1、习题课习题课函数的单调性的应用函数的单调性的应用第五章第五章人 教 版 新 教 材 高 中 数 学 优 质 课 件人 教 版 新 教 材 高 中 数 学 优 质 课 件REN JIAO BAN XIN JIAO CAI GAO ZHONG SHU XUE YOU ZHI KE JIANREN JIAO BAN XIN JIAO CAI GAO ZHONG SHU XUE YOU ZHI KE JIAN20192019普通普通高中教科书高中教科书内容索引自主预习自主预习 新知导学新知导学合作探究合作探究 释疑解惑释疑解惑随堂练习随堂练习返回目录课标定位素养阐释1.利用函数的单调性比较大小及解不等
2、式.2.根据函数的单调性求参数.3.通过学习,进一步提升逻辑推理能力与运算求解的数学素养.返回目录自主预习自主预习 新知导学新知导学返回目录函数的单调性【问题思考】1.函数单调性的逆向转化(1)设函数y=f(x)在区间(a,b)上可导.如果f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么f(x)0在区间(a,b)上恒成立,且f(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0;如果f(x)在区间(a,b)上单调递减,那么f(x)0在区间(a,b)上恒成立,且f(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.(2)恒成立问题的重要思路mf(x)恒成立mf(x)max;mf(x)恒成立mf(x)min.返
3、回目录A.(0,+)B.(-1,0)C.(1,+)D.(0,1)(2)若函数f(x)=-x2+bln(x+2)在区间(-1,+)上单调递减,则b的取值范围是.返回目录由题意知f(x)0在区间(-1,+)上恒成立,即bx(x+2)对x(-1,+)恒成立.因为当x(-1,+)时,x(x+2)-1,所以b-1.返回目录(3)函数f(x)的导数f(x)=x2-ax+a-1.令f(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-11,即a2时,函数f(x)在区间(1,+)内单调递增,不符合题意.当a-11,即a2时,函数f(x)在区间(-,1)内单调递增,在区间(1,a-1)内单调递减,在区间(a-1,+)内单
4、调递增.由题意知f(x)在区间(1,4)内单调递减,在区间(6,+)内单调递增.所以4a-16,解得5a7.故a的取值范围为5,7.答案:(1)A(2)(-,-1(3)5,7返回目录【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)在区间(a,b)上f(x)0,且f(x)=0的根有有限个,则f(x)在区间(a,b)上单调递减.()(2)若函数f(x)是定义在R上的增函数,那么一定有f(x)0.()(3)在某区间上f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.()返回目录合作探究合作探究 释疑解惑释疑解惑返回目录探究一探究一利用单
5、调性比较大小利用单调性比较大小答案:A 返回目录反思感悟 比较大小与函数单调性的关系(1)若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f(a)f(b).处理此类问题时,常结合函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)解决.返回目录【变式训练1】已知函数f(x)=+ln x,则有()A.f(e)f(3)f(2)B.f(3)f(e)f(2)C.f(e)f(2)f(3)D.f(2)f(e)0时,f(x)0,f(x)在(0,+)上是增函数.又2e3,f(2)f(e)0时,有 0的解集是.返回目录又(2)=0,当0 x0,即f(x)0;当x2时,(x)0,即f(x)0,在区间(-2,0)上恒有f(x)0的解
6、集即为不等式f(x)0的解集,不等式x2f(x)0的解集是(-,-2)(0,2).答案:(-,-2)(0,2)返回目录反思感悟 利用函数的单调性解不等式的常用思路(1)根据条件或所解不等式构造函数;(2)判断所构造函数的单调性,利用单调性或函数图象解不等式.返回目录【变式训练2】已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR),则不等式f(x)2x+1的解集为.解析:设g(x)=f(x)-2x-1,则g(x)=f(x)-21时,g(x)0,即f(x)2x+1.所以不等式f(x)2x+1的解集为(1,+).答案:(1,+)返回目录探究三探究
7、三根据函数的单调性求参数根据函数的单调性求参数【例3】已知函数f(x)=x3-ax-1.若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.解:因为f(x)在R上是增函数,所以f(x)=3x2-a0在R上恒成立,即a3x2对xR恒成立.因为3x20,所以只需a0.又因为当a=0时,f(x)=3x20,当且仅当x=0时取等号,所以f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a0,即a的取值范围是(-,0.返回目录1.若f(x)在区间(-1,1)上单调递减,求a的取值范围.解:由f(x)=3x2-a0在区间(-1,1)上恒成立,得a3x2在区间(-1,1)上恒成立.因为-1x1,所以3x20.返回目录反思感悟
8、 1.可导函数f(x)在区间(a,b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f(x)0(或f(x)0)在区间(a,b)上恒成立,且f(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于0.2.已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数取值范围的方法:(1)利用集合的包含关系处理:f(x)在区间(a,b)上单调递增(减),则区间(a,b)是相应单调区间的子集;(2)利用不等式的恒成立处理:f(x)在区间(a,b)上单调递增(减),则f(x)0(f(x)0)在区间(a,b)上恒成立,注意验证等号是否成立.返回目录【变式训练3】已知函数f(x)=2ax-x3,x(0,1,a0,若f(x)在区间(0,1上是增
9、函数,求a的取值范围.解:f(x)=2a-3x2,则方程f(x)=0的根为有限个,从而f(x)在区间(0,1上为增函数等价于f(x)=2a-3x20对x(0,1恒成立.返回目录【规范解答规范解答】利用导数证明不等式当x(-1,+)时,f(x)0,f(x)在区间(-1,+)上是增函数.当x0时,f(x)f(0)=0,当x0时,不等式ln(x+1)x-x2恒成立.返回目录答题模板:第一步构造函数f(x)=ln(x+1)-x+x2;第二步求导f(x),并判断函数f(x)的单调性;第三步将函数f(x)的函数值与f(0)比较;第四步说明原不等式成立.反思感悟 利用导数证明不等式成立,(1)要构造函数f(
10、x),而f(x)实际上就是不等式两边式子的差,即f(x)=ln(x+1)-x+x2.(2)要证明原不等式成立,只要证明f(x)0当x0时恒成立.返回目录当x1时,f(x)0,且只有当x=1时f(x)=0,函数f(x)在区间1,+)上单调递增.故当x1时,f(x)f(1)=1,即ln x+1.答案:返回目录随堂练习随堂练习返回目录1.函数y=ax3-x在R上是减函数,则()A.aB.a=1C.a=2D.a0解析:因为y=3ax2-1,所以函数y=ax3-x在R上是减函数等价于y=3ax2-10恒成立.当x=0时,-10成立,此时aR;答案:D 返回目录2.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f
11、(x)的大致图象如图所示,则下列大小关系正确的是()A.f(b)f(c)f(d)B.f(b)f(a)f(e)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(e)f(d)解析:由题图知,当x(-,c)时,f(x)0,所以函数f(x)在(-,c)上单调递增.因为abf(b)f(a),故选C.答案:C返回目录3.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c=.解析:f(x)=3x2+2bx+c,由题意知,-1x3是不等式3x2+2bx+c0,得xx2或xx1;令f(x)0,得x1xx2.a0,x1-1,x20.由此可得f(x)在区间-1,1上是单调函数的充要条件为x21,本本 课课 结结 束束
