1、4.1等差数列与等比数列等差数列与等比数列考情分析考情分析 备考定向备考定向高频考点高频考点 探究突破探究突破预测演练预测演练 巩固提升巩固提升考情分析备考定向高频考点探究突破命题热点命题热点一一 等差数列等差数列与等比数列的基本量的求解与等比数列的基本量的求解【思考】【思考】如何求解等差数列与等比数列的基本量如何求解等差数列与等比数列的基本量?例例1已知已知an是各项均为正数的等比数列是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求求an的通项公式的通项公式;(2)设设bn=log2an.求数列求数列bn的前的前n项和项和.解解:(1)设设an的公比为的公比为q,由题设得由题
2、设得2q2=4q+16,即即q2-2q-8=0,解得解得q=-2(舍去舍去)或或q=4.因此因此an的通项公式为的通项公式为an=24n-1=22n-1.(2)由由(1)得得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此因此数列数列bn的前的前n项和为项和为1+3+2n-1=n2.题后反思题后反思等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含共包含a1,n,d(q),an与与Sn这五个量这五个量.已知其中的三个已知其中的三个,就可以求就可以求其余的两个其余的两个.因为因为a1,d(q)是两个基本量是两个基本量,所以等差数列与等比所以等差数列与等比数列的
3、基本运算问题一般先设出这两个基本量数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,再根据通项再根据通项公式、求和公式构建这两者的方程公式、求和公式构建这两者的方程(组组),通过解方程通过解方程(组组)求其求其值值,这也是方程思想在数列问题中的体现这也是方程思想在数列问题中的体现.对点训练对点训练1(1)记记Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和项和.若若a3=5,a7=13,则则S10=.(2)已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,等比数列等比数列bn的前的前n项项和为和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.若若a3+b3=5,求求bn的通项公式的通项公式;若若T3=2
4、1,求求S3.100解析:设等比数列an的公比为q,命题热点四 等差数列、等比数列的综合问题故a9=2+36=20.题后反思等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用.(1)求an的通项公式;所以(-2+2d)2=d(-4+3d).所以a10a11+a8a13=2a10a11=64,得a10a11=32.若a3+b3=5,求bn的通项公式;证明数列an是等比数列的两种基本方法:证明数列an是等比数列的两种基本方法:若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p
5、+q的值等于.(2)等比数列的性质:an=amqn-m(m,nN*);1等差数列与等比数列若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*);因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,再根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.解析:设等差数列an的公差为d.例1已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.【思考】如何求解等差数列与等比数列的基本量?(1)求an的通项公式;命题命题热点热点二二 等差数列等差数列与等比数列的判定与与等比数列的判定与证明
6、证明【思考】【思考】证明数列证明数列an是等差数列或等比数列的基本方法是等差数列或等比数列的基本方法有哪些有哪些?例例2已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn,Sn=4an-1+1(n2),且且a1=1,bn=an+1-2an.(1)求证求证:数列数列bn是等比数列是等比数列;题后反思题后反思1.证明数列证明数列an是等差数列的两种基本方法是等差数列的两种基本方法:(1)利用定义利用定义,证明证明an+1-an(nN*)为常数为常数;(2)利用等差中项利用等差中项,证明证明2an=an-1+an+1(n2).2.证明数列证明数列an是等比数列的两种基本方法是等比数列的两种基本方法:命题
7、命题热点热点三三 等差数列等差数列与等比数列性质的应用与等比数列性质的应用【思考】【思考】常用的等差数列、等比数列的性质有哪些常用的等差数列、等比数列的性质有哪些?例例3(1)已知等比数列已知等比数列an的各项均为正数的各项均为正数,且且a10a11+a8a13=64,则则log2a1+log2a2+log2a20=.(2)设设Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和项和,若若a1+a3+a5+a7+a9=10,50解析解析:(1)由等比数列的性质可得由等比数列的性质可得a10a11=a8a13,所以所以a10a11+a8a13=2a10a11=64,得得a10a11=32.又又log2a1
8、+log2a2+log2a20=log2(a1a2a3a20)=log2(a1a20)(a2a19)(a3a18)(a10a11)=log2(a10a11)10=log23210=50.题后反思题后反思等差数列与等比数列的性质多与其下标有关等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题解题需多注意观察需多注意观察,发现其联系发现其联系,加以应用加以应用.(1)等差数列的性质等差数列的性质:an=am+(n-m)d(n,mN*);若若m+n=p+q,则则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*);设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,则则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也也成等
9、差数列成等差数列.(2)等比数列的性质等比数列的性质:an=amqn-m(m,nN*);若若m+n=p+q,则则aman=apaq(m,n,p,qN*);若等比数列若等比数列an的公比不为的公比不为-1,前前n项和为项和为Sn,则则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等比数列也成等比数列.对点训练对点训练3(1)(2020广西桂林、崇左、贺州二调广西桂林、崇左、贺州二调)在等差数列在等差数列an中中,已知已知a1+a9=10,则则a3+a4+a5+a6+a7=()A.5 B.10C.15D.25(2)设设Sn,Tn分别是等差数列分别是等差数列an,bn的前的前n项和项和,已知已知D命题命题
10、热点热点四四 等差数列等差数列、等比数列的综合问题、等比数列的综合问题【思考】【思考】解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的路是怎样的?例例4设设an是等差数列是等差数列,bn是等比数列是等比数列,公比大于公比大于0.已知已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.(1)求求an和和bn的通项公式的通项公式;题后反思题后反思等差数列和等比数列的综合问题等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很涉及的知识面很广广,题目的变化也很多题目的变化也很多,但是只要抓住基本量但是只要抓住基本量a1,d(q),充分运用充分运用方程、函数、转化等数学
11、思想方法方程、函数、转化等数学思想方法,合理运用相关知识合理运用相关知识,就能就能解决这类问题解决这类问题.对点训练对点训练4(1)等差数列等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,已知已知S10=0,S15=25,则则nSn的最小值为的最小值为.-49预测演练巩固提升1.(2020全国全国,文文10)设设an是等比数列是等比数列,且且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则则a6+a7+a8=()A.12B.24C.30D.32D解析解析:设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q,因为因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以所以q(a1+a2+a3)=2,解得解得q=2.所
12、以所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.2.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“诸葛亮领诸葛亮领八员将八员将,每将又分八个营每将又分八个营,每营里面排八阵每营里面排八阵,每阵先锋有八人每阵先锋有八人,每每人旗头俱八个人旗头俱八个,每个旗头八队成每个旗头八队成,每队更该八个甲每队更该八个甲,每个甲头八每个甲头八个兵个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有有()D解析解析:由题意由题意,得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成
13、等比数列士兵依次成等比数列,且首项为且首项为8,公比也是公比也是8,所以将官、先锋、所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有旗头、队长、甲头、士兵共有8+84+85+86+87+883.(2020全国全国,文文14)记记Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和项和.若若a1=-2,a2+a6=2,则则S10=.25解析解析:设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d.a1=-2,a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得解得d=1.4.(2020广西北海一模广西北海一模)已知等比数列已知等比数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若a1+a3+a5=21,a4+a6
14、+a8=168,则则S8=.25520解析解析:由由S5=10,得得a3=2,因此因此2-2d+(2-d)2=-3,即即d=3,故故a9=2+36=20.6.若若a,b是函数是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点的两个不同的零点,且且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成也可适当排序后成等比数列等比数列,则则p+q的值等于的值等于.97.设设an是等差数列是等差数列,a1=-10,且且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列成等比数列.(1)求求an的通项公式的通项公式;(2)记记an的前的前n项和为项和为Sn,求求Sn的最小值的最小值.解解:(1)设设an的公差为的公差为d.因为因为a1=-10,所以所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列成等比数列,所以所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).所以所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得解得d=2.所以所以an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由由(1)知知,an=2n-12.所以所以,当当n7时时,an0;当当n6时时,an0.所以所以,Sn的最小值为的最小值为S6=-30.
