抛物线的对称轴为直线x=2, 点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(3,0). 把A、B两点的坐标代入抛物线解析式得 解得 抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3. (2)不等式x2+bx+c0即y0,由题图及(1)得x3. 故不等式x2+bx+c0的解集为x3. (3)y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 顶点坐标为(2,-1). 易知点D,E不可能都在x轴下方. 当点E,D均在x轴的上方时,由题意得DEAB,AD=AB=BE=DE=2,由抛物线的对称性,不妨设点D在
41、对称轴左 侧,设对称轴与x轴的交点为G,则EG= = ,E(2, ). 由DE=2得D的坐标为(0, ).当x=0时,y=02-40+3=3 ,故此时点D不在抛物线上,不合题意. 10, 930, bc bc 4, 3, b c 22 2133 33 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 当点D,E位于x轴两侧时,如图,根据“菱形的对角线互相垂直平分,抛物线的对称性”得点D是抛物线y=x2- 4x+3的顶点坐标,即D(2,-1), 故答案是(2,-1). 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 10.(2019四川成都龙泉驿二诊,18)如图,抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A,B
42、,与x轴交于 另一点C,抛物线的顶点为D,连接CD,AD. (1)求此抛物线的解析式; (2)求SACD. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)在y=x-3中,当x=0时,y=0-3=-3, B(0,-3);当y=0时,x=3,A(3,0). 抛物线y=x2+bx-c经过A、B两点, 解得 抛物线的解析式为y=x2-2x-3. (2)令0=x2-2x-3,解得x=-1或3,C(-1,0).又A(3,0),AC=4.y=x2-2x-3=(x-1)2-4,抛物线的顶点坐标为(1,-4), SACD= 44=8. 3, 9330, c b 3, 2. c b 1 2 栏目引栏目引 栏目索
43、引栏目索引 11.(2018上海静安一模,21)已知二次函数图象的顶点坐标是(3,5),且抛物线经过点A(1,3). (1)求此抛物线的解析式; (2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点,且抛物线与y轴的交点是C点,求ABC的面积. 解析解析 (1)设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+5. 将(1,3)代入上式得3=a(1-3)2+5,解得a=- , 抛物线的解析式为y=- (x-3)2+5. (2)A(1,3)与点B关于抛物线的对称轴对称,抛物线的对称轴为直线x=3, B(5,3), 令x=0,则y=- (x-3)2+5= ,则C , ABC的面积= (5-1) =5. 1 2 1
44、2 1 2 1 2 1 0, 2 1 2 1 3 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 一、选择题一、选择题(每小题3分,共18分) 45分钟 55分 1.(2019内蒙古赤峰一模,9)若二次函数y=x2-2x-m的图象与x轴无交点,则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经 过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 A 二次函数y=x2-2x-m的图象与x轴无交点, =(-2)2-4(-m)0,对称轴在y轴右侧,故D项错误.故选B. 2 b a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019云南昆明西山一模,13)如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx
45、+c(a0)的图象,则下列结论:abc0; b+2a=0;抛物线与x轴的另一个交点为(4,0);a+cb,其中正确的结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 C 抛物线开口向上,a0.抛物线的对称轴为直线x=- =1,b=-2a0,其中正确结论的个数是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象过点(0,1)和(-1,0),c=1,a-b+c=0. 抛物线的对称轴在y轴右侧,x=- 0,a与b异号,ab0, c=1,b2-4a0,即b24a,正确; 抛物
46、线开口向下,ax-1时,y0, 错误. 综上所述,正确的结论有. 故选B. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 二、填空题二、填空题(每小题3分,共9分) 7.(2019上海长宁一模,13)若点A(-1,7)、B(5,7)、C(-2,-3)、D(k,-3)在同一条抛物线上,则k的值等于 . 答案答案 6 解析解析 抛物线经过A(-1,7)、B(5,7), 点A、B为抛物线上关于对称轴对称的点, 抛物线的对称轴为直线x= =2, C(-2,-3)、D(k,-3)为抛物线上的点,且两点纵坐标相同, C(-2,-3)与D(k,-3)关于直线x=2对称, k-2=22, k=6. 1 5 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 8.(2017黑龙江哈尔滨南岗模拟,16)二次函数y=x2-bx+c的图象上有两点A(3,-8),B(-5,-8),则此抛物线的对称轴 是直线x= . 答案答案 -1 解析解析 函数y=x2-bx+c的图象上有两点A(3,-8),B(-5,-8),且两点的纵坐标相等, A、B两点关于抛
