1、1 线性代数习题册线性代数习题册答案答案 第一章 行列式 练习练习 一一 班级 学号 姓名 1按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）(3421)= 5 ; （2）(135642)= 6 ; （3）(13(2n-1)(2n)42) = 2+4+6+（2 n-2）= n（n-1）. 2由数字 1 到 9 组成的排列 1274i56j9 为偶排列，则 i= 8 、j= 3 . 3在四阶行列式中，项 12233441 a a a a的符号为 负 . 4 003 042 215 = 24 . 5计算下列行列式： （1） 122 212 221 = 1（8）（8）（4）（4）（4）=
2、5 或 （2） 11 11 11 = 3 11（）（）（） = 3 3+2= 2 (2)(1) 2 练习练习 二二 班级 学号 姓名 1已知 3 阶行列式det() ij a=1，则行列式det() ij a= 1 . 3 ( 1) 11 2 111 234 4916 = 2 . 3已知 D= 1012 1103 1110 1254 ,则 41424344 AAAA= 1 . 用 1，1，1，1 替换第 4 行 4 计算下列行列式： (1) 1 1 1 abc abc abc = 132331 101100 11 ,0110111 1 11 rr rrccabc bc abcabc (2) x
3、yxy yxyx xyxy 3 (3) 2151 1306 0212 1476 (4) 1214 0121 1013 0131 5计算下列 n 阶行列式： (1) n xaa axa D aax （每行都加到第一行，并提公因式。 ） 4 (2) 211 131 111n (3) 123 123 123 n n n abaaa aabaa aaaab 5 练习练习 三三 班级 学号 姓名 1设线性方程组 123 123 123 1 1 1 xxx xxx xxx 有惟一解，则满足的条件是什么？ 1,0,1 2. 求解线性方程组 1234 1234 1234 1234 5 242 2352 321
4、10 xxxx xxxx xxxx xxxx 6 3.已知齐次线性方程组 123 123 123 0 0 0 xxx xxx xxx 有非零解，求的值。 1,0,1 4.求三次多项式 32 3210 ( )f xa xa xa xa，使得： ( 2)3,( 1)4,(1)6,(2)19ffff。 7 自测题自测题 1. n 阶行列式 D=det() ij a，则展开式中项 1223341,1nnn a a aaa 的符号为 1 ( 1)n. 2.已知 3 阶行列式det() ij a= 1 2 ，则行列式det( 2) ij a= 3 1 ( 2)4 2 . 3.方程 2 3 1111 122
5、 0 144 188 x x x 的根为 1,2，-2 . 4. 已知齐次线性方程组 0 30 0 xyz xyz yz 仅有零解，则的值应为0,1. 11 312 (1)0, 01 5.设 212 111 321 111 xx x D x x ，则 D 的展开式中 3 x的系数为 -1 . 8 6. 计算下列行列式： （1） 1322 3409 2262 3383 （2） 1222 2222 2232 222 n D n 9 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 练习练习 一一 班级 学号 姓名 1.设 111123 111 ,124 , 111051 AB 求32ABA及 T A B。
6、2.设 A、B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB=BA。 由题意，得：, TT AA BB. 3. 矩阵 A 和 B 满足什么条件时， 222 ()2ABAABB恒成立？ 恒成立的条件是：AB=BA. 4.设 1 123 ,1, 0 AB 求 AB，BA 及 100 ()BA。 100 123 ()123 000 BABA 10 5.设 10 21 A ，求 23 , k AAA。 11 练习练习 二二 班级 学号 姓名 1.求下列矩阵的逆矩阵： （1） 12 25 （2） 123 012 001 12 2.设方阵A满足 2 20AAE，证明A及2AE都可逆，
7、并求 1 A及 1 (2 )AE 。 3.已知 100 020 001 A ，28A BABAE ，求B。 13 4. 设 n 阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明： （1）若0A ，则0A； （2） 1n AA 。 5. 设 1 ,P AP 其中 1410 , 1102 P 求 11 A。 14 练习练习 三三 班级 学号 姓名 1.设 3400 4300 0020 0022 A ，求 8 A及 4 A。 2.求下列逆矩阵： （1） 1 1200 0300 0020 0034 （2） 1 OA BO ，其中 n 阶矩阵A及 s 阶矩阵B都可逆。 15 自测题自测题 一填空题： 1若 1201 , 3
8、410 AP 那么 20072008 PAP= 34 12 . 2A、B为三阶矩阵，12AB，则2 T-1 2 （A B ）= 8 . 3已知 2 0 35, 0 a f xxxA b （ ）=则( )f A= 2 2 350 035 aa bb . 4若A、B、C均为 n 阶矩阵，且ABBCCAE，则 222 ABC= 3E . 5是三维列向量， 111 111 111 T ，则 T = 3 . 222 3 T abc 二用初等变换法求 152 2113 151 A 的逆矩阵. 1 457 111 101 A 16 三设矩阵 100 110 011 A ，求 n A. 四证明：n 阶矩阵 A
9、 对称的充分必要条件是 T AA对称。 五A、B为三阶可逆矩阵， 1 24A BBE ，若 120 120 102 B ，求 A. 17 第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与线性方程组与线性方程组 练习练习 一一 班级 学号 姓名 1判断题（正确打，错误打） ： 1）某矩阵的行（列）阶梯形矩阵是唯一的 （ ） 2）某矩阵的行（列）最简形矩阵不是唯一的 （ ） 3）某矩阵的标准形矩阵不是唯一的 （ ） 4）矩阵的初等变换都有逆变换，且逆变换与原变换同属一类 （ ） 5）任何一个矩阵总能通过初等变换化为标准形 （ ） 2已知线性方程组 1234 234 124 21 2262 2329 x
10、xxx xxx xxx ，写出其增广矩阵，并将增广矩阵通过初等行变 换化为阶梯形、行最简形。 3已知 210 132 A ，将 A 化成标准形。并写出 P、Q，使 A 的标准形等于 PAQ。 18 4已知 021 213 334 A ，利用矩阵的初等变换，求 1 A。 1 5117 132 364 A 5已知 110 011 101 A ，2AXXA，求X。 19 练习练习 二二 班级 学号 姓名 1.选择题选择题： 1） m n A 的行阶梯形中只有前 r（rm 且 rn）行为非零行，则( )R A为 （ C ） （A）0； （B）m； （C）r； （D）n. 2）非零矩阵 m n A （m
11、n）中的所有的 2 阶子式全为 0，则 A 的标准形为 （ D ） （A） 0 00 m m n E ； （B） 00 0 m m n E ； （C） 00 00 m n ； （D） 10 00 m n 3）方阵 n A的秩( )R A= n，则 n A必定不满足 （ D ） （A） n A可逆； （B） n A与 E 等价； （C）()R An ； （D）存在,BO使ABO 4） n A为奇异矩阵，下列的错误的是 （ C ） （A）( )() T R AR A； （B）( )R An； （C）0A； （D） n A不与单位阵 E 等价 2. 已知矩阵 3102 1121 1344 A ，求(
12、 )R A。 ( )R A=2 3.设 123 123 23 k Ak k ， 问k为何值时， 可分别使 （1）( )R A=1；（2）( )R A=2；（3）( )R A=3？ 20 4.已知 n 阶方阵A，使2AE为不可逆矩阵，求证：A不为零矩阵。 练习练习 三三 班级 学号 姓名 1选择题： 1）当（ D ）时，齐次线性方程组0 m n Ax 一定有非零解。 （A）mn； （B）mn； （C）mn； （D）mn . 2）设 A 为 n（2）阶方阵，且( )R A=n-1， 12 , 是0Ax 的两个不同的解向量，k为 任意常数，则AxO的通解为（ C ） （A） 1 k； （B） 2 k
13、； （C） 12 ()k； （D） 12 ()k. 2填空题: 1）设 4 阶方阵 1234 ()A ，且 1234 ，则方程组Ax的一个解 向量为(11 11)。 2）设方程组 (1)nn Axb 有解，则其增广矩阵的行列式Ab= 0 。 3）若 121 232 343 414 xxa xxa xxa xxa 有解，则常数 1234 ,a a a a应满足条件 4 1 0 i i a 。 4）已知方程组 1 2 3 1211 2323 120 x ax ax 无解，则a= -1 。 21 12111211 2323011 12 0 00(3)(1)3 aa a aaa 3求齐次线性方程组 1
14、25 123 345 0 0 0 xxx xxx xxx 的解。 4解矩阵方程： 12310 23101 X 22 5取何值时，非齐次线性方程组 123 123 2 123 1xxx xxx xxx （1）有唯一解； （2）无解； （3）有 无穷多解？并在有解时，求解。 解： 13 2 2 11111 1111 11111 rr A 21 31 32 2 2 23 2 2 232 2 2 11 011 0111 11 011 0021 11 011(1) 00(2)(1)(1)(1) rr rr rr （1）当2,1 时，有唯一解； 2 2 11 011 (1) 001 2 A 23 22 2
15、2 22 (1)(1) 110100 22 (1)(1) 010010 22 (1)(1) 001001 22 1 2 2 3 1 2 1 2 (1) 2 x x x （2）当2时，无解； （3）当1时，有无穷多解。 1111 0000 0000 A ， 1 212 3 111 100 010 x xcc x ， （其中 12 ,c c是任意实数） 23 自测题自测题 1选择题： 1） 设A为 n （2） 阶奇异方阵，A中有一元素 ij a的代数余子式0 ij A ， 则方程组AxO 的基础解系所含向量个数为（ B ） （A）i； （B）1； （C）j； （D）n. 2）方程组 2 123 1
16、23 123 0 0 0 xxx xxx xxx 的系数矩阵记为A，若存在三阶方阵BO， 使得ABO，则（ A ） （A）1，0B ； （B）1，0B ； （C）1，0B ； （D）1，0B . 3） 设A与B是 n 阶方阵， 齐次线性方程组AxO，BxO有相同的基础解系 123 , ， 则以下方程组以 123 , 为基础解系的是（ D ） （A）()AB xO； （B）ABxO； （C）BAxO； （D） A xO B . 2判断题: 1）初等矩阵与初等变换是一一对应的 （ ） 2）任一秩为 r 的矩阵 A 必与 r EO OO 等价 （ ） 3）AxO与 T A AxO为同解方程组 （ ）
17、 4）方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件是Axb有两个不同的解（ ） 3设 n 阶方阵A的列向量为 i （i=1，2，3，n） ，n 阶方阵B的列向量为 122311 , nnn ，试问：当( )R An时，BxO是否有非零解？ 试证明你的结论。 4若齐次线性方程组 m n AxO 的解均为齐次线性方程组 l n BxO 的解， 试证明( )( )R AR B。 24 5求方程组 12 24 0 0 xx xx 与 123 234 0 0 xxx xxx 的非零公共解。 解： 3132 42 2 110011001100 010101010101 111002100012 01110111
18、0012 rrrr rr A 4312 11001001 01010101 00120012 00000000 rrrr 非零公共解为 1 2 3 4 1 1 2 x xc x x （0,cc是任意实数） 6设非齐次线性方程组 m n Axb 的系数矩阵 m n A 的秩为 r， 12 , n r 是0 m n Ax 的 一个基础解系，是 m n Axb 的一个解。证明： m n Axb 的任一解可表示为 11221121 ()()(),(1) n rn rn rn r xkkkkkkk 25 7设 1234 , 为四维列向量， 1234 (,)A ，已知Ax的通解为 12 111 121 2
19、01 110 xkk ，其中 1 2 0 1 ， 1 1 1 0 为对应的齐次方程组的基础解系， 12 ,k k为 任意常数，令 123 (,)B ，试求By的通解。 26 第四章第四章 向量组的线性相关向量组的线性相关性性 练习练习 一一 班级 学号 姓名 1已知向量1,1,0, 1 ,2,1,1,2 ,1,2,0,1 ，试求向量32. 解： 323 1,1,0, 122,1,1,21,2,0,1(6,3, 2, 6) 2已知向量组 123 :0,1,2,3,3,0,1,2,2,3,0,1, TTT A 123 :2,1,1,2,0, 2,1,1,4,4,1,3, TTT B证明B组能由A组
20、线性表示， 但A 组不能由B组线性表示。 解： 032204103124 103124032204 210111016157 321213028179 AB 103124103124 016157016157 002051525004135 004135000000 ( )3()R AR AB，所以B组能由A组线性表示。 204032111210 124103033113 111210022412 213321011101 BA 111210111210 011101011101 000210000210 000210000000 ( )2, ()3R BR BA，所以A组不能由B组线性表示。
21、 3设可由 12 , m 线性表示，但不能由 121 , m 线性表示，证明： m 可由 121 , m 线性表示，而不能由 121 , m 线性表示。 27 4已知 123 1,4,0,2,2,7,1,3,0,1, 1,3,10, ,4 TTTT ab，问： （1）, a b取何值时，不能由 123 , 线性表示？ （2）, a b取何值时，可由 123 , 线性表示？并写出此表达式。 解： 123 12031203 471100112 , 011011 234012 A bb aa 12031203 01120112 00020010 00100002 ba ab （1）当1,2ab或1,
22、2ab时，( )()R AR A，不能由 123 , 线性表示。 （2）当1,2ab时， 12031001 01120102 00100010 00000000 A a ( )()3R AR A，可由 123 , 线性表示， 123 20 当1,2ab时， 12031021 01120112 00000000 00000000 A ， ( )()2R AR A，可由 123 , 线性表示。 123 ( 1 2 )(2)kkk （kR） 28 练习练习 二二 班级 学号 姓名 1判断向量组 1234 1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,1 TTTT 的线性 相关性。 2讨
23、论向量组 123 1,1,0,1,3, 1,5,3, TTT t的线性相关性？即t取何值时， 向量组线性无关？t又取何值时，向量组线性相关？ 3已知向量组 123 , 线性无关，判断 1223123 23,3, 的线性相关性。 29 4如果向量可以用向量组 12 , r 线性表示，试证表示方法是唯一的充要条件是 12 , r 线性无关。 练习练习 三三 班级 学号 姓名 1已知向量组 1234 1,2,3,4 ,2,3,4,5 ,3,4,5,6 ,4,5,6,7，求该向量 组的秩。 30 2 求向量组 1234 1, 1,2,4 ,0,3,1,2 ,3,0,7,14 ,1, 2,2,0的秩和最
24、大 无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。 3利用初等行变换求矩阵 1324 3142 2342 4139 的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量 用最大无关组线性表示。 4设A为n阶矩阵（n2） ，A为A的伴随矩阵，证明： ,( ) ()1,( )1 0,( )2 nR An R AR An R An 当 当 当 31 练习练习 四四 班级 学号 姓名 1求齐次线性方程组 1245 12345 12345 12345 30 20 42650 2424160 xxxx xxxxx xxxxx xxxxx 的基础解系。 2求非齐次线性方程组 12345 1234 12345 12345
25、 3323 2632 321 39455 xxxxx xxxx xxxxx xxxxx 的通解。 32 3已知 123 , 是四元非齐次线性方程组Axb的解，( )2R A ，且 122331 112 201 , 012 123 求该方程组的通解。 4设 是齐次线性方程组Axb的一个解， 12 , n r 是对应的齐次线性方程组的一 个基础解系，证明： （1） 12 , n r 线行无关； （2） 12 , n r 线行无关。 33 练习练习 五五 班级 学号 姓名 1试判定集合 1212 ( ,)1, nni Vx xxxxxxR 是否构成向量空间？ 2求向量空间 4 R的基 1234 1,
26、2, 1,0 ,1, 1,1,1 ,1,2,1,1 ,1, 1,0,1 到基 1234 2,1,0,1 ,0,1,2,2 ,2,1,1,2 ,1,3,1,2 的过渡矩阵和向量的 34 坐标变换公式。 自测题自测题 一、选择题： 1设向量组（1） ： 123 , 与向量组（2） ： 12 , 等价，则（ A ） 。 （A）向量组（1）线性相关； （B）向量组（2）线性无关； （C）向量组（1）线性无关； （D）向量组（2）线性相关。 2设 n 维向量组 12 , m 线性无关，则（ B ） 。 （A）向量组中增加一个向量后仍线性无关； （B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关； （C）向量组中每个
27、向量都去掉第一个分量后仍线性无关； （D）向量组中每个向量都任意增加一个分量后仍线性无关。 3设三阶行列式0 ij Da，则（ A ） 。 （A）D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合； （B）D中每一行向量都是其余行向量的线性组合； （C）D中至少有两行向量线性相关； （D）D中每一行向量都线性相关。 4设 124 :,A 是一组 n 维向量，且 123 , 线性相关，则（ D ） 。 （A）A 的秩等于 4； （B）A 的秩等于 n； （C）A 的秩等于 1； （D）A 的秩小于等于 3。 5设不能由非零向量 12 , s 线性表示，则（ D ） 。 （A） 12 , s 线性相关； （
28、B） 12 , s 线性相关； 35 （C）与某个 i 线性相关； （D）与任一 i 都线性无关。 二、填空题： 1设 n 维向量 123 , 线性相关，则向量组 122331 , 的秩 r= 0，1，2 。 2 向量组, 线性相关的充分必要条件为 秩3 。 3设 12 , 线性无关，而 123 , 线性相关，则向量组 123 ,2,3的极大无关组为 12 , 。 4已知 12 1,3,2,4 ,2,6, ,8k线性相关，则 k= 4 。 5 已知向量组, 线性相关，而向量组, , 线性无关，则向量组, 的秩为 2 。 三、已知 1123 2123 3123 2 23 ，证明 123 , 与
29、123 , 等价。 四、设有向量组 122 21 :2 ,1,1 1054 a A ，又向量 1 b c ，试问当, ,a b c满 足什么条件时，则： （1）可由 123 , 线性表示，且表示式唯一； （2）不能由 123 , 线性表示； （3）可由 123 , 线性表示，但不唯一，并求一般表达式。 36 （1） （2） （3） 五、已知 12 , s 及都是 n 维向量，且 12s ，证明向量组 12 , s 线性无关的充分必要条件是向量组 12 , s 线性无关。 六、设 n 维向量组（1） ： 12 , s 的秩为 1 r； （2） 12 , s 的秩为 2 r； （3） 1122 ,
30、 ss 的秩为 3 r。证明： 123 rrr。 37 七、取何值时，线性方程组 123 123 123 (21)(1)1 (2)(1)(2) (21)(1)(21) xxx xxx xxx 有惟一解、无解、无 穷多解？在有无穷多解时求通解。 八、已知 123 ,a a a为三维向量空间 3 R的一个基，设 112321233123 233 ,22,53 ,baaa baaa baaa 38 （1）证明： 123 ,b b b也是 3 R的一个基； （2）求由基 123 ,b b b到 123 ,a a a的过渡矩阵； （3）若向量在基 123 ,a a a下的坐标为1, 2,0 T ，求在基 123 ,b b b下的坐标。 第五章第五章 相似相似矩阵及二次型矩阵及二次型 练习练习 一一 班级 学号 姓名 练习练习 二二 班级 学号 姓名 39 40 练习练习 三三 班级 学号 姓名 练习练习 四四 班级 学号 姓名 练习练习 五五 班级 学号 姓名
