1、 1977 年普通高等学校招生考试数学(江苏省)试题及答案 1 （1）计算.) 8 27 ()14. 3() 10 1 () 4 1 2( 2 1 02 2 1 + 解：原式=99 奎屯 王新敞 新疆 （2）求函数)5lg( 3 1 2x x xy+ +=的定义域 奎屯 王新敞 新疆 解：根据题意，得 3 5 2 03 05 02 x x x x x x 故函数的定义域为. 5332xx和 （3）解方程.1255 2 2 = + xx 解：原方程即,55 32 2 = + xx 1, 3 , 32 2 均为原方程的解= =+ xx xx （4）计算 3 3 3 33 3loglog 解：原式=
2、. 33log)3log 27 1 (log)3(loglog 3 333 27 1 33 = （5）把直角坐标方程9) 3( 22 =+yx化为极坐标方程 奎屯 王新敞 新疆 解：原方程可展开为, 996 22 =+yxx = = = =+ cos6 cos60 , 0cos6 , 06 2 22 即 或 yxx （6）计算. 321 lim 2 n n n + 解：原式=. 2 1 2 1 lim 2 ) 1( lim 2 = + = + n n n nn nn （7）分解因式. 4832 224 +yyyxx 解：原式= 2222 )22()(yyx ).23)(2( )22)(22(
3、22 22 += += yxyx yyxyyx 3过抛物线xy4 2 =的焦点作倾斜角为 4 3 的直线，它与抛物线相交于 A、B 两点 奎屯 王新敞 新疆求 A、B 两点间的距离 奎屯 王新敞 新疆 解：抛物线xy4 2 =的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为 ,1) 1( 4 3 xyxtgy= =或它与抛物线之二交点坐标由下面方程组 确定 =+= = = , 016,4)1 ( 4 1 22 2 xxxx xy xy 解得 由根与系数关系，得 x1+x2=6, x1x2=1. 又解得, 044),1 (4 22 =+=yyyy y1+y2=-4,y1y2=-4. 由两点间距离公式 2 2
4、1 2 21 )()(yyxxd+= 但,324364)()( 21 2 21 2 21 =+=xxxxxx 83232 ,3216164)()( 21 2 21 2 21 =+= =+=+= d yyyyyy 故 AB 两点间距离为 8 奎屯 王新敞 新疆 3在直角三角形 ABC 中，ACB=90 0，CD、CE 分别为斜边 AB 上的高 和中线，且BCD 与ACD 之比为 3:1，求证 CD=DE 奎屯 王新敞 新疆 证：A+ACD=A+B=90 0， ACD=B 又CE 是直角ABC 的斜边 AB 上的中线 CE=EB B=ECB，ACD=ECB 但BCD=3ACD， ECD=2ACD=
5、 2 1 ACB = 2 1 90 0=450， EDC 为等腰直角三角形 CE=DE 奎屯 王新敞 新疆 4在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速 圆周运动 奎屯 王新敞 新疆甲球从A点出发按逆时针方向运动， 乙球从B点出发按顺时针 方向运动， 两球相遇于C点 奎屯 王新敞 新疆相遇后， 两球各自反方向作匀速圆周运动， 但这时甲球速度的大小是原来的倍，乙球速度的大小是原来的一 半，以后他们第二次相遇于D点 奎屯 王新敞 新疆已知AmC=40厘米，BnD=20厘米,求ACB 的长度 奎屯 王新敞 新疆 解：如图设 BC=x 厘米 奎屯 王新敞 新疆甲球速度为 甲 v，乙
6、球速度为 乙 v 奎屯 王新敞 新疆根据二次从出发 到相遇二球运动的时间都相同，可得第 一次等候时方程 . 40 40x v v v x v = 乙 甲 乙甲 或 第二次等候时方程 . 280 )20(4 2 1 20 2 20300 x x v v v x v x + = + = 甲 乙 乙 甲 或 由此可得, 280 )20(4 40x xx + = . 0)80)(40(=xx C A D E B A 甲 乙 D m n C B 由于已知条件 甲 v 乙 v，x40, x=80（厘米） ACB=40+80=120（厘米） 5 （1）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为 60 0 奎
7、屯 王新敞 新疆 证：设三角形三内角分别为,dd+则有 .60 1803 ,180)()( = = =+dd （2）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三 角形三内角都是 60 0 奎屯 王新敞 新疆 证：由题（1）可知，此三角形必有一内角为 60 0，今设其对边为 a， 则三角形的三边分别为aqa q a ,（此处q为公比，且0q） 由余弦定理可得 , 02 1 , 2 1 2 1 1 ,60cos2)()( 2 2 2 2 222 =+ += += q q q q q a aq q a a ),( 1, 1 , 1 1 , 0) 1 ( 22 舍去不合题意= = qq qq
8、 q q q 由1=q可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为 60 0 奎屯 王新敞 新疆 6在两条平行的直线 AB 和 CD 上分别取定一点 M 和 N，在直线 AB 上 取一定线段 ME=a;在线段 MN 上取一点 K， 连结 EK 并延长交 CD 于 F 奎屯 王新敞 新疆试 问 K 取在哪里EMK 与FNK 的面积之和最小？最小值是多少？ 解：过点 K 作两条平行直线的公垂线 PQ， 设 PQ=l，MN=m， 令 PK=x，则 KQ=xl EMKFNK， . NK MK NF ME = 又MKPNKQ， . KQ KP NK MK = 于是得到, KQ KP NF ME = . )(
9、 x xla KP KQME NF = = 从而EMK 与FNK 的面积之和为 ,) 12() 2 ( ) 2 ( 22 2 )( 2 )( )( 2 1 2 1 2 2 22 2 += += + = += += l x l xa x l lxa x llxxa x xl x a x xla xlaxA , 2 2 ,0 2 时也即时当lx x l x=A 有最小值.) 12(al lx 2 2 =表示点 K 到直线 AB 的距离为 2 2 倍的 PQ，从而点 K 到 M 的距 离也为 MN 的 2 2 倍，即 KM= 2 2 MN. P M E A B K C D F N Q 附加题附加题
10、1 求极限).1(limxxx n + 解：原式= xx xxxxx n + + 1 )1)(1( lim . 2 1 1 1 1 1 lim 1 lim= + = + = x xx x nn 2求不定积分. )1 ( 2 + x e dx 解：令,1tex=+ 则,) 1(dxtdxedt x = . 1 = t dt dx . 1 1 )1ln( 1 1 )1ln(ln 1 ln) 1ln( ) 11 1 1 ( ) 1 ) 1( 1 ( ) 1()1 ( 2 2 22 C e ex C e ee C t tt dt ttt dt ttt tt dt e dx x x x xx x + + += + + += += = = = +
