1、专题辅导反比例函数综合题【题型解读】反比例函数综合是中考解答题的高频考点，主要包括两个类型：一是反比例函数与一次函数综合；二是反比例函数与几何图形综合.一方面考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，另一方面考查了数形结合思想、方程与函数思想、待定系数法等.类型一 反比例函数与一次函数综合方法总结反比例函数图象与一次函数图象相交于两点时，利用待定系数法可求得两个函数的解析式；要比较两个函数的函数值的大小，需要结合函数图象比较图象的上下位置关系；要求相关三角形的面积，需要利用x轴或y轴将三角形分为两部分，由交点的坐标获取三角形的高与底边长，从而求得三角形的面积.考点例析例1 如图1，在平面直角坐标
2、系中，直线y1=k1x+b与双曲线y2=相交于A（-2，3），B（m，-2）两点.（1）求y1，y2对应的函数解析式；（2）过点B作BPx轴交y轴于点P，求ABP的面积；（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x+b的解集. 图1 图2解析：（1）将A（-2，3）代入y2=，得k2=-23=-6.所以y2=-.将B（m，-2）代入y2=-，得-=-2，解得m=3.所以B（3，-2）.将A（-2，3），B（3，-2）代入y1=k1x+b，得解得所以y1=-x+1.（2）如图2，过点A作ADBP，交BP的延长线于点D.因为BPx轴，所以ADx轴，BPy轴.因为A（-2，3），B（3，-2），
3、所以BP=3，AD=3-（-2）=5.所以SABP=BPAD=35=.（3）-2x3.跟踪训练1.如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（1，2），B（-2，n）两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b的x的取值范围；（3）若点P在线段AB上，且SAOPSBOP=14，求点P的坐标. 第1题图类型二 反比例函数与几何图形综合方法总结反比例函数与几何图形的综合题，不仅考查了反比例函数的图象与性质，而且考查了相关几何图形的性质，解决此类问题一方面要掌握由点的坐标求相关线段的长，或者由相关线段的长求点的坐标；另一方面要掌握以下重要结
4、论：如图，S矩形OABC=|k|；如图，SOAD=SOBC=|k|. 考点例析例2 如图3，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数y=的图象交于P，D两点.以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知BOD的面积与AOB的面积之比为14.（1）求一次函数的解析式；（2）求点P的坐标及CPD外接圆半径的长. 图3 图4解析：（1）如图4，过点D作DHOA于点H，则DAH+ADH=90.因为DAH+BAO=90，所以BAO=ADH.因为AB=DA，AOB=DHA=90，所以ABODAH.所以OA=HD，BO=AH.对于y=kx+b，当x=0时，y=b，所以A（0
5、，b）.所以OA=b.设D，则HD=a，OH=.因为SBODSAOB=14，所以OA=4OH，即b=4，得ab=16.因为OA=HD，所以b=a.所以a2=16，解得a1=4，a2=-4.所以b=4.所以A（0，4），D（4，1）.将A（0，4），D（4，1）代入y=kx+b，得解得所以一次函数的解析式为y=-x+4.（2）联立得所以P.因为正方形ABCD的顶点A（0，4），D（4，1），所以C（1，-3）.所以PC=.因为PCD为直角三角形，且PDC=90，所以线段PC是PCD的外接圆直径.所以PCD外接圆半径为.跟踪训练2.如图，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，OB的长是一元二次方
6、程x2-x-30=0的一个根，且tanOAB=，D为AB的中点，E为x轴正半轴上一点，BE=2，直线OD与BE相交于点F.（1）求点A及点D的坐标；（2）反比例函数y=经过点F关于y轴的对称点F，求k的值；（3）点G和点H在直线AB上，平面内存在点P，使以E，G，H，P为顶点的四边形是边长为6的菱形，符合条件的菱形有几个？请直接写出满足条件的两个点P的坐标. 第2题图参考答案1. 解：（1）将A（1，2）代入y=，得k2=12=2.所以反比例函数的解析式为y=.将B（-2，n）代入y=，得n=-1.所以B（-2，-1）.将A（1，2），B（-2，-1）代入y=k1x+b，得解得所以一次函数的解
7、析式为y=x+1.（2）-2x1.（3）设P（x，x+1）.因为SAOPSBOP=14，所以APBP=14，即BP=4AP.所以+=16，解得x1=，x2=2（舍去）.所以点P的坐标为.2. 解：（1）由x2-x-30=0，解得x1=-5，x2=6.所以OB=6.所以B（0，6）.因为tanOAB=，所以=.所以OA=8.所以A（8，0）.因为D为AB的中点，所以D（4，3）.（2）在RtOBE中，由勾股定理，得OE=2.所以E（2，0）.由B（0，6），E（2，0），得直线BE的解析式为y=-3x+6.由D（4，3），得直线OD的解析式为y=x.联立解得所以F.所以点F关于y轴的对称点F的坐
8、标为.将F代入y=，得k=-=-.（3）由A（8，0），B（0，6），得直线AB的函数解析式为y=-x+6.由A（8，0），E（2，0），得AE=6.设G.（）如图，当点H与点A重合，GH是对角线时，四边形EHPG是菱形，所以EG=EH=6.所以（2-m）2+=62，解得m1=，m2=8（舍去）.所以G.因为GPAE，GP=AE=6，所以P.（）如图，由AE=6，当点H与点A重合，GH是边时，四边形EHGP是菱形，所以AG=AE=6.所以（8-m）2+=62，解得m1=，m2=.所以G，G.因为PGAE，PG=AE=6，所以P，P.（）如图，当点H与点A不重合，GH为边时，四边形EPHG是菱形，此时P；四边形EGHP是菱形，此时P.综上所述，符合条件的菱形有5个，点P的坐标为或或. 第2题图
