1、 2020 届江苏高三高考数学全真模拟试卷届江苏高三高考数学全真模拟试卷 09 数学试题 I 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填写在 相应位置上 1. 函数 yx1的定义域为 A，函数 ylg(2x)的定义域为 B，则 AB_ 答案：1，2) 解析：易知 A1，)，B(，2)，AB1，2) 2. 已知 12 i 2 abi(a、bR，i 为虚数单位)，则 ab_ 答案：7 解析： 2 i2i， (1 2 i) 2(12i)234i， a3，b4，ab7. 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线x 2 9 y2 m1 的一个
2、焦点为(5，0)，则实数 m_ 答案：16 解析：由题知 a2b29m25， m16. 4. 样本容量为 100 的频率分布直方图如图所示，由此估计样本数据落在6，10内的频数为_ (第 4 题) 答案：32 解析：6，10内的频数为 100 0.08 432. 5. “ 2”是“函数 ysin(x)的图象关于 y 轴对称”的_条件 答案：充分不必要 解析：当 2时，ysin(x 2)cosx 为偶函数，当 ysin(x)为偶函数时，k 2， 6. 已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，a11，S36，则 S6_ 答案：39 解析：由题设知 a11，a2a37，从而 d3，从而 a615d1
3、4，S6(114) 6 239. 7. 函数 y 1 lnx(xe)的值域是_ 答案：(0，1 解析：y 1 lnx为e，)上单调递减函数，从而函数值域为(0，1 8. 执行下面的程序图，那么输出 n 的值为_ 答案：6 解析：由题知流程图执行如下： 第 1 次 n2， S1，第 2 次 n3， S3，第 3 次 n4， S7，第 4 次 n5， S15， 第 5 次 n6， S31. 停止输出 n6. (第 8 题) 9. 在 1，2，3，4 四个数中随机地抽取 1 个数记为 a，再在剩余的三个数中随机地抽取 1 个数记为 b， 则“a b是整数”的概率为_ 答案：1 3 解析：由题设可求出
4、基本事件如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)， (3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3) 其中a b整数的个数为 4，从而所求概率为 4 3 4 1 3. 10. 已知ABC 为等腰直角三角形，斜边 BC 上的中线 AD2，将ABC 沿 AD 折成 60 的二面角，连 结 BC，则三棱锥 CABD 的体积为_ 答案：2 3 3 解析：如下图所示： 作 BC 中点 E，连结 DE、AE，则易知 BC平面 ADE， 从而 VCABD1 3SADE BC，又 DE 3，AE 7， 从而 VCABD1 3 1 2 2 3 2 2 3
5、 3. 11. 直线 ykx 与曲线 y2ex相切，则实数 k_ 答案：2e 解析：设切点(x0，2ex0)，则切线方程为 y2ex0(xx0)2ex0，又切线过点(0，0)，得 x01，从而切点 为(1，2e)，从而 k2e. 12. 已知平面内四点 O、A、B、C 满足OA BC 2，OB CA 3，则OC AB _ 答案：5 解析： 由题设知OA (OC OB )2， OB (OA OC )3， 两式相加得OA OC OB OC 5， 即OC (OA OB ) 5，从而OC AB 5. 13. 已知奇函数 f(x)是 R 上的单调函数，若函数 yf(x2)f(kx)只有一个零点，则实数
6、k 的值是 _ 答案：1 4 解析：不妨设 f(x)x，则 x2kx0 只有一个解，从而 14k0，得 k1 4. 14. 已知 x、yR，满足 2y4x，x1，则x 2y22x2y2 xyxy1 的最大值为_ 答案：10 3 解析：由题易知x 2y22x2y2 xyxy1 （x1） 2（y1）2 （x1）（y1） x1 y1 y1 x1，令 t y1 x1，则由线性规划 知 t1 3，1，从而 t 1 t2， 10 3 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15. (本小题满分 14 分) 在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别
7、为 a、b、c，且tanB tanA1 2c a . (1) 求角 B； (2) 若 cos C 6 1 3，求 sinA 的值 解：(1) 由tanB tanA1 2c a 及正弦定理，得sinBcosA cosBsinA1 2sinC sinA ，(2 分) 所以sinBcosAcosBsinA cosBsinA 2sinC sinA ， 即sin（AB） cosBsinA 2sinC sinA ，则 sinC cosBsinA 2sinC sinA . 因为在ABC 中，sinA0，sinC0， 所以 cosB1 2.(5 分) 因为 B(0，)，所以 B 3.(7 分) (2) 因为
8、0C2 3 ， 所以 6C 6 5 6 . 因为 cos C 6 1 3， 所以 sin(C 6) 2 2 3 .(10 分) 所以 sinAsin(BC)sin C 3 sin C 6 6 (12 分) sin C 6 cos 6cos(C 6)sin 6 2 61 6 .(14 分) 16.(本小题满分 14 分) 如图，正四棱锥 P-ABCD 的高为 PO，POAB2.E、F 分别是棱 PB、CD 的中点，Q 是棱 PC 上的点 (1) 求证：EF平面 PAD； (2) 若 PC平面 QDB，求 PQ. (1) 证明：取 PA 中点 M，连结 ME、MD， 由条件得，MEAB，DFAB，
9、 MEDF. 且 ME1 2AB，DF 1 2AB， MEDF.(2 分) 四边形 EFDM 是平行四边形 则 EFMD.(4 分) 又 MD平面 PAD，EF平面 PAD， EF平面 PAD.(7 分) (2) 解：连结 OQ. PC平面 QDB，OQ平面 QDB， PCOQ.(9 分) PO平面 ABCD，OC平面 ABCD， POOC. 由正方形 ABCD 的边长为 2，得 OC 2. PO2， PC PO2OC2 6.(11 分) 则 PQPO sinCPO2 2 6 2 3 3 .(14 分)， 所以 FH | 3x04| x20 1x 2 0 4 2 3x03 | 3x04| 3
10、4x 2 02 3x04 | 3x04| 3 2 x02 22.(14 17. (本小题满分 14 分) 某种树苗栽种时高度为 A(A 为常数)米，栽种 n 年后的高度记为 f(n)经研究发现 f(n)近似地满足 f(n) 9A abtn，其中 t2 2 3，a、b 为常数，nN，f(0)A.已知栽种 3 年后该树木的高度为栽种时高度的 3 倍 (1) 栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的 8 倍； (2) 该树木在栽种后哪一年的增长高度最大 解：(1) 由题意知 f(0)A，f(3)3A. 所以 9A abA， 9A a1 4b 3A，解得 a1，b8.(4 分) 所以 f(n) 9A
11、18 tn，其中 t2 2 3. 令 f(n)8A，得 9A 18 tn8A， 解得 tn 1 64， 即 22n 3 1 64，所以 n9. 所以栽种 9 年后，该树木的高度是栽种时高度的 8 倍(6 分) (2) 由(1)知 f(n) 9A 18 tn. 第 n 年的增长高度为 f(n)f(n1) 9A 18 tn 9A 18 tn 1.(9 分) 所以 72Atn 1（1t） （18tn）（18tn 1） 72Atn 1（1t） 18tn 1（t1）64t2n1 72A（1t） 1 tn 164tn8（t1） (12 分) 72A（1t） 264tn 1 tn 18（t1） 72A（1t
12、） 8（1 t）2 9A（1 t） 1 t . 当且仅当 64tn 1 tn 1，即 22（2n1） 3 1 64时取等号，此时 n5. 所以该树木栽种后第 5 年的增长高度最大(14 分 18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 P(1，1)，c 为椭圆的半焦距，且 c 2b.过点 P 作两条互相 垂直的直线 l1、l2与椭圆 C 分别交于另两点 M、N. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若直线 l1的斜率为1，求PMN 的面积； (3) 若线段 MN 的中点在 x 轴上，求直线 MN 的方程 解：(1) 由条件得1 a2 1 b21，且
13、 c 22b2，所以 a23b2，解得 b24 3，a 24. 所以椭圆方程为x 2 4 3y2 4 1.(3 分) (2) 设 l1方程为 y1k(x1)， 联立 ykxk1， x23y24， 消去 y 得(13k2)x26k(k1)x3(k1)240. 因为 P 为(1，1)， 解得 M 3k26k1 13k2 ，3k 22k1 13k2 .(5 分) 当 k0 时，用1 k代替 k，得 N k26k3 k23 ，k 22k3 k23 .(7 分) 将 k1 代入，得 M(2，0)，N(1，1) 因为 P(1，1)，所以 PM 2，PN2 2， 所以PMN 的面积为1 2 2 2 22.(
14、9 分) (3) (解法 1)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x2 13y 2 14， x223y224， 两式相减得(x1x2)(x1x2)3(y1y2)(y1y2)0， 因为线段 MN 的中点在 x 轴上， 所以 y1y20，从而可得(x1x2)(x1x2)0.(12 分) 若 x1x20，则 N(x1，y1) 因为 PMPN，所以PM PN 0，得 x2 1y 2 12. 因为 x213y214， 所以解得 x1 1，所以 M(1，1)，N(1，1)或 M(1，1)，N(1, 1) 所以直线 MN 的方程为 yx.(14 分) 若 x1x20，则 N(x1，y1)， 因为 P
15、MPN，所以PM PN 0，得 y2 1(x11) 21. 因为 x213y214，所以解得 x11 2或1， 经检验 x1 2满足条件，x1 不满足条件 综上，直线 MN 的方程为 xy0 或 x1 2.(16 分) (解法 2)由(2)知，当 k0 时，因为线段 MN 的中点在 x 轴上， 所以3k 22k1 13k2 k 22k3 k23 ， 化简得 4k(k24k1)0，解得 k2 5.(12 分) 若 k2 5，则 M 1 2， 5 2 ，N(1 2， 5 2 )，此时直线 MN 的方程为 x1 2. 若 k2 5，则 M 1 2， 5 2 ，N(1 2， 5 2 )，此时直线 MN
16、 的方程为 x1 2.(14 分) 当 k0 时，M(1，1)，N(1，1)，满足题意，此时直线 MN 的方程为 xy0. 综上，直线 MN 的方程为 x1 2或 xy0.(16 分) 19. (本小题满分 16 分) 若存在实数 x0与正数 a，使 x0a，x0a 均在函数 f(x)的定义域内，且 f(x0a)f(x0a)成立，则称“函 数 f(x)在 xx0处存在长度为 a 的对称点” (1) 设 f(x)x33x22x1， 问是否存在正数 a， 使“函数 f(x)在 x1 处存在长度为 a 的对称点”？试说 明理由； (2) 设 g(x)xb x(x0)，若对于任意 x0(3，4)，总存
17、在正数 a，使得“函数 g(x)在 xx0 处存在长度为 a 的对称点”，求 b 的取值范围 解：(1) 由 f(1a)f(1a)， 得(1a)33(1a)22(1a)1(1a)33(1a)22(1a)1.(2 分) 即 a(a1)(a1)0.(6 分) a0， a1.(8 分) (2) 令 g(x)c，得 xb xc，即 x 2cxb0.(*)(10 分) 由题意，方程(*)必须有两正根，且两根的算术平均值为 x0. c0，b0，c24b0，c 2x0.(14 分) 则 0bx20对一切 x0(3，4)均成立 b 的取值范围是(0，9(16 分) 20. (本小题满分 16 分) 已知常数
18、0，设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，满足 a11，Sn1an 1 an Sn(3n1)an1(n N*) (1) 若 0，求数列an的通项公式； (2) 若 an11 2an对一切 nN *恒成立，求实数 的取值范围. 解：(1) 0 时，Sn1an 1 an Snan1. Snan 1 an Sn.(2 分) an0， Sn0. an1an. a11， an1.(4 分) (2) Sn1an 1 an Sn(3n1)an1，an0， Sn1 an1 Sn an3 n1.(5 分) 则S2 a2 S1 a131， S3 a3 S2 a23 21，Sn an Sn1 an13 n
19、11(n2) 相加，得Sn an1(33 23n1)n1. 则 Sn 3 n3 2 n an(n2)上式对 n1 也成立， Sn 3 n3 2 n an(nN*) (7 分) Sn1 3 n13 2 n1 an1(nN*) ，得 an1 3 n13 2 n1 an1 3 n3 2 n an. 即 3 n13 2 n an1(3 n3 2 n) an.(9 分) 0， 3 n3 2 n0，3 n13 2 n0. an11 2an对一切 nN *恒成立， 3 n3 2 n1 2 3 n13 2 n 对一切 nN*恒成立即 2n 3n3对一切 nN *恒成立(12 分) 记 bn 2n 3n3，则
20、bnbn1 2n 3n3 2n2 3n 13 （4n2）3n6 （3n3）（3n 13）. 当 n1 时，bnbn10；当 n2 时，bnbn10； b1b21 3是一切 bn中的最大项(15 分) 综上所述， 的取值范围是 1 3.(16 分) 数学数学(附加题附加题) 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三三小题小题，请选定其中两小题请选定其中两小题 ，并在相应的答题区域内作答并在相应的答题区域内作答 ，若多做若多做， 则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 A选修：矩阵与变换（本小题
21、满分 10 分） 已知矩阵 M 1 2 2 1 ， 1 7 ，计算 M6. 解：矩阵 M 的特征多项式为 f() 12 21 223. 令 f()0，解得 13，21，对应的一个特征向量分别为 1 1 1 ，2 1 1 .(5 分) 令 m1n2，得 m4，n3. M6M6(4132) 4(M61)3(M62) 4 36 1 1 3(1)6 1 1 2 913 2 919 .(10 分) B选修 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，圆的参数方程为 x22cos， y2sin ( 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系求： (
22、1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程 解：(1) 圆的普通方程为(x2)2y24.(5 分) (2) 把 xcos， ysin 代入上述方程，得圆的极坐标方程为 4cos.(10 分) D. 解：f(x)的最小值为 3|a22a|，(5 分) 由题设，得|a22a|3，解得 a(1，3)(10 分) C选修：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知：a2，xR.求证：|x1a|xa|3. 证明：因为|m|n|mn|， 所以|x1a|xa|x1a(xa)|2a1|.(8 分) 又 a2，故|2a1|3. 所以|x1a|xa|3.(10 分) 【必做题】第【必做题】第22题题、第第23题，
23、每题题，每题10分，共计分，共计20分请在分请在答答 题卡指定区域题卡指定区域 内作答，解答时应写内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤 22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为2 3，且各次投篮的结果互 不影响甲同学决定投 5 次，乙同学决定投中 1 次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过 5 次 (1) 求甲同学至少有 4 次投中的概率； (2) 求乙同学投篮次数 的分布列和数学期望 解：(1) 设甲同学在 5 次投篮中，恰有 x 次投中，“至少有 4 次投中”的概率为 P，则 PP(x4)P(x5)(2 分)
24、 C45 2 3 4 12 3 1 C55(2 3) 5(12 3) 0112 243.(4 分) (2) 由题意 1，2，3，4，5. P(1)2 3，P(2) 1 3 2 3 2 9， P(3)1 3 1 3 2 3 2 27， P(4) 1 3 3 2 3 2 81， P(5) 1 3 4 1 81. 的分布列为 1 2 3 4 5 P 2 3 2 9 2 27 2 81 1 81 (8 分) 的数学期望 E1 2 32 2 93 2 274 2 815 1 81 121 81 .(10 分) 23.设 SnC0nC1n1C2n2(1)mCm nm，m、nN *且 mn，其中当 n 为偶
25、数时，mn 2；当 n 为 奇数时，mn1 2 . (1) 证明：当 nN*，n2 时，Sn1SnSn1； (2) 记 S 1 2 014C 0 2 014 1 2 013C 1 2 013 1 2 012C 2 2 012 1 2 011C 3 2 011 1 1 007C 1 007 1 007，求 S 的值 (1) 证明：当 n 为奇数时，n1 为偶数，n1 为偶数， Sn1C0n1C1n(1) n1 2 C n1 2 n1 2 ， SnC0nC1n1(1) n1 2 C n1 2 n1 2 ， Sn1C0n1C1n2(1) n1 2 C n1 2 n1 2 ， Sn1Sn(C0n1C0
26、n)(C1nC1n1)(1) n1 2 (Cn1 2 1n1 2 1C n1 2 n1 2 )(1) n1 2 C n1 2 n1 2 (2 分) C0n1C1n2(1) n1 2 C n1 2 n1 2 Sn1. 当 n 为奇数时，Sn1SnSn1成立(5 分) 同理可证，当 n 为偶数时，Sn1SnSn1也成立(6 分) (2) 解：由 S 1 2 014C 0 2 014 1 2 013C 1 2 013 1 2 012C 2 2 012 1 2 011C 3 2 011 1 1 007C 1 007 1 007，得 2 014SC02 0142 014 2 013C 1 2 0132
27、014 2 012C 2 2 0122 014 2 011C 3 2 0112 014 1 007C 1 007 1 007 C02 014 C12 013 1 2 013C 1 2 013(C22 012 2 2 012C 2 2 012)(C 3 2 011 3 2 011C 3 2 011) C1 007 1 0071 007 1 007C 1 007 1 007 (C02 014C12 013C22 012C1 007 1 007)(C 0 2 012C 1 2 011C 2 2 010C 1 006 1 006) S2 014S2 012.(9 分) 又由 Sn1SnSn1，得 Sn6Sn， 所以 S2 014S2 012S4S21，S 1 2 014.(10 分)
