1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 = 2020+3 1+ ，则 z 的虚部是（ ） Ai B2i C1 D1 2 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x10，则R（AB）（ ） A （，1）3，+） B （，13，+） C （，1）（3，+） D （1，3） 3 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右焦点分别为 F1，F2，M 为双曲线上 一点，若12= 1 4，|
2、MF1|2|MF2|，则此双曲线渐近线方程为（ ） A = 3 B = 3 3 Cyx Dy2x 4 （5 分）若扇形 AOB 的半径为 2，面积为 ，则它的圆心角为（ ） A 4 B 3 C 2 D2 3 5 （5 分）运行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 2 时，输出的 S 的值为20，则判 断框中可以填（ ） Ak3？ Bk4？ Ck5？ Dk6？ 6 （5 分）已知 tan（+ 4）2，则 sin2（ ） A 3 10 B3 5 C 6 5 D 12 5 7 （5 分）正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 AD1与 B1D 所成角的余 弦值为（ ） 第
3、 2 页（共 16 页） A 1 10 B 1 10 C 30 10 D 30 10 8 （5 分）已知非零实数 m，n 满足 m2|m|n2|n|，则下列结论错误的是（ ） Aln|m|ln|n| B 1 | 1 | C|m|+sin|m|n|+sin|n| Dm2n2 9 （5 分）已知在ABC 中，AB4，AC6，其外接圆的圆心为 O，则 =（ ） A20 B29 2 C10 D9 2 10 （5 分）若函数() = 1 + 在区间（1，e）上存在零点，则常数 a 的取值范围为 （ ） A0a1 B1 1 C1 11 D1 + 11 11 （5 分）已知 x0是函数 f（x）2sinxl
4、nx（x（0，） ）的零点，0x1x2，则 x0（1，e） ； x0（e，） ； f（x1）f（x2）0； f（x1）f（x2）0 其中正确的命题是（ ） A B C D 12（5分） 已知四面体ABCD 的外接球的球心为O， 点O在四面体ABCD内部， = 3 2 ， AB ACAD过点 A 作平面 截球 O 得到圆面 O，若圆 O的面积的最大值为 16，且 BCD 为等边三角形，则四面体 ABCD 的表面积为（ ） A18(13+ 3) B18(39 + 3) C9(39 + 3) D9(13 + 3) 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分
5、）分） 13 （5 分）已知向量 ， 是两个不共线的向量，且向量 3 与 + (2 ) 共线，则 实数 m 的值为 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 + 2 0 ，则 zx+3y 的最大值是 15 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为9，9，其图象关于原点对称，且当 x（0，9时 f（x）3x+2x13，则不等式 f（x）0 的解集为 （用区间表示） 第 3 页（共 16 页） 16 （5 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 3 2 ，焦距为23，则椭圆的方程 为 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 172020 年春季受新冠肺炎疫情的影响，利
6、用网络软件办公与学习成为了一种新的生活方 式，网上办公软件的开发与使用成为了一个热门话题为了解“钉钉”软件的使用情况， “钉钉”公司借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了 200 人进行抽样 分析，得到表（单位：人） ： 经常使用 偶尔或不用 合计 35 岁及以下 70 30 100 35 岁以上 60 40 100 合计 130 70 200 （1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为“钉钉”软件的使用 情况与年龄有关？ （2）现从所抽取的 35 岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取 5 人从这 5 人中， 再随机选出 2 人赠送一件礼品，求选出的 2
7、 人中至少有 1 人经常使用“钉钉”软件的概 率 参考公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 18如图，四边形 ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，点 E、点 F 分别是线段 AD、PB 的 中点，PAAB2 （1）证明：EF平面 PCD； （2）求三棱锥 FPCD 的体积 第 4 页（共 16 页） 19已知数列an满足 2a1+7a2+12a3+（5n3）an4n （1）求数列an的通项公式； （2）求数列*3
8、 +的前 n 项和 Sn 20已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，经过点 F 的直线与抛物线 C 交于不同的 两点 A，B，|AB|的最小值为 4 （1）求抛物线 C 的方程； （2）已知 P，Q 是抛物线 C 上不同的两点，若直线 l：y2k（x1）恰好垂直平分线 段 PQ，求实数 k 的取值范围 21已知函数() = + 2 + （k，aR 且 a0） （1）求 f（x）在2，+）上的最小值； （2）若 a1，函数 f（x）恰有两个不同的零点 x1，x2，求证：x1+x24 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正
9、半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）已知 x，y，z 均为正数，且8 = 1 64，求证： （8x+2） （8y+2） （8z+2）27； （2）已知实数 m，n 满足 m1， 1 2，求证：2m 2n+4mn2+14m2n2+m+2n 第 5 页（共 16 页） 202
10、0 年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（年湖北省高考数学（文科）模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 = 2020+3 1+ ，则 z 的虚部是（ ） Ai B2i C1 D1 【解答】解： = 2020+3 1+ = 1+3 1+ = (1+3)(1) (1+)(1) = 2 + ， z 的虚部是 1 故选：D 2 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x10，则R（AB）（ ） A （，1）3，+） B （，13，+） C （，1）（3，+） D （
11、1，3） 【解答】解：A（1，3） ，B1，+） ， AB1，3） ， R（AB）（，1）3，+） ， 故选：A 3 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右焦点分别为 F1，F2，M 为双曲线上 一点，若12= 1 4，|MF1|2|MF2|，则此双曲线渐近线方程为（ ） A = 3 B = 3 3 Cyx Dy2x 【解答】解：由题意，|MF1|MF2|2a，又|MF1|2|MF2|， |MF1|4a，|MF2|2a， cosF1MF2= 162+4242 242 = 1 4， 化简得：c24a2，即 a2+b24a2， b23a2，得 = 3 此双曲线渐近线方程为 y
12、= 3 故选：A 4 （5 分）若扇形 AOB 的半径为 2，面积为 ，则它的圆心角为（ ） 第 6 页（共 16 页） A 4 B 3 C 2 D2 3 【解答】解：设扇形的圆心角为 ， 由题意可得：= 1 2 22 ，解得 = 2 故选：C 5 （5 分）运行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 2 时，输出的 S 的值为20，则判 断框中可以填（ ） Ak3？ Bk4？ Ck5？ Dk6？ 【解答】解：运行该程序，第一次循环，S2，a2，k2；第二次循环 S6，a 2，k3；第三次循环，S12，a2，k4；第四次循环，S20，a2，k5， 此时输出 S 的值，观察可知，仅选项 C 符
13、合题意， 故选：C 6 （5 分）已知 tan（+ 4）2，则 sin2（ ） A 3 10 B3 5 C 6 5 D 12 5 【解答】解：tan（+ 4）= +1 1 = 2，tan3， 则 sin2= 2 2+2 = 2 2+1 = 3 5， 故选：B 7 （5 分）正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 AD1与 B1D 所成角的余 弦值为（ ） A 1 10 B 1 10 C 30 10 D 30 10 第 7 页（共 16 页） 【解答】解由题意知：分别取中点如图所示， = = ，所以 = ，所以 DO 与 OF 所成的角即为所成的角，设 AB2a，则 AA
14、14a，ODB1 2 1 =6，OF AE= 1 2 1= 5a，DF= 2+ 2= 5a， 在三角形 ODF 中，余弦定理可得，cosFOD= 2+22 2 = (5+65)2 2562 = 30 10 ， 故选：D 8 （5 分）已知非零实数 m，n 满足 m2|m|n2|n|，则下列结论错误的是（ ） Aln|m|ln|n| B 1 | 1 | C|m|+sin|m|n|+sin|n| Dm2n2 【解答】解：因为非零实数 m，n 满足 m2|m|n2|n|，所以|m|3|n|30，所以|m|n| 0， 所以 ln|m|ln|n|， 1 | 1 |，m 2n2，所以选项 A、B、D 均正
15、确； 对于选项 C，当 = 2， = 4时，| 2 | + | 2 | 4 | + | 4 |，所以选项 C 错误 故选：C 9 （5 分）已知在ABC 中，AB4，AC6，其外接圆的圆心为 O，则 =（ ） A20 B29 2 C10 D9 2 【解答】解：如右图，过 O 作 ODAB 于 D，OEAC 于 E， 可得 D，E 为 AB，AC 的中点， 则 = （ ）= （ + ） （ + ） 第 8 页（共 16 页） = + = 1 2 2+01 2 20 = 1 2 （3616） 10 故选：C 10 （5 分）若函数() = 1 + 在区间（1，e）上存在零点，则常数 a 的取值范围
16、为 （ ） A0a1 B1 1 C1 11 D1 + 11 【解答】解：函数() = 1 + 在区间（1，e）上为增函数， f（1）ln11+a0，f（e）lne 1 +a0， 可得1 1a1 故选：C 11 （5 分）已知 x0是函数 f（x）2sinxlnx（x（0，） ）的零点，0x1x2，则 x0（1，e） ； x0（e，） ； f（x1）f（x2）0； f（x1）f（x2）0 其中正确的命题是（ ） A B C D 【解答】解：f（1）2sin1ln12sin10，f（e）2sine0， f（x）为连续函数且 f（1） f（e）0，根据函数的零点判定定理，在（1，e）内存在 零点，
17、第 9 页（共 16 页） 又f（x）2cosx ，当 x（0， 2时，2cosx2， 2， f（x）0； 当 x（ 2，）时，cosx0，f（x）0， 函数在（0，）上是减函数， 故正确 故选：A 12（5分） 已知四面体ABCD 的外接球的球心为O， 点O在四面体ABCD内部， = 3 2 ， AB ACAD过点 A 作平面 截球 O 得到圆面 O，若圆 O的面积的最大值为 16，且 BCD 为等边三角形，则四面体 ABCD 的表面积为（ ） A18(13+ 3) B18(39 + 3) C9(39 + 3) D9(13 + 3) 【解答】解：设球 O 的半径为 R，因为圆 O的面积的最大
18、值为 16，所以 R216，解 得 R4 因为 ABACAD，BCD 为等边三角形，所以四面体 ABCD 为正三棱锥， 因为 = 3 2 ，OAR4，所以 BC6，设BCD 的中心为 E，则 = 23， 易知 AE平面 BCD，所以 = 2 2=42 (23)2= 2， 由点 O 在四面体 ABCD 内部，可得 AEOA+OE6，所以 = 2+ 2= 62+ (23)2= 43 在ABC 中， = = 43，BC6，所以 BC 边上的高=2 ( 2 )2= (43)2 32= 39， 所以四面体 ABCD 的表面积为3 1 2 6 39 + 1 2 6 660 = 9(39 + 3)， 故选：
19、C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 ， 是两个不共线的向量，且向量 3 与 + (2 ) 共线，则 实数 m 的值为 1 或 3 【解答】解：因为向量 3 与 + (2 ) 共线， 所以 = 3 2， 第 10 页（共 16 页） 解得 m1 或 m3 故答案为：1 或 3 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 + 2 0 ，则 zx+3y 的最大值是 4 【解答】解：由 x，y 满足约束条件 0 + 2 0 ，作出可行域如图， 联立 = 0 + = 2，解得 A（1，1） ， 化目标函数 zx+3
20、y 为 y= 3 + 3， 由图可知，当直线 yy= 3 + 3过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 1+3 14 故答案为：4 15 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为9，9，其图象关于原点对称，且当 x（0，9时 f（x）3x+2x13，则不等式 f（x）0 的解集为 （2，0）（2，9 （用区间表 示） 【解答】解：易知当 x（0，9时，函数 f（x）单调递增，且 f（2）0， 故当 x（0，2）时，f（x）0，当 x（2，9时，f（x）0， 所以当 x（0，9时，不等式 f（x）0 的解集为（2，9 因为函数 f（x）的图象关于原点对称， 所以 f（0）0，且当
21、x9，0）时，不等式 f（x）0 的解集为（2，0） 故不等式 f（x）0 的解集为（2，0）（2，9 故答案为： （2，0）（2，9 16 （5 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 3 2 ，焦距为23，则椭圆的方程 第 11 页（共 16 页） 为 2 4 + 2= 1 【解答】解：由题意可知 = 3 2 2 = 23 2= 2+ 2 ，解得 = 2 = 1 = 3 ， 椭圆方程为： 2 4 + 2= 1， 故答案为： 2 4 + 2= 1 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 172020 年春季受新冠肺炎疫情的影响，利用网络软件办公与学习成为了一种新的
22、生活方 式，网上办公软件的开发与使用成为了一个热门话题为了解“钉钉”软件的使用情况， “钉钉”公司借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了 200 人进行抽样 分析，得到表（单位：人） ： 经常使用 偶尔或不用 合计 35 岁及以下 70 30 100 35 岁以上 60 40 100 合计 130 70 200 （1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为“钉钉”软件的使用 情况与年龄有关？ （2）现从所抽取的 35 岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取 5 人从这 5 人中， 再随机选出 2 人赠送一件礼品，求选出的 2 人中至少有 1 人经常使用“钉钉
23、”软件的概 率 参考公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【解答】解： （1）由 22 列联表可知： 2= ()2 (+)(+)(+)(+) = 200(70403060)2 13070100100 2.1982.072， 所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关； 第 12 页（共 16 页） （2）抽取的 5 人中“经常使用”钉钉软件的人数为： 60 100 5 =3 人
24、，编号为 A，B，C， “偶尔或不用”钉钉软件的人数为： 40 100 5 =2 人，编号为， 从这 5 人中，随机选出 2 人所有可能的结果为：AB，AC，A，A，BC，B，B， C，C，共 10 种， 2 人中至少有 1 人经常使用“钉钉”软件的有 9 种， 所以 2 人中至少有 1 人经常使用“钉钉”软件的概率为： 9 10 18如图，四边形 ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，点 E、点 F 分别是线段 AD、PB 的 中点，PAAB2 （1）证明：EF平面 PCD； （2）求三棱锥 FPCD 的体积 【解答】 （1）证明：取 PC 的中点 G，连接 DG，FG四边形 ABCD 为
25、正方形，且 DE= 1 2BC，FGBC，且 FG= 1 2BC DEBC，且 DEBC 四边形 DEFG 为平行四边形，EFDG，EF平面 PCD，DG平面 PCD，EF 平面 PCD （2）解：EF平面 PCD，F 到平面 PCD 的距离等于点 E 到平面 PCD 的距离， VFPCDVEPCD= 1 2VAPCD= 1 2VPACD PA平面 ABCD，VPACD= 1 3 PASACD= 1 3 1 2 222= 4 3 VFPCD= 2 3 第 13 页（共 16 页） 19已知数列an满足 2a1+7a2+12a3+（5n3）an4n （1）求数列an的通项公式； （2）求数列*3
26、 +的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）2a1+7a2+12a3+（5n3）an4n n1 时，2a14，解得 a12， n2 时，2a1+7a2+12a3+（5n8）an14（n1） （5n3）an4 an= 4 53 （2）3 = (53)3 4 ， 数列*3 +的前 n 项和 Sn= 1 423+73 2+1233+（5n3） 3n， 3Sn= 1 423 2+733+1234+（5n8） 3n+（5n3） 3n+1， 2Sn= 1 46+5 （3 2+33+3n） （5n3） 3n+1=1 46+5 9(311) 31 （5n3） 3n+1 Sn= (1011)3+1+33 16
27、 20已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，经过点 F 的直线与抛物线 C 交于不同的 两点 A，B，|AB|的最小值为 4 （1）求抛物线 C 的方程； （2）已知 P，Q 是抛物线 C 上不同的两点，若直线 l：y2k（x1）恰好垂直平分线 段 PQ，求实数 k 的取值范围 【解答】解： （1）设过焦点的直线 = + 2 与抛物线分别交于点 A（x1，y1） ，B（x2， y2） ， 第 14 页（共 16 页） 与抛物线方程联立得 y22ptyp20，则 y1+y22pt， | = 1+ 2+ = (1+ 2) + 2 = 22+ 2 2，等号成立时 t0， 2p4，即 p2，
28、 故抛物线 y24x； （2）由题知 k0，故可设直线 PQ 方程为 xky+m， 与抛物线 C 的方程联立得 y2+4ky4m0， 则16k2+16m0 即 k2+m0 ， 又 yP+yQ4k， 设 PQ 中点为 M（x0，y0） ，则 y02k，0= 0+ = 22+ ， 又点 M 在直线 l 上，故2k2k（2k2+m1） ， 则2+ = 1 2 2， 代入式得 k 2 + 2 + 10，即(+1)( 2+2) 0， 解得1k0 21已知函数() = + 2 + （k，aR 且 a0） （1）求 f（x）在2，+）上的最小值； （2）若 a1，函数 f（x）恰有两个不同的零点 x1，x2
29、，求证：x1+x24 【解答】解： （1）定义域（0，+） ，() = 2 2 = 2 2 ， 由 f（x）0 时，x (2 ， + )；由 f（x）0 时，x (0， 2 )， 若2 2 即 a1 时，f（x）在2，+）上单调递增，故 f（x）在2，+）的最小值为 f （2）k+1+aln2； 当 0a1 时，f（x）在2，2 ）上单调递减，在（ 2 ，+ ）单递增， 故 f（x）在2，+）的最小值为 f（2 ）k+a+aln 2 ， 综上，当 a1 时，f（x）在2，+）上的最小值为 f（2）k+1+aln2； 当 0a1 时，f（x）在在2，+）的最小值为 f（2 ）k+a+aln 2
30、， （2）当 a1 时，不妨设 0x1x2， 则 k+ 2 1 + 1= 0，k+ 2 2 + 2=0， 第 15 页（共 16 页） 2 1 + 1= 2 2 + 2，故2(21) 12 = 2 1， 令 t= 2 1，t1，则 lnt= 2(1) 1 ， x1= 2(1) ， 所以 x1+x2x1（t+1）= 2(21) ，故 x1+x24= 2(21) 4= 2 ( 1 2)， 令 g（t）t2lnt 1 ， 而() = 1 + 1 2 2 = (1)2 2 0，所以 g（t）在（1，+）上单调递增 又 t1，所以 g（t）g（1）0，而 lnt0， 故 x1+x24 四解答题（共四解答
31、题（共 1 小题）小题） 22在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 【解答】 解：（） 椭圆C以极坐标系中的点 （0， 0） 为中心、 点 （1， 0） 为焦点、（2， 0） 为一个顶 点 所以 c1，a= 2，b1， 所以椭圆的方程为 2 2 + 2= 1，转换为极坐标方
32、程为2= 2 1+2 （） 直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2x+y20 设交点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 所以 2 + 2 = 0 2 2 + 2= 1 ，整理得 9x216x+60， 所以1+ 2= 16 9 ，12= 6 9， 所以| = 1 + (2)2|x1x2|= 5(1+ 2)2 412= 10 9 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）已知 x，y，z 均为正数，且8 = 1 64，求证： （8x+2） （8y+2） （8z+2）27； 第 16 页（共 16 页） （2）已知实数 m，n
33、满足 m1， 1 2，求证：2m 2n+4mn2+14m2n2+m+2n 【解答】 证明：（1） 由题可得8 + 2 = 8 + 1 + 1 38 1 1 3 = 6 3 ， 当且仅当 = 1 8 时取等号； 同理可得8 + 2 6 3 ，8 + 2 6 3 ， 故(8 + 2)(8 + 2)(8 + 2) 216 3 ，当且仅当 = = = 1 8时取等号， 因为8 = 1 64， 所以（8x+2） （8y+2） （8z+2）27，当且仅当 = = = 1 8时取等号 （2）要证 2m2n+4mn2+14m2n2+m+2n，即证 4m2n24mn2+2n2m2n+m10， 即证 4mn2（m1）（2mn+2n） （m1）+m10，即证（m1） （4mn22mn2n+1） 0， 即证（m1）2mn（2n1）（2n1）0，即证（m1） （2n1） （2mn1）0， 因为 m1， 1 2，所以 m10，2n10，2mn10， 所以（m1） （2n1） （2mn1）0，所以 2m2n+4mn2+14m2n2+m+2n
