1、 - 1 - 辽宁省葫芦岛协作校 2020 届高三 4 月质量检测（一模） 数学(理科) 本试卷共 23 题，共 6 页。全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟，考试结束后，将本试卷 和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂：非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、字迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清
2、洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 Ax|x26x50，Bx|y3x，AB A.1，) B.1，3 C.(3，5 D.3，5 2.若复数 z 满足 z(i1)2i(i 为虚数单位)，则 z 为 A.1i B.1i C.1i D.1i 3.已知平面向量a(2，3)，b(x，4)，若a(ab)，则 x A. 1 2 B.1 C.2 D.3 4.数据 5，7，7，8，10，11 的中位数和标准差分别为 A.中位数为 7，标准差为
3、 2 B.中位数为 7，标准差为 4 C.中位数为 7.5，标准差为 4 D.中位数为 7.5，标准差为 2 5.设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分不必要条件是 A.m，m B.m，n，mn C.m，m/ D.m/n，m，n - 2 - 6.已知 alog2020 1 ，b( 1 )2020， 1 2020c ，则 A.c0)。 (I)当 m1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (II)若xR，tR，使得 f(x)|t1|t1|，求实数 m 的取值范围。 - 6 - 2020 年高三质量检测年高三质量检测 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、一、选择题：本大
4、题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分， 1.1.12. 12. DBADC BCACB ADDBADC BCACB AD 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 1395%，40 （第一空 2 分，第二空 3 分） 14. x+y-2=0 15 16. 44 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题满分（本题满分 12 分）分） 解: （）由 ca b AB AC sinsin sinsin 则 ca b ab ac 2 分 abcba 222 3 分
5、所以 2 1 22 cos 222 ab ab ab cba C 5 分 而), 0(C 故 3 C 6 分 （）由abcba 222 且3c ababba92)( 2 7 分 22 ) 2 (339)( ba abba 8 分 2 ()36ab 所以6ab9 分 当 且 仅 当=a b时 等 号 成 立 ， 此 时 A=B 则sinsinAB， 不 符 合 题 意 6ab10 分 又 11 分 - 7 - 所以ba的取值范围是(3,6) 12 分 18.18.（本题满分（本题满分 1212 分）分） 解： （）记： “小明恰好命中一次”为事件 C， “小明射击A靶命中”为事件D, “该射手第
6、 一次射击B靶命中”为事件E， “该射手第二次射击B靶命中”为事件F， 由题意可知 4 () 5 P D ， 3 ( )( ) 4 P EP F， 2 分 由于CDEFDEFDEF 4 分 ( )()P CP DEFDEFDEF= 8 1 ； 6 分 （）012345X ， ， ， ， ， 7 分 2 111 (0)( ) 5480 P X ， 2 411 (1)( ) 5420 P X ， 1 2 1133 (2) 54440 P XC 1 2 4133 (3) 54410 P XC ， 2 139 (4)( ) 5480 P X ， 2 439 (5)( ) 5420 P X 9 分 X
7、0 1 2 3 4 5 P 1 80 1 20 3 40 3 10 9 80 9 20 10 分 11339919 ()012345 8020401080205 E X . 12 分 19.19.（本题满分（本题满分 1212 分）分） 证明： （）连接 ,AE AF，在 ABC中，1 1 sin120 22 AB ACBC AE 故1AE . 1 分 - 8 - 由于三棱柱 111 ABCABC是直三棱柱，故 1 AA 平面 1 ABCAAAE， 直角三角形 1 A AE中，因为 1 3AA ，1AE ，所以 1 2AE ，所以 1 2 EF ， 又因 1 AEAE AFE EFAE 为直角
8、，即 1 AEAF. 2 分 再由E为BC中点并且ABC为等腰三角形可知AEBC， 结合 1 AABC， 1 AAAEA得BC 平面 1 A AE， BCAF. 4 分 综合 1 AEAF，BC AF， 1 BCAEE， 得到AF 平面 1 ABC. 6 分 （）由于AEBC，如图以点E为坐标原点建立空间直角坐标系， 3 tan60 AE BE ，故 3,0,0B ， 1 0,1, 3A，0,0,0E， 1 3,0, 3B ， 3,0,0EB , 1 0,1, 3EA, 1 3,0, 3EB 设面 1 BAE法向量为 1111 ,nx y z，面 11 B AE法向量为 2222 ,nxy z
9、， 1 1 11 11 300 0 30 xn EB n EA yz ，取 1 1z ，得 1 0,3,1n ， 8 分 - 9 - 22 21 21 22 3300 0 30 xznEB nEA yz ，取 2 1z ，得 2 1,3,1n ， 10 分 则二面角 11 BAEB的余弦值 12 12 42 5 cos 545 n n nn . 12 分 20（本题满分（本题满分 12 分）分） 解： （）由题知 1 2 11 1 22 ba c 2 分 解得2 2 a， 1 2 b， 3 分 所以椭圆C的方程为1 2 2 2 y x 4 分 （）设),( 11 yxA，),( 22 yxB因
10、为直线l的斜率不为零，令l的方程为：1 myx 由 1 2 1 2 2 y x myx 得 012)2( 22 myym 5 分 则 2 2 2 21 m m yy， 2 1 2 21 m yy， 6 分 因为以AP为直径的圆与直线2x的另一个交点为Q,所以PQAQ ，则), 2( 1 yQ7 分 - 10 - 则 2 2 12 x yy kBQ，故BQ的方程为： )2( 2 2 12 1 x x yy yy 8 分 令0y，则 22 ) 1( 2 )2( 12 121 12 21 12 21 yy yymy yy myy yy xy x 9 分 而 2 2 2 21 m m yy， 2 1
11、2 21 m yy， 2 21 21 yy ymy 10 分 所以 2 3 2 2 1 2 2 12 1 21 yy y yy x 11 分 故直线BQ恒过定点，且定点为 )0 , 2 3 ( 12 分 21.21.（本题满分（本题满分 1212 分）分） 解：（）因为 1ln,fxax -1 分 所以 fx 1 在 0， +上单调递减且0 a fe -3 分 若 1 1即1,则当1时，0,所以在 1， +上单调递减 a eaxfxfx - -4 分 - 11 - 若 111 1即1,则当1时，0,所以在 1， aaa eaxefxfxe 上单 调递增；-5 分 11 当时，0,所以在,上单调
12、递减 aa xefxfxe . -6 分 （） 2 ln x h xx axxe ， 1ln2 x hxaxxe 是 0， +上的减函数 -7 分 当0时,时-xhxxhx 所 以 存 在 唯 一 正 实 数 00 满足0即xhxa 0 00 1+ ln+2- x xxe -8 分 当 00 0,时h0,是 0,上的增函数；xxxh xx 当 00 ， +时h0,是， +上的减函数.xxxh xx -9 分 所以 0 2 00000 max ln x h xh xaxxxxe 将 式代入整理得 000 2 000000 max +-= 1+ xxx h xh xxxx eexxe -10 分
13、由题设 00 000 max 0而1+0所以=0即= xx h xxxeex 所以 00 lnxx-11 分 所以 0 00000 1+ln+2-121 x axxexxx -12 分 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答, ,如果多做，则按所做的第一题记分如果多做，则按所做的第一题记分 22（本题满分（本题满分 10 分）分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 解： （）曲线 1 C的普通方程为 22 (3)(2)4xy， 即 22 2 3430xyxy 2分 又=cos ,sinxy，代入上式 3分 得 1 C的极坐标方程为 2 2 3 cos4 sin30
14、5 分 - 12 - （）设 1 (, )P ， 2 (, )Q ， 6 分 将 6 代入 2 2 3 cos4 sin30， 7 分 得 2 530， 8 分 所以 12 3 ， 9 分 所以| | 3OPOQ 10 分 23（本题满分（本题满分 10 分）分）【选修 4-5：不等式选讲】 解： （）当1m时， 1 |1|22| 1 31 x xx x 2分 或 11 31 1 x x 或 1 31 x x ， 3分 解得 2 2 3 x ，所以原不等式的解集为 2 2, 3 5分 （）( ) |1| |1|( ) |1|1|f xttf xtt对任意xR恒成立， 对实数t有解 3 , ( )3, 3 , xmxm f xxmmxm xm xm ， 6分 根 据 分 段 函 数 的 单 调 性 可 知 ：xm时 ，( )f x取 得 最 大 值 ()2fmm，7分 |1|1| |(1)(1)| 2tttt， 8分 2 |1|1| 2tt ，即|1|1|tt的最大值为2， 9分 所以问题转化为22m，解得01m 10分
