1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年天津市高考数学模拟试卷（年天津市高考数学模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 9 小题，满分小题，满分 27 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知集合 = *| = (2 3 4)+， = *| 2 1 0+全集 UR，则（RA） B（ ） A1，2 B1，2）（3，4 C1，3） D1，1）2，4 2 （3 分）已知 为任意角，则“cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 3 （3 分）某校理科实验班的 100 名学生在某次期中考试的语文成绩都不低于
2、 100 分，现将 语文成绩分成100，110） ，110，120） ，120，130） ，130，140） ，140，150五组，其 成绩的频率分布直方图如图所示，估计这 100 名学生语文成绩的平均数（同一组数据用 该区间的中点值作代表） （ ） A117 B120 C123 D125 4 （3 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B 第 2 页（共 17 页） C D 5 （3 分）圆 x2+y24 被直线 = 3 + 2截得的劣弧所对的圆心角的大小为（ ） A30 B60 C90 D120 6 （3 分）已知函数 f（x）对任意不相等的实数 x1，x2都满足（x1
3、x2） （f（x1）f（x2） ） 0，若 af（21.2） ，bf（(1 2) ;0.8）cf（ln2） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acab Bcba Cbac Dbca 7 （3 分）设函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的部分图象如图所示，则函数 yf （x）+3f（x+ 4）的单调增区间为（ ） Ak 4，k+ 4（kZ） Bk 6，k+ 3（kZ） Ck 3，k+ 6（kZ） Dk，k+ 2（kZ） 8 （3 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一条渐近线与直线 x0 的夹角为 60，若以双曲线 C 的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为 8，则
4、双曲线 C 的标准方程 为（ ） A 2 3 y21 B 2 9 2 3 =1 C 2 3 2 9 =1 Dx2 2 3 =1 9 （3 分）已知三次函数() = 3 3 + 2 32 + (0）有两个零点，若方程 ff（x） 0 有四个实数根，则实数 a 的范围为（ ） A(0， 6 8 ) B(0， 32 8 ) C( 6 8 ，+ ) D( 6 8 ， 32 8 ) 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 第 3 页（共 17 页） 10 （3 分）若复数 z= 3 1+（i 为虚数单位） ，则|z| 11（3 分） 已知 （12x）
5、 5a0+a1x+a2x2+a5x5， 则 a0a1+a2a3+a4a5 的值为 12 （3 分）已知三棱锥 SABC 外接球 O 的体积为 288，在ABC 中，AB6，AC8， cosCBA= 3 5，则三棱锥 SABC 体积的最大值为 13 （3 分）有 2 名老师和 3 名同学，将他们随机地排成一行，用 表示两名老师之间的学 生人数，则 1 对应的排法有 种；E（） ； 14 （3 分）若 x+ 3 +3y+ 4 =12， （x0，y0） ，则 x+ 4 的最小值为 15（3 分） 已知点 A （x1， y1） ， B （x2， y2） 为单位圆上两点， 且满足 = 1 2， 则|x1
6、+y1|+|x2+y2| 的取值范围为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且满足 = 3; （1）求 sin2A； （2）若 a1，ABC 的面积为2，求 b+c 的值 17 （15 分）如图所示，正方体的棱长为 1，BCBCO，求： （1）AO 与 AC所成角的度数； （2）AO 与平面 ABCD 所成角的正切值； （3）平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数 18 （15 分）在数列an中，已知 a11，:1= + 2 1 （1）求数列an的通项公式 an； （2）记 bna
7、n+（1）n，且数列bn的前 n 项和为 Sn，若 S2为数列Sn中的最小项， 求 的取值范围 第 4 页（共 17 页） 19 （15 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（1，0） ，F2 （1，0）且椭圆上存在一点 P，满足PF1= 7 2，cosF1F2P= 2 3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知 A，B 分别是椭圆 C 的左、右顶点，过 F1的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，记 直线 AM，BN 的交点为 T，是否存在一条定直线 l，使点 T 恒在直线 l 上？ 20 （16 分）已知函数 f（x）lnx，g（x）= 1 + （
8、其中 a 是常数） ， （）求过点 P（0，1）与曲线 f（x）相切的直线方程； （）是否存在 k1 的实数，使得只有唯一的正数 a，当 x 1 时不等式 f（x）g（x 1 ） kx 恒成立，若这样的实数 k 存在，试求 k，a 的值；若不存在，请说明理由 第 5 页（共 17 页） 2020 年天津市高考数学模拟试卷（年天津市高考数学模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 9 小题，满分小题，满分 27 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知集合 = *| = (2 3 4)+， = *| 2 1 0+全集 UR，则（RA） B（ ）
9、 A1，2 B1，2）（3，4 C1，3） D1，1）2，4 【解答】解：Ax|x4，或 x1， RAx|1x4， Bx|x2，或 x1， （RA）B1，1）2，4 故选：D 2 （3 分）已知 为任意角，则“cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【解答】 解： 若 cos2= 1 3， 则 cos212sin 2， sin= 3 3 ， 则 cos2= 1 3” 是 “sin= 3 3 ” 的 不充分条件； 若 sin= 3 3 ，则 cos212sin2，cos2= 1 3，则 cos2= 1 3”是“si
10、n= 3 3 ”的必要条 件； 综上所述： “cos2= 1 3”是“sin= 3 3 ”的必要不充分条件 故选：B 3 （3 分）某校理科实验班的 100 名学生在某次期中考试的语文成绩都不低于 100 分，现将 语文成绩分成100，110） ，110，120） ，120，130） ，130，140） ，140，150五组，其 成绩的频率分布直方图如图所示，估计这 100 名学生语文成绩的平均数（同一组数据用 该区间的中点值作代表） （ ） 第 6 页（共 17 页） A117 B120 C123 D125 【解答】解：由图可得100，110） ，110，120） ，120，130） ，13
11、0，140） ，140，150 五组的频率分别为：0.005100.05，0.04100.4，0.03100.3，0.02100.2， 0.005100.05； 所以可得这 100 名学生语文成绩的平均数为：1050.05+1150.4+1250.3+135 0.2+1450.05123； 故选：C 4 （3 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B C D 【解答】解：因为对于任意的 xR，f（x）x2+e|x|0 恒成立，所以排除 A，B， 由于 f（0）02+e|0|1，则排除 D， 故选：C 5 （3 分）圆 x2+y24 被直线 = 3 + 2截得的劣弧所对的圆心
12、角的大小为（ ） A30 B60 C90 D120 【解答】解：根据题意，设直线 = 3 + 2与圆 x2+y24 的的交点为 A、B，AB 的中点 第 7 页（共 17 页） 为点 M， 圆 x2+y24 的圆心为（0，0） ，半径 r2， 圆心到直线 y= 3x+2 的距离 d= |2| 3+1 =1， 又由AOM60，则AOB120； 故圆 x2+y24 被直线 = 3 + 2截得的劣弧所对的圆心角的大小为 120； 故选：D 6 （3 分）已知函数 f（x）对任意不相等的实数 x1，x2都满足（x1x2） （f（x1）f（x2） ） 0，若 af（21.2） ，bf（(1 2) ;0.
13、8）cf（ln2） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acab Bcba Cbac Dbca 【解答】解：根据题意，利用（x1x2） f（x1）f（x2）0 分析可得函数为增函数， 1(1 2) ;0.8 =20.821.2，ln21， abc， 故选：B 7 （3 分）设函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的部分图象如图所示，则函数 yf （x）+3f（x+ 4）的单调增区间为（ ） Ak 4，k+ 4（kZ） Bk 6，k+ 3（kZ） Ck 3，k+ 6（kZ） Dk，k+ 2（kZ） 【解答】解：由图象知 A2， 4 = 6 （ 12）= 3 12得 T，即 2 =，得 2
14、， 则 f（x）2sin（2x+） ， f（ 12）2sin2（ 12）+2sin（ 6 +）2， sin（ 6 +）1，得 6 =2k 2得 2k 3，kZ， 得 f（x）2sin（2x+2k 3）2sin（2x 3） ， 第 8 页（共 17 页） 函数 yf（x）+3f（x+ 4）2sin（2x 3）+23sin（2x+ 6）2sin（2x 3）+23sin 2 + （2x 3） 2sin （2x 3） +23cos （2x 3） 4 1 2sin （2x 3） + 3 2 cos （2x 3） 4sin （2x 3 + 3） 4sin2x， 由 2k 2 2x2k+ 2，kZ 得 k
15、4 xk+ 4，kZ， 即函数的单调递增区间为k 4，k+ 4（kZ） ， 故选：A 8 （3 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一条渐近线与直线 x0 的夹角为 60，若以双曲线 C 的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为 8，则双曲线 C 的标准方程 为（ ） A 2 3 y21 B 2 9 2 3 =1 C 2 3 2 9 =1 Dx2 2 3 =1 【解答】解：双曲线的渐近线为 y ， 渐近线与直线 x0 的夹角为 60， tan30= 3 3 ， 双曲线 C 的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为 8， 42+ 2= 8， 由，解得解得 a23，b21 双曲线 C
16、的标准方程为 2 3 y21 故选：A 9 （3 分）已知三次函数() = 3 3 + 2 32 + (0）有两个零点，若方程 ff（x） 0 有四个实数根，则实数 a 的范围为（ ） A(0， 6 8 ) B(0， 32 8 ) C( 6 8 ，+ ) D( 6 8 ， 32 8 ) 【解答】解：三次函数() = 3 3 + 2 32 + (0）有两个零点，且由 f（x） x2+2ax3a20 得 xa 或3a 第 9 页（共 17 页） 故必有() = 0 (3)0 或(3) = 0 ()0 又若方程 ff（x）0 有四个实数根，则 f（x）a 或 f（x）3a 共有四个根 当前一组混合组
17、成立时 = 5 3 3，做出图象（图）可知， 只需 0af（3a）即可，即93+ 93+ 93+ 5 3 3，解得 6 8 ； 当后一组混合组成立时 b9a3，做出图象（图）可知 图 只需 f（a）3a0 即可，即 3 3 + 3 33 93 3， 解得 32 8 取的并集可知，当 6 8 时 方程 ff（x）0 有四个根 故选：C 第 10 页（共 17 页） 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 10 （3 分）若复数 z= 3 1+（i 为虚数单位） ，则|z| 5 【解答】解：复数 z= 3 1+（i 为虚数单位） ， 则|z|=
18、 |3| |1+| = 32+(1)2 12+12 = 5 故答案为：5 11（3 分） 已知 （12x） 5a0+a1x+a2x2+a5x5， 则 a0a1+a2a3+a4a5 的值为 243 【解答】解：因为（12x）5a0+a1x+a2x2+a5x5， 令 x1 可得：a0a1+a2a3+a4a512（1）5243 故答案为：243 12 （3 分）已知三棱锥 SABC 外接球 O 的体积为 288，在ABC 中，AB6，AC8， cosCBA= 3 5，则三棱锥 SABC 体积的最大值为 811 +48 【解答】解：设三棱锥 SABC 外接球 O 的半径为 R，则4 3 3 =288，
19、解得 R6 设 BCx，在ABC 中，由余弦定理可得：82x2+6226x 3 5，化为：5x 236x140 0， 解得 x10 ABAC ABC 的面积= 1 2 6 8 =24 球心到平面 ABC 的距离 d= 62 52= 11 三棱锥 SABC 体积的最大值= 1 3 24 （11 +6）811 +48 故答案为：811 +48 13 （3 分）有 2 名老师和 3 名同学，将他们随机地排成一行，用 表示两名老师之间的学 生人数，则 1 对应的排法有 36 种；E（） 1 ； 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：有 2 名老师和 3 名同学，将他们随机地排成一行，用 表示两名老
20、师之间 的学生人数， 则 的可能取值为 0，1，2，3， 1 对应的排法有：3 12233 =36 1 对应的排法有 36 种； P（0）= 2 2 4 4 5 5 = 48 120， P（1）= 3 1 2 2 3 3 5 5 = 36 120， P（2）= 3 2 2 2 2 2 5 5 = 24 120， P（3）= 3 3 2 2 5 5 = 12 120， E（）= 0 48 120 + 1 36 120 + 2 24 120 + 3 12 120 =1 故答案为：36，1 14 （3 分）若 x+ 3 +3y+ 4 =12， （x0，y0） ，则 x+ 4 的最小值为 3 【解答】
21、解：( + 4 )( 1 + ) = 5 + + 4 5 + 2 4 = 9，当且仅当“ = 4 ” 时取等号， 1 + 9 :4 ， 又3(1 + ) = 12 ( + 4 ) 27 +4 ，令 = + 4 ，则12 27 ，即 t212t+270，解得 3t9， ( + 4 ) = = 3 故答案为：3 15（3 分） 已知点 A （x1， y1） ， B （x2， y2） 为单位圆上两点， 且满足 = 1 2， 则|x1+y1|+|x2+y2| 的取值范围为 , 6 2 ，6- 【解答】解：如图，直线 x+y0 与圆 x2+y21 交于 E，F 两点， 则点 A 到直线 x+y0 的距离
22、1= |1+1| 2 ， 点 B 到直线 x+y0 的距离2= |2+2| 2 ， 第 12 页（共 17 页） = 1 2， = 3， 设点 A 与直线 x+y0 的夹角为 ， 当 A，B 在直线 x+y0 的同侧时，,0， 2 3 -， |1+ 1| + |2+ 2| = 2(1+ 2) = 2, + (2 3 )- = 6( + 6)， ,0， 2 3 -，|1+ 1| + |2+ 2| , 6 2 ，6- 当 A，B 在直线 x+y0 的异侧时，,0， 3-， |1+ 1| + |2+ 2| = 2(1+ 2) = 2, + ( 3 )- = 2( + 3)， ,0， 3-，|1 +
23、1| + |2+ 2| , 6 2 ，2- |x1+y1|+|x2+y2|的取值范围为, 6 2 ，6- 故答案为：, 6 2 ，6- 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 75 分）分） 第 13 页（共 17 页） 16 （14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且满足 = 3; （1）求 sin2A； （2）若 a1，ABC 的面积为2，求 b+c 的值 【解答】解： （1） = 3;， 由正弦定理可得：cosA（3sinBsinC）sinAcosC， 可得：3sinBcosAsinAcosC+cosAsinCsin（A+C）sinB， sin
24、B0， 可得 cosA= 1 3， A（0，） ， sinA= 1 2 = 22 3 ，sin2A2sinAcosA= 42 9 （2）SABC= 1 2bcsinA= 2， bc3， 又cosA= 1 3 = 2+22 2 ， b2+c2（b+c）22bc3，即（b+c）29， b+c3 17 （15 分）如图所示，正方体的棱长为 1，BCBCO，求： （1）AO 与 AC所成角的度数； （2）AO 与平面 ABCD 所成角的正切值； （3）平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数 【解答】解： （1）ACAC，OAC 是 AO 与 AC所成角， 正方体的棱长为 1，BCBCO， 第 14
25、 页（共 17 页） CO= 1 21 + 1 = 2 2 ，AC= 1 + 1 = 2，AO=1 + 1 4 + 1 4 = 6 2 ， cosCAO= 2+22 2 = 6 4+2 2 4 2 6 2 2 = 3 2 ， CAO30， AO 与 AC所成角的度数为 30 （2）过 O 作 OE平面 ABCD，交 BC 于 E，连结 AE， 则OAE 是 AO 与平面 ABCD 所成角， AE=1 + 1 4 = 5 2 ，OE= 1 2， tan = = 1 2 5 2 = 5 5 AO 与平面 ABCD 所成角的正切值为 5 5 （3）OCOB，OCAB， OC平面 AOB， OC平面
26、AOC， 平面 AOB平面 AOC， 平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数为 90 18 （15 分）在数列an中，已知 a11，:1= + 2 1 （1）求数列an的通项公式 an； （2）记 bnan+（1）n，且数列bn的前 n 项和为 Sn，若 S2为数列Sn中的最小项， 求 的取值范围 【解答】解： （1）由 a11，:1= + 2 1， 得2 1= 21 1， 3 2= 22 1， 第 15 页（共 17 页） 4 3= 23 1， ;1= 2;1 1 1= (21+ 22+ 23+ + 2;1) ( 1)， = 1 + 2(121) 12 + 1 =2nn； （2）bnan
27、+（1）n2nn+（1）n2nn， 前 n 项和为 Sn2+4+8+2n（1+2+3+n） = 2(12) 12 (:1) 2 ， 若 S2为数列Sn中的最小项，则对nN*有 2n+12(:1) 2 63 恒成立， 即 2n+216（n2+n6） 对nN*恒成立， 当 n1 时，得 2； 当 n2 时，得 0； 当 n3 时，n2+n6（n+3） （n2）0 恒成立， 2+216 2+6对n3 恒成立 令 f（n）= 2+216 2+6，则 f（n+1）f（n）0 对n3 恒成立， f（n）= 2+216 2+6在 n3 时为单调递增数列 f（3） ，即 8 3， 综上，2 8 3 19 （1
28、5 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（1，0） ，F2 （1，0）且椭圆上存在一点 P，满足PF1= 7 2，cosF1F2P= 2 3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知 A，B 分别是椭圆 C 的左、右顶点，过 F1的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，记 直线 AM，BN 的交点为 T，是否存在一条定直线 l，使点 T 恒在直线 l 上？ 【解答】解： （1）设 F2Px，F1F2P 内， 由余弦定理得22+ 2 2 212 = (7 2) 2， 化简得（2x9） （6x+11）0，解得 = 9 2， 第 16 页（共 17 页） 故
29、2aPF1+PF28，a4，b2a2c215， 所以椭圆 C 的标准方程为 2 16 + 2 15 = 1 （2）由（1）知 A（4，0） ，B（4，0） ，设 T（x，y） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， = +4 = 1 1+4， = 4 = 2 24， 两式相除得;4 :4 = 1 1:4 2;4 2 又 1 2 1 2;16 = 15 16 1 1:4 = 15 16 1;4 1 ， 故;4 :4 = 15 16 (1;4) 1 2;4 2 ， 设 MN 的方程为 xmy1，代入 2 16 + 2 15 = 1整理， 得（15m2+16）y230my2250，0 恒成立 把
30、1+ 2= 30 152+16，12 = 225 152+16， 代入，;4 :4 = 15 16 (1;4) 1 2;4 2 = 15 16 (1;5)(2;5) 12 ， 得;4 :4 = 15 16 212;5(1:2):25 12 = 5 3， 得到 x16，故点 T 在定直线 x16 上 20 （16 分）已知函数 f（x）lnx，g（x）= 1 + （其中 a 是常数） ， （）求过点 P（0，1）与曲线 f（x）相切的直线方程； （）是否存在 k1 的实数，使得只有唯一的正数 a，当 x 1 时不等式 f（x）g（x 1 ） kx 恒成立，若这样的实数 k 存在，试求 k，a 的
31、值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （I）设过 P（0，1）的直线与曲线 f（x）相切于点（x0，lnx0） ， f（x）= 1 ， 在（x0，lnx0）点处的切线方程为 ylnx0= 1 0（xx0） ， 把（0，1）代入可得 lnx00 即 x01， 故切线方程为 yx1； （II） 假设存在 k1 的正实数， 使得只有唯一的正数 a， 当 x 1 时不等式 f （x） g （x 1 ） kx 恒成立， 第 17 页（共 17 页） 即 2 ;1 恒成立， x 1 ， (1) 2 即 lnx (1) 2 0， 令 m（x）lnx (1) 2 =lnx + 2， （x 1 ） ， 则()
32、 = 1 =0 可得 x= ， （1）当 1 即 0ka 2 时， x（1 ，0）时，m（x）0，则 m（x）在（1 ，0）上为增函数， 当 x（x0，+）时，m（x）0，则 m（x）在（x0，+）上为减函数， 则 m（x）maxm（x0）= + 2 1 0， 即 2 + 1， 令 h（a）= 2 + ， （a） ， 则 h（a）= 1 2 3 = 22 3 ， 由 h（a）0 可得，a= 2（a） ， 当 a（，2）时，h（a）0 时，h（a）在（，2）单调递减， 当 a（2，+ ）时，h（a）0 时，h（a）在（2，+ ）单调递增， 故存在唯一的正数 a，使得 h（a）1，只能 h（a）min1， h（a）minh（2）= 1 2 + 2 =1 故 k= 2 ，此时 a 只有唯一的值 2 （2）当 1 即 ka 2，m（x）0，m（x）在（1 ，+ ）为增函数， 1 () =ln1 0，即 a1，故 k1， 显然满足 1 的 a 不唯一， 综上可知，存在实数 k= 2 ，a 只有唯一值 2 ，当 x 1 时，原式恒成立
