2019-2020学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 23 页） 2019-2020 学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）集合 2 |20AxR xx，集合| x BxR ee，则(AB ) A(1,2) B(1，2 C1，2 D1，2) 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数() 1 ai aR i 为纯虚数的充要条件是( ) A2a B1a C1a D2a

2、 3 （5 分）某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于 60 分到 140 分 之间（满分 150 分） ，为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取 100 名学生的考试成绩作 为样本进行统计 将这 100名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组： 第一组60， 70)，第二组70，80)，第三组80，90)，如图是按上述分组方法得到的频率分布 直方图的一部分则第七组的频数为( ) A8 B10 C12 D16 4 （5 分） 设函数( )f x的定义域为R， 满足(2)2 ( )f xf x， 且 1 2 ,( 0 , 1 ) ( ) (2),1,2 x x f x ln

3、 xx 则 f（e）( ) A 1 2e B2e C 1 2e D(2)ln e 5 （5 分）在直角梯形ABCD中，4AB ，2CD ，/ /ABCD，ABAD，E是BC的中 第 2 页（共 23 页） 点，则()(AB ACAE ) A8 B12 C16 D20 6 （5 分）已知函数( ) 1 | x f x x ，则不等式(3)(2 )0f xfx的解集为( ) A(, 3) B(,1) C( 3,) D(1,) 7 （5 分）三棱锥PABC的底面ABC是边长为3的等边三角形，该三棱锥的所有顶点 均在半径为 2 的球上，则三棱锥PABC的体积最大值为( ) A 2 33 4 B 3 3

4、 4 C 32 3 4 D 96 3 4 8 （5 分）已知定义在R上函数( )f x的图象是连续不断的，满足(1)(1)fxfx， ()( )fxf x ，且( )f x在0，1上单调递增，若 2 (log 3)af，( 10)bf，(2020)cf， 则( ) Aabc Bacb Ccba Dbca 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0

5、 分分 9 （5 分）已知点(1,0)F为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为( ) A 2 4yx B 2 4xy C 22 22 1(0) 2 xy cossin D 22 22 1(0) 2 xy cossin 10 （5 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M在棱 1 CC上，则下列结论正确的 是( ) A直线BM与平面 11 ADD A平行 B平面 1 BMD截正方体所得的截面为三角形 第 3 页（共 23 页） C异面直线 1 AD与 11 AC所成的角为 3 D 1 |MBMD的最小值为5 11 （5 分）对于函数( )3sin()1 3 f xx （其中

6、0)，下列结论正确的是( ) A若2，0. 2 x ，则( )yf x的最小值为 1 2 B若2，则函数3sin21yx的图象向右平移 3 个单位可以得到函数( )yf x的 图象 C若2，则函数( )yf x在区间(0,) 2 上单调递增 D若函数( )yf x的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为 4 ，则2 12 （5 分）如图(2,0)A，(1,1)B，( 1,1)C ，( 2,0)D ，CD是以OD为直径的圆上一段圆弧， CB是以BC为直径的圆上一段圆弧，BA是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线 W则下述正确的是( ) A曲线W与x轴围成的面积等于2 B曲线W上有 5 个

7、整点（横纵坐标均为整数的点） CCB所在圆的方程为： 22 (1)1xy DCB与BA的公切线方程为：21xy 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若命题“ 0 xR， 2 00 20xxa”为假命题，则实数a的取值范围是 14（5 分） 已知等比数列 n a的前n项和为 n S，*nN 若 321 320SSS， 则 2 1 a a 15 （5 分）若二项式(1 3 ) (*) n xnN的展开式中所有项的系数和为32，则： （1）n ； 第 4 页（共 23 页） （2）该二项式展开式中含有 3 x项的系数为

8、 16 （5 分）黄金分割比 51 0.618 2 被誉为“人间最巧的比例” 离心率 51 2 e 的椭 圆被称为“优美椭圆” ，在平面直角坐标系中的“优美椭圆” 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左 右顶点分别为A，B， “优美椭圆” C上动点P（异于椭圆的左右顶点） ，设直线PA，PB 的斜率分别为 1 k， 2 k，则 12 k k 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（10 分） 已知数列 n a， n b满足： 1 1a ，10b ， 1 443 nnn b

9、ab ， 1 434 nnn aab ， *nN （1）证明：数列 nn ab为等差数列，数列 nn ab为等比数列； （2）记数列 n a的前n项和为 n W，求 n W及使得9 n W 的n的取值范围 18 （12 分） 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知sinsin 2 BC aBb （1）求A； （2）若2bc，求a取最小值时ABC的面积S 19 （12 分）如图，在三棱台ABCDEF中，2BCEF，G，H分别为AC，BC上的点， 平面/ /GHF平面ABED，CFBC，ABBC （1）证明：平面BCFE 平面EGH； （2）若ABCF，22ABBCCF，求二面

10、角BADCC的大小 20 （12 分）有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下： 甲公司 第 5 页（共 23 页） 职位 A B C D 月薪/元 6000 7000 8000 9000 获得相应职 位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 乙公司 职位 A B C D 月薪/元 5000 7000 9000 11000 获得相应职 位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 （1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由； （2）某课外实习作业小组调查了 1000 名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得 到如下数据分布： 人员结构 选择意愿 40

11、 岁以上（含 40 岁）男性 40 岁以上（含 40 岁）女性 40 岁以下男性 40 岁以下女性 选择甲公司 110 120 140 80 选择乙公司 150 90 200 110 若分析选择意愿与年龄这两个分类变量， 计算得到的 2 K的观测值为 1 5.5513k ， 测得出 “选 择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择 意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 ()P Kk 0.050 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7

12、.879 21 （12 分）已知函数 2 ( )sin(1) 2 x f xxlnx （1）证明：( ) 0f x ； （2）数列 n a满足： 1 1 0 2 a， 1 ()(*) nn af anN （）证明： 1 0(*) 2 n anN； 第 6 页（共 23 页） （）证明：*nN ， 1nn aa 22 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长和焦距相等， 左、 右焦点分别为 1 F、 2 F，点 2 (1.) 2 Q满足： 12 | 2QFQFa已知直线l与椭圆C相交于A，B两点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l过点 2 F，且 22

13、 2AFF B，求直线l的方程； （3）若直线l与曲线ylnx相切于点(T t，)(0)lnt t ，且AB中点的横坐标等于 2 3 证明： 符合题意的点T有两个，并任求出其中一个的坐标 第 7 页（共 23 页） 2019-2020 学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）集合 2 |2

14、0AxR xx，集合| x BxR ee，则(AB ) A(1,2) B(1，2 C1，2 D1，2) 【解答】解：集合 2 |20 | 12AxR xxxx ， 集合| |1 x BxR eex x厖， |121ABxx，2) 故选：D 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数() 1 ai aR i 为纯虚数的充要条件是( ) A2a B1a C1a D2a 【解答】解： ()(1)11 1(1)(1)22 aiaiiaa i iii 是纯虚数， 10 10 a a ，即1a 复数() 1 ai aR i 为纯虚数的充要条件是1a 故选：C 3 （5 分）某校高三年级的学生参加了一次数学测试，

15、学生的成绩全部介于 60 分到 140 分 之间（满分 150 分） ，为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取 100 名学生的考试成绩作 为样本进行统计 将这 100名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组： 第一组60， 70)，第二组70，80)，第三组80，90)，如图是按上述分组方法得到的频率分布 直方图的一部分则第七组的频数为( ) 第 8 页（共 23 页） A8 B10 C12 D16 【解答】解：根据概率和为 1，设第七组的概率为a， 则10(0.0040.0120.0160.030.020.0060.004)1a， 即0.921a，0.08a ， 再由1000.088，

16、 故选：A 4 （5 分） 设函数( )f x的定义域为R， 满足(2)2 ( )f xf x， 且 1 2 ,( 0 , 1 ) ( ) (2),1,2 x x f x ln xx 则 f（e）( ) A 1 2e B2e C 1 2e D(2)ln e 【解答】解：由题意可得，f（e） 1 2 (2)2 22 ee f e 故选：B 5 （5 分）在直角梯形ABCD中，4AB ，2CD ，/ /ABCD，ABAD，E是BC的中 点，则()(AB ACAE ) A8 B12 C16 D20 【解答】解：建立坐标系如图：则(0,0)A，(4,0)B，(0,2)D，(2,2)C，(3,1)E；

17、所以(5,3)ACAE，(4,0)AB ， 第 9 页（共 23 页） 则()20AB ACAE 故选：D 6 （5 分）已知函数( ) 1 | x f x x ，则不等式(3)(2 )0f xfx的解集为( ) A(, 3) B(,1) C( 3,) D(1,) 【解答】 解： 易知函数定义域为R上的奇函数， 且当0x 时， 1 11 ( )1 111 xx f x xxx 为递增函数， 所以函数在R上递增， (3)(2 )0f xfx， 即(3)(2 )( 2 )f xfxfx ， 由32xx ，33x ，得1x ， 故选：D 7 （5 分）三棱锥PABC的底面ABC是边长为3的等边三角形

18、，该三棱锥的所有顶点 均在半径为 2 的球上，则三棱锥PABC的体积最大值为( ) A 2 33 4 B 3 3 4 C 32 3 4 D 96 3 4 【解答】解：如图所示， 由题意知， 23 31 32 CD ； 在OCD中， 2222 213ODOCCD； 三棱锥PABC体积的最大时，最长的高为32ODOP， 所以三棱锥PABC体积的最大值为： 2 332 311 332 3344 ABCP ABC VSh 三棱锥 故选：C 第 10 页（共 23 页） 8 （5 分）已知定义在R上函数( )f x的图象是连续不断的，满足(1)(1)fxfx， ()( )fxf x ，且( )f x在0

19、，1上单调递增，若 2 (log 3)af，( 10)bf，(2020)cf， 则( ) Aabc Bacb Ccba Dbca 【解答】解：因为(1)(1)fxfx，所以函数( )f x关于1x 对称， 又因为()( )fxf x ，所以函数( )f x为奇函数， 所以(1)(1)(1)fxfxf x ， 令1xx，则( )(2)f xf x 令2xx，则(2)(4)f xf x 由得，( )(4)f xf x，即函数( )f x的周期为 4 又因为( )f x在0，1上单调递增，于是可以作出如图所示的函数图象， 而 2 log 3(1,2)，10(3,4)，所以0a ，0b ， (2020

20、)(505 4)(0)0fff，所以0c ， 因此bca 故选：D 二、多二、多项选择题：本题共项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 第 11 页（共 23 页） 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知点(1,0)F为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为( ) A 2 4yx B 2 4xy C 22 22 1(0) 2 xy cossin D 22 22 1(0) 2 xy cos

21、sin 【解答】解： 2 4yx的焦点坐标(1,0)，A正确； 2 4xy的焦点坐标(0,1)，所以B不正确； 当 4 时， 22 22 1 xy cossin 表示圆，所以C不正确； 22 22 1(0) 2 xy cossin 的焦点坐标为：( 1,0)，所以D正确 故选：AD 10 （5 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M在棱 1 CC上，则下列结论正确的 是( ) A直线BM与平面 11 ADD A平行 B平面 1 BMD截正方体所得的截面为三角形 C异面直线 1 AD与 11 AC所成的角为 3 D 1 |MBMD的最小值为5 【解答】解： 第 12 页

22、（共 23 页） 对于A， 面/ /ABCD面 1111 A BC D， 11 BMBCC B， 即可判定直线BM与平面 11 ADD A平行， 故正确； 对于B，如图 1，平面 1 BMD截正方体所得的截面可能为四边形，故错； 对于C，如图 2，异面直线 1 AD与 11 AC所成的角为， 1 D AC，即可判定异面直线 1 AD与 11 AC 所成的角为 3 ，故正确； 对于D，如图 3， 11 MBMDMDMD，如图 4，原问题相当于：/ /ACDB，直线AC， BD间距离为 1，在AC上找一点M使得到DB（表达）上两点间距离之和最小 只 需 找 到B关 于AC的 对 称 点E， 1 M

23、DMD的 最 小 值 即 为 线 段ED的 长 度 ， 22 125ED，故正确 故选：ACD 11 （5 分）对于函数( )3sin()1 3 f xx （其中0)，下列结论正确的是( ) A若2，0. 2 x ，则( )yf x的最小值为 1 2 B若2，则函数3sin21yx的图象向右平移 3 个单位可以得到函数( )yf x的 图象 第 13 页（共 23 页） C若2，则函数( )yf x在区间(0,) 2 上单调递增 D若函数( )yf x的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为 4 ，则2 【解答】解：( )3sin()1 3 f xx （其中0)， 对于A，若2，( )3si

24、n(2)1 3 f xx （其中0)， 0.2 233 xx ， 23 sin(2) 332 x ， 1 1( ) 2 f x ，31， 则( )yf x的最小值为 1 2 ，故A正确； 对于B， 若2， 则函数3sin21yx的图象向右平移 6 个单位可以得到函数( )yf x的 图象，故B错误； 对于C，若2，(0x，)2( 233 x ， 2 ) 3 ，故函数( )yf x在区间(0,) 2 上先 增后减，故C错误； 对于D，若函数( )yf x的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为 4 ，即 2 (0) 44 T T ，则2，故D正确 综上所述，结论正确的是AD 故选：AD 12

25、（5 分）如图(2,0)A，(1,1)B，( 1,1)C ，( 2,0)D ，CD是以OD为直径的圆上一段圆弧， CB是以BC为直径的圆上一段圆弧，BA是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线 W则下述正确的是( ) A曲线W与x轴围成的面积等于2 B曲线W上有 5 个整点（横纵坐标均为整数的点） CCB所在圆的方程为： 22 (1)1xy 第 14 页（共 23 页） DCB与BA的公切线方程为：21xy 【解答】解：曲线W与x轴的图形为以(0,1)圆心、1 为半径的半圆加上以(1,0)为圆心，1 为半径的 1 4 圆， 加上以( 1,0)为圆心，1 为半径的 1 4 圆，加上长为 2，

26、宽为 1 的矩形构成， 可得其面积为 11 222 22 ，故A错误； 曲线W上有( 2,0)，( 1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)共 5 个整点，故B正确； CB是以(0,1)为圆心，1 为半径的圆，其所在圆的方程为 22 (1)1xy，故C正确； 设CB与BA的公切线方程为(0,0)ykxt kt， 由直线和圆相切的条件可得 22 |1| 1 11 tkt kk ，解得1k ，12(12t 舍去） ， 则其公切线方程为12yx ，即12xy ，故D正确 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5

27、分） 若命题 “ 0 xR， 2 00 20xxa” 为假命题， 则实数a的取值范围是 1a 【解答】解：由“ 0 xR， 2 00 20xxa”为假命题，可知xR ， 2 20xxa， 结合二次函数的性质可知， 22 2(1)11xxx， 故1a 故答案为：1a 14（5 分） 已知等比数列 n a的前n项和为 n S，*nN 若 321 320SSS， 则 2 1 a a 2 【解答】解： 321 320SSS， 第 15 页（共 23 页） 123121 3()20aaaaaa， 即 32 2aa， 即 32 12 2 aa aa ， 故答案为：2 15 （5 分）若二项式(1 3 )

28、(*) n xnN的展开式中所有项的系数和为32，则： （1）n 5 ； （2）该二项式展开式中含有 3 x项的系数为 【解答】解： （1）令1x ，可得：(1 3)32 n ，解得5n （2） 5 (1 3 ) x中的含有 3 x项为： 333 45( 3 ) 270Txx，其系数为270 故答案为： （1）5； （2）270 16 （5 分）黄金分割比 51 0.618 2 被誉为“人间最巧的比例” 离心率 51 2 e 的椭 圆被称为“优美椭圆” ，在平面直角坐标系中的“优美椭圆” 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左 右顶点分别为A，B， “优美椭圆” C上动点P（异于椭圆

29、的左右顶点） ，设直线PA，PB 的斜率分别为 1 k， 2 k，则 12 k k 15 2 【解答】 解： 设( , )P m n代入椭圆方程， 则： 22 22 1 mn ab ， 离心率 51 2 e ， 可得 2 2 51 2 b a ， 整理得： 2 222 2 () b nma a ， 又 1 n k ma ， 2 n k ma ， 所以 22 12 222 5115 22 nb k k maa ， 故答案为：1 5 2 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（10 分

30、） 已知数列 n a， n b满足： 1 1a ，10b ， 1 443 nnn bab ， 1 434 nnn aab ， *nN （1）证明：数列 nn ab为等差数列，数列 nn ab为等比数列； （2）记数列 n a的前n项和为 n W，求 n W及使得9 n W 的n的取值范围 第 16 页（共 23 页） 【解答】 （1）证明：依题意，由 1 434 nnn aab 和 1 443 nnn bab 两式相加，可得： 11 4()4()8 nnnn abab ， 11 ()()2 nnnn abab 11 1ab， 数列 nn ab是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 又由 1 4

31、34 nnn aab 和 1 443 nnn bab 两式相减，可得： 11 4()2() nnnn abab ， 11 1 ()() 2 nnnn abab 11 10ab ， 数列 nn ab是以 1 为首项， 1 2 为公比的等比数列 （2）解：由（1） ，可得 21 nn abn， 1 1 ( ) 2 n nn ab ， 两式相加，得 11 ( ) 22 n n an 12 nn Wa aa 12 111111 1( )2( )( ) 222222 n n 12 1111 (12)( )( )( ) 2222 n nn 11 1( ) (1) 22 1 22 1 2 n n nn 2

32、1 1 ( ) 22 n n 11 11 1111 1( )( )0 2222 nn nnn WWann 由 n W构成的数列 n W是一个递增数列 第 17 页（共 23 页） 又 4 4 1611 1( )99 2216 W ， 5 5 251271 1( )9 22232 W 使得9 n W 的n的取值范围为5n 18 （12 分） 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知sinsin 2 BC aBb （1）求A； （2）若2bc，求a取最小值时ABC的面积S 【解答】解： （1）因为已知sinsin 2 BC aBb 所以sinsin() 22 A aBb ，即si

33、ncos 2 A aBb， 由正弦定理得sinsinsincos 2 A ABB， 由于C为ABC的内角，所以sin0B ， 所以sincos 2 A A ，即2sincoscos 222 AAA 由于B为ABC的内角， cos0 2 A ， 1 sin 22 A ，解得 3 A （2）在ABC中由余弦定理知： 222222 2cos()3()3() 2 bc abcbcAbcbcbc ， 所以1a 等号当仅当1bc时等号成立 此时 13 sin 24 SbcA 19 （12 分）如图，在三棱台ABCDEF中，2BCEF，G，H分别为AC，BC上的点， 平面/ /GHF平面ABED，CFBC，

34、ABBC （1）证明：平面BCFE 平面EGH； （2）若ABCF，22ABBCCF，求二面角BADCC的大小 第 18 页（共 23 页） 【解答】解： （1）因为平面平面/ /GHF平面ABED， 平面BCFE平面ABEDDE， 平面BCFE平面GHFHF 所以/ /BEHF 因为/ /CBEF，所以四边形BHFE为平行四边形 所以BHEF，因为2BCEF 所以2BCBH，H为BC的中点 同理G为AC的中点，所以/ /GHAB 因为ABBC，所以GHBC（4 分） 又/ /HCEF且HCEF，所以四边形EFCH是平行四边形，所以/ /CFHE， 又CFBC，所以HEBC （5 分） 又HE

35、，HG 平面EGH，HEGHH，所以BC 平面EGH， 又BC 平面BCFE，所以平面BCFE 平面EGH （2） 由 （1） 知，HEHB，HGHB， 因为ABCF，/ /CFHE，/ /GHAB， 所以/ /HEHG 分别以HG，HB，HE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz， 则(2A，1，0)，(0B，1，0)，(1D，0，1)，(0C，1，0) 设平面ABD的一个法向量为 111 (,)mx y z，因为( 2,0,0)AB ，(1, 1,1)BD 则 1 111 20 0 m ABx m BDxyz ，取 1 1y ，得(0,1,1)m 设平面ADC

36、的一个法向量为 222 (,)nxyz，因为( 1, 1,1)AD ，( 2, 2,0)AC 第 19 页（共 23 页） 则 222 22 0 220 n ADxyz n ACxy ，取 2 1x ，得(1, 1,0)n 所以 1 cos, 2 m n ，则二面角BADC的大小为 3 20 （12 分）有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下： 甲公司 职位 A B C D 月薪/元 6000 7000 8000 9000 获得相应职 位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 乙公司 职位 A B C D 月薪/元 5000 7000 9000 11000 获得相应职 位

37、概率 0.4 0.3 0.2 0.1 （1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由； （2）某课外实习作业小组调查了 1000 名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得 到如下数据分布： 人员结构 选择意愿 40 岁以上（含 40 岁）男性 40 岁以上（含 40 岁）女性 40 岁以下男性 40 岁以下女性 第 20 页（共 23 页） 选择甲公司 110 120 140 80 选择乙公司 150 90 200 110 若分析选择意愿与年龄这两个分类变量， 计算得到的 2 K的观测值为 1 5.5513k ， 测得出 “选 择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的

38、上限是多少？并用统计学知识分析，选择 意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 ()P Kk 0.050 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7.879 【解答】解： （1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y， 则()6000 0.47000 0.38000 0.29000 0.17000E X ， ( )5000 0.47000 0.39000 0.2 11000 0.17000E Y ， 2222 ()(60007000)0.4(70007000)0.3(8

39、0007000)0.2(90007000)0.1D X 2 1000， 2222 ( )(50007000)0.4(70007000)0.3(90007000)0.2(110007000)0.1D Y 2 2000， 则()( )E XE Y，()( )D XD Y， 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司； 或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司； （2）因为 1 5.55135.024k ，根据表中对应值， 得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是 0.025， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的22列联表如下： 选择甲公司 选择乙公司 总计 男 250

40、350 600 女 200 200 400 总计 450 550 1000 计算 2 2 1000 (250200350200)2000 6.734 600400450 550297 K ， 第 21 页（共 23 页） 且 2 6.7346.635K ， 对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为 0.01， 由0.010.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大 21 （12 分）已知函数 2 ( )sin(1) 2 x f xxlnx （1）证明：( ) 0f x ； （2）数列 n a满足： 1 1 0 2 a， 1 ()(*) nn af anN （）证明

41、： 1 0(*) 2 n anN； （）证明：*nN ， 1nn aa 【解答】证明： （1）由题意知， 1 ( )cos 1 fxxx x ，( 1,)x ， 当( 1,0)x 时， 1 ( )10 1 fxxx x ， 所以( )f x 在区间( 1,0)上单调递减， 当(0,)x时，令( )( )g xfx，因为 22 11 ( )1sin0 (1)(1) g xx xx ， 所以( )g x 在区间(0,)上单调递增，因此( )(0)0g xg， 故当(0,)x时，( )0fx， 所以( )f x 在区间(0,) 上单调递增， 因此当( 1,)x 时，( )(0)0f xf， 所以(

42、) 0f x ； （2） （）由（1）知，( )f x在区间 1 (0, ) 2 上单调递增，( )(0)0f xf， 因为 8812 88 3111 ( )(1)114712 2224 cCe ， 故 8 33 18( )0 22 lnlneln， 所以 1113131131 ( )( )sinsin(18) 22826822822 f xflnlnln ， 因此当 1 (0, ) 2 x 时，0( )1f x，又因为 1 1 (0, ) 2 a ， 所以 121 1 ()( ()( ()(0, ) 2 nnn af af f af ff a ， （）函数( )( )h xf xx， 1 (

43、0) 2 x，则 1 ( )( )1cos1 1 h xfxxx x ， 令( )( )xh x，则( )( )0xg x， 第 22 页（共 23 页） 所以( )x 在区间 1 (0, ) 2 上单调递增； 因此 111217 ( )( )( )cos1cos0 222326 h xx ， 所以( )h x 在区间 1 (0, ) 2 上单调递减，所以( )(0)0h xh， 因此 1 ()()0 nnnnn aaf aag a ， 所以对 * nN ， 1nn aa 22 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长和焦距相等， 左、 右焦点分别为 1 F、 2 F，点 2 (1.) 2 Q满足： 12 | 2QFQFa已知直线l与椭圆C相交于A，B两点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l过点 2 F，且 22 2AFF B，求直线l的方程； （3）若直线l与曲线ylnx相切于点(T t，)(0