1、回主页面回章目录两个矩阵的行数和列数均相等时，称它们为两个矩阵的行数和列数均相等时，称它们为同型同型矩阵。矩阵。定义定义3如果两个矩阵如果两个矩阵 是同型矩是同型矩)(),(ijijbBaA 阵阵,且各对应元素也相同且各对应元素也相同,即即 ,2,1;,2,1njmibaijij 则称矩阵则称矩阵 相等相等,记作记作BA与与.BA 例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵.定义定义4 4：两个两个 矩阵矩阵 的和的和nm ijijbBaA,BA 记作记作 ,规定规定)(ijijbaBA即：即：111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababa
2、babababABababab只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行行注注:加法运算。加法运算。例如例如 815342806531 0111273记记 ijAa AA,称称 为为 的的负矩阵负矩阵，由此规定由此规定ABAB 矩阵的矩阵的减法减法为为显然，显然，.0)(AA111212122212nnmmmnkakakakakakakAAkkakakakAkAAk数数与矩阵与矩阵的乘积记作的乘积记作或或矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算。矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算。矩阵的线性运算的运算规律矩阵的线性运算的运算规律:;1ABBA ;2CBACBA ;,0
3、4BABAAA ;6lAkAkl ;7lAkAAlk .8kBkABAk ABCm n令令和和是是，l为常数。为常数。k阶矩阵，阶矩阵，;0)3(AA ;1 )5(AA 3132121111xaxaxay 3232221212xaxaxay 与与 232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx 232221131211aaaaaaA 323122211211bbbbbbB232132212121113113211211111)()(tbababatbababay 232232222122113123212211212)()(tbababatbababay 232221
4、131211aaaaaa323122211211bbbbbb=322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa一般地，有一般地，有smijaA)(nsijbB)(ABC nmijc)(sjisjijiijbababac2211)(21isiiaaasjjjbbb21ijc定义定义是一个一阶方阵，即一个数。是一个一阶方阵，即一个数。注意：1 s1s1.一个一个行矩阵与一个行矩阵与一个列矩阵的乘积列矩阵的乘积nssmnmBAC2.2.例例5 5 10312102A求矩阵求矩阵与与410113201134
5、BAB的乘积的乘积解：解：43110231101420121301AB9219911例例6 63193A7284B解：解：ACAB 但是但是CB 这正是这正是矩阵与矩阵与数的不同数的不同,AC,AD.DA,AB计算乘积计算乘积5321C2163DCBD,AB30391013AC30391013,361212354827CBD显然显然DAAD 这又是矩阵这又是矩阵与数的不同与数的不同0000AD3913DA,请记住：请记住：2.2.不满足消去律；不满足消去律；1.1.矩阵乘法不满足交换律；矩阵乘法不满足交换律；3.3.有非零的零因子。有非零的零因子。n n元线性方程组元线性方程组 11 1122
6、1121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb例例7nnnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211矩阵表示矩阵表示矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB kBABkAABk3（其中（其中 为数）为数）;4AAEEAnmmnnmkkAkn若若A A是是 阶矩阵，定义阶矩阵，定义 为为A A的的 次幂次幂,为正整数，为正整数，个个kkAAAA EA 0。规定。规定 即即.kllkAA为正整数lk,易证易证,lklkAAA 1011mmmmf Aa Aa
7、 AaA a EnnAm阶方阵阶方阵的的次多项式次多项式为为阶方阵阶方阵其中其中 1011mmmmf xa xa xaxa00a ia0,1,2,im为数，为数，,()例例8 2231f xxx2131A f A求求,27134A解：解：27 1211 09123233 4310 13 12f AAA E 把把Am n的行与列依次互换得到另的行与列依次互换得到另矩阵矩阵定义：n m矩阵，称为矩阵，称为一个一个ATA的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作A或或,854221 A;825241 TA例如例如111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa112111222212nnTnnmnaa
8、aaaaAaaa,;2TTTBABA ;3TTkAkA .4TTTABAB 证明：证明：Am sBs n仅证仅证(4)(4)。是是阶矩阵，阶矩阵，是是和和TABTTB An mTABi都是都是矩阵。矩阵。的第的第则则行行ij第第ABj列的元素都是列的元素都是的第的第行第行第列元素列元素,ij1 122jijijssia ba ba bTTB A，的第的第 行第行第它是它是列的列的第第jTBiTA元素是元素是行的元素与行的元素与第第行的行的元素的对元素的对转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT 一般地，应有一般地，应有TTTTABGABGTTTTABGGBAiBAj应乘积之和。也就应
9、乘积之和。也就是是的第的第 列元素与列元素与的第的第 行的行的TTTABB A此二元素相等，故此二元素相等，故1122ijijsijsb ab ab a元素的对应乘积之和。它也是元素的对应乘积之和。它也是,例例9已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB解法解法2 2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即.AnTAA n,j,iaajiij21 A则则 称为称为对称阵对称阵例如
10、例如对称轴对称轴6为对称阵。为对称阵。A5443111116说明说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等等.称为反对称的称为反对称的则矩阵则矩阵如果如果AAAT 例例9 设列矩阵设列矩阵 满足满足 TnxxxX,21,1 XXTE为为n阶单位阵。阶单位阵。2THEXXHTHHE证明证明是对称矩阵，且是对称矩阵，且。证明：证明：TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 注意：注意：21nTiiXXx是一阶方阵，也就是一个数，
11、是一阶方阵，也就是一个数，TXX而而是是阶方阵。阶方阵。n矩阵运算矩阵运算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与反对称矩阵对称阵与反对称矩阵前提条前提条件？件？前提条前提条件？件？与行列式的数与行列式的数乘运算区别乘运算区别?证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵与反对都可表示成对称阵与反对nA称阵之和。称阵之和。证明证明TAAC 设设 TTTAAC 则则AAT ,C 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.,TAAB 设设 TTTAAB 则则AAT ,B 所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.22TTAAAAA 证毕证毕矩阵与行列式有本质的区别，行列式行列数必相矩阵与行列式有本质的区别，行列式行列数必相同。行列式可展开为代数式，而矩阵仅仅是一个同。行列式可展开为代数式，而矩阵仅仅是一个数表，数表，它的行数和列数可以不同。它的行数和列数可以不同。回章目录
