1、 2002 年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分第 I 卷 1 至 2 页第 II 卷 3 至 9 页共 150 分考试时间 120 分钟 第卷第卷(选择题共选择题共 60 分分) 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分第 I 卷 1 至 2 页第 II 卷 3 至 9 页共 150 分考试时间 1
2、20 分钟 第卷第卷(选择题共选择题共 60 分分) 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 （1）圆1) 1( 22 =+yx的圆心到直线 3 3 yx=的距离是 （A） 2 1 （B） 2 3 （C）1 （D）3 （2）复数 3 ) 2 3 2 1 (i+的值是 （A）i （B）i （C）1 （D）1 （3）不等式0|)|1)(1 (+xx的解集是 （A）10| xx （B）0|xx且1x （C）11|xx （D）1|xx且1
3、x （4）在)2 , 0(内，使xxcossin成立的x的取值范围是 （A）) 4 5 ,() 2 , 4 ( （B）), 4 ( （C）) 4 5 , 4 ( （D）) 2 3 , 4 5 (), 4 ( （5）设集合, 4 1 2 |Zk k xxM+=，, 2 1 4 |Zk k xxN+=，则 （A）NM = （B）NM （C）NM （D）=NM （6）点)0 , 1 (P到曲线 = = ty tx 2 2 （其中参数Rt）上的点的最短距离为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）2 （7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个 圆锥轴截面顶角的余弦值
4、是 （A） 4 3 （B） 5 4 （C） 5 3 （D） 5 3 （8）正六棱柱 111111 FEDCBAABCDEF 的底面边长为 1，侧棱长为2，则这个棱柱侧 面对角线DE1与 1 BC所成的角是 （A）90 （B）60 （C）45 （D）30 （9）函数cbxxy+= 2 （), 0 +）是单调函数的充要条件是 （A）0b （B）0b （C）0b （D）0b （10）函数 1 1 1 = x y的图象是 （11）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有 （A）8 种 （B）12 种 （C）16 种 （D）20 种 （12）据 2002 年 3 月 5 日
5、九届人大五次会议政府工作报告 ： “2001 年国内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长 7.3%” ，如果“十五”期间（2001 年2005 年）每年的国内生产 总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为 （A）115000 亿元 （B）120000 亿元 （C）127000 亿元 （D）135000 亿元 第第 II 卷卷(非选择题共非选择题共 90 分分) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分把答案填在题中横线分把答案填在题中横线 （13）函数 x ay =在 1 , 0上的最大值与最小值这和为 3，
6、则a x y O 1 1 (A) x y O 1 1 (B) x y O -1 1 (C) x y O -1 1 (D) （14）椭圆55 22 =+kyx的一个焦点是)2 , 0(，那么=k （15） 72 )2)(1(+xx展开式中 3 x的系数是 （16）已知 2 2 1 )( x x xf + =，那么) 4 1 ()4() 3 1 ()3() 2 1 ()2() 1 (fffffff+ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （17）已知12coscos2sin
7、2sin2=+，) 2 , 0( ，求sin、tg的值 奎屯 王新敞 新疆 （18）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是 1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直 奎屯 王新敞 新疆点 M在AC上移动，点N在BF上移动，若aBNCM= （20 a） （1）求MN的长； （2）a为何值时，MN的长最小； （3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的 大小 奎屯 王新敞 新疆 （19）设点P到点)0 , 1(、)0 , 1 (距离之差为m2，到x、y轴的 距离之比为 2，求m的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 （20）某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年
8、末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同 奎屯 王新敞 新疆为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆， 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ （21）设a为实数，函数1|)( 2 +=axxxf，Rx （1）讨论)(xf的奇偶性； （2）求)(xf的最小值 奎屯 王新敞 新疆 （22）设数列 n a满足：1 2 1 += +nnn naaa，, 3 , 2 , 1=n （I）当2 1 =a时，求 432 ,aaa并由此猜测 n a的一个通项公式； （II）当3 1 a时，证明对所的1n，有 （i）2+ nan （ii） 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 321 + +
9、 + + + + + n aaaa A B C D E F P Q M N 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D C B B C B A B B C 二、填空题 （13）2 （14）1 （15）1008 （16） 2 7 三、解答题 （17）解：由12coscos2sin2sin2=+，得 0cos2cossin2cossin4 2222 =+ 0) 1sinsin2(cos2 22 =+ 0) 1)(sin1sin2(cos2 2 =+ ) 2 , 0( 01sin+，0cos2= 01sin2=，即 2 1 sin= 6 = 3
10、 3 =tg （18）解（I）作MPAB交BC于点P，NQAB交BE于点Q，连结PQ，依题意 可得MPNQ，且NQMP =，即MNQP是平行四边形 奎屯 王新敞 新疆 PQMN = 由已知aBNCM=，1=BEABCB 2= BFAC，aBQCP 2 2 = )20( 2 1 ) 2 2 ( ) 2 () 2 1 ( )1 ( 2 22 22 += += =+= aa aa BQCPPQMN （II）由（I） 2 1 ) 2 2 ( 2 +=aMN 所以，当 2 2 =a时， 2 2 =MN 即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为 2 2 （III）取MN的中点G，连结AG
11、、BG， BNBMANAM=,，G为MN的中点 MNBGMNAG,，即AGB即为二面角的平面角 又 4 6 = BGAG，所以，由余弦定理有 3 1 4 6 4 6 2 1) 4 6 () 4 6 ( cos 22 = + = 故所求二面角为 3 1 arccos= （19）解：设点P的坐标为),(yx，依题设得2 | | = x y ，即xy2=，0x 因此，点),(yxP、)0 , 1(M、)0 , 1 (N三点不共线，得 2|=MNPNPM 0|2|=mPNPM 1|0 m 因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为|2 m的双曲线上，故 1 1 2 2 2 2 = m y m x 将xy2=
12、代入1 1 2 2 2 2 = m y m x ，并解得 2 2 2 2 51 ) 1 ( m mm x =，因01 2 m 所以051 2 m 解得 5 5 |0 m 即m的取值范围为) 5 5 , 0()0 , 5 5 ( （20）解：设 2001 年末汽车保有量为 1 b万辆，以后各年末汽车保有量依次为 2 b万辆， 3 b万 辆，每年新增汽车x万辆，则 30 1 =b，xbb+=94. 0 12 对于1n，有 )94. 01 (94. 0 94. 0 2 1 1 xb xbb n nn += += + 所以)94. 094. 094. 01 (94. 0 2 11 nn n xbb+=
13、 + xb n n 06. 0 94. 01 94. 0 1 += n xx 94. 0) 06. 0 30( 06. 0 += 当0 06. 0 30 x ，即8 . 1x时 30 11 = + bbb nn 奎屯 王新敞 新疆 当0 06. 0 30 x ，即8 . 1x时 数列 n b逐项增加，可以任意靠近 06. 0 x 06. 0 94. 0) 06. 0 30( 06. 0 limlim 1 xxx b n n n n =+= + 因此，如果要求汽车保有量不超过 60 万辆，即 60 n b（, 3 , 2 , 1=n） 则60 06. 0 x ，即6 . 3x万辆 综上，每年新增
14、汽车不应超过6 . 3万辆 奎屯 王新敞 新疆 （21）解： （I）当0=a时，函数)(1|)()( 2 xfxxxf=+= 此时，)(xf为偶函数 当0a时，1)( 2 += aaf，1|2)( 2 +=aaaf， )()(afaf，)()(afaf 此时)(xf既不是奇函数，也不是偶函数 （II） （i）当ax 时， 4 3 ) 2 1 (1)( 22 +=+=axaxxxf 当 2 1 a，则函数)(xf在,(a上单调递减，从而函数)(xf在,(a上的最小值为 1)( 2 += aaf 若 2 1 a，则函数)(xf在,(a上的最小值为af+= 4 3 ) 2 1 (，且)() 2 1
15、(aff （ii）当ax 时，函数 4 3 ) 2 1 (1)( 22 +=+=axaxxxf 若 2 1 a，则函数)(xf在,(a上的最小值为af= 4 3 ) 2 1 (，且)() 2 1 (aff 若 2 1 a，则函数)(xf在), +a上单调递增，从而函数)(xf在), +a上的最小值为 1)( 2 += aaf 综上，当 2 1 a时，函数)(xf的最小值为a 4 3 当 2 1 2 1 a时，函数)(xf的最小值为1 2 +a 当 2 1 a时，函数)(xf的最小值为a+ 4 3 （22）解（I）由2 1 =a，得31 1 2 12 =+=aaa 由3 2 =a，得412 2
16、2 23 =+=aaa 由4 3 =a，得513 3 2 34 =+=aaa 由此猜想 n a的一个通项公式：1+= nan（1n） （II） （i）用数学归纳法证明： 当1=n时，213 1 +=a，不等式成立 假设当kn =时不等式成立，即2+ kak，那么 3521)2)(2(1)( 1 +=+= + kkkkkkaaa kkk 也就是说，当1+= kn时，2) 1( 1 + + kak 据和，对于所有1n，有2 n an+ （ii）由1)( 1 += + naaa nnn 及（i） ，对2k，有 1) 1( 11 += kaaa kkk 121) 121( 11 +=+ kk akka 1) 1(21222 1 12 1 1 +=+ aaa kkk k 于是 1 1 2 1 1 1 1 1 + + k k aa ，2k 2 1 31 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 11 1 = + + + = + + + + = = = aaaaa n k k n k k n k k
