2020年陕西省中考数学模拟试卷（1）.docx

1、 第 1 页（共 26 页） 2020 年陕西省中考数学模拟试卷年陕西省中考数学模拟试卷 1 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）4 的倒数是（ ） A1 4 B 1 4 C4 D4 2 （3 分）如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（ ） A B C D 3 （3 分）下列计算中，正确的是（ ） Ax3x2x4 B （x+y） （xy）x2+y2 Cx（x2）2x+x2 D3x3y2xy23x4 4（3 分） 如图， ABCD， CE 交 AB 于点 F A20， E30， 则C 的度数为 （

2、 ） A50 B55 C60 D65 5 （3 分）点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）都在直线 ykx+2（k0）上，且 x1x2则 y1、y2的 大小关系是（ ） Ay1 y2 By1 y2 Cy1 y2 Dy1 y2 6 （3 分） 如图， 以任意ABC 的边 AB 和 AC 向形外作等腰 RtABD 和等腰 RtACE， F、 G 分别是线段 BD 和 CE 的中点，则 的值等于（ ） 第 2 页（共 26 页） A23 3 B2 C3 2 D3 7 （3 分）已知直线 ymx3 与直线 yx+3m，当2x2 时，两直线有交点，则 m 的 取值范围是（ ） Am 1 5或 m5 B

3、5m 1 5 C5m 1 5 Dm= 1 3 8 （3 分）如图，在 Rt 直角ABC 中，B45，ABAC，点 D 为 BC 中点，直角MDN 绕点 D 旋转，DM，DN 分别与边 AB，AC 交于 E，F 两点，下列结论：DEF 是等腰 直角三角形； AECF； BDEADF； BE+CFEF， 其中正确结论是 （ ） A B C D 9（3分） 如图， 半径为5的O中， CD是O的直径， 弦ABCD于E， AB8， F是 上一点， 连接 AF，DF，则 tanF 的值为（ ） A5 8 B4 5 C 5 5 D2 10 （3 分）对于二次函数 y4（x+1） （x3）下列说法正确的是（

4、） A图象开口向下 B与 x 轴交点坐标是（1，0）和（3，0） Cx0 时，y 随 x 的增大而减小 第 3 页（共 26 页） D图象的对称轴是直线 x1 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）在实数5，22 7 ，0，8 3 ，2 中，无理数有 12 （3 分）正六边形的边长为 10m，那么它的边心距等于 13 （3 分）如图，矩形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在第一象限，点 B 的坐标为（12，6） ，反比例函数 y= （k0）的图象分别交边 BC、AB 于点 D、E，连 结 DE

5、，DEF 与DEB 关于直线 DE 对称当点 F 正好落在边 OA 上时，则 k 的值 为 14 （3 分） 如图， 正方形 ABCD 的边长为 4， 点 E、 F 分别是 BC， CD 边上的动点， 且 CE+CF 4，DE 和 AF 相交于点 P，在点 E，F 运动的过程中，CP 的最小值为 三解答题（共三解答题（共 11 小题，满分小题，满分 78 分）分） 15 （5 分）计算：|412|（3.14）0+（1cos30）（ 1 3） 2 16 （5 分）计算： （1） 2 2;1 + 3; 1;2； （2）( 2) ( 2) 2 17 （5 分）菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相

6、交于点 O，AC16，BD12，动点 P 在线段 AC 上从点 A 向点 C 以 4 个单位/秒的速度运动，过点 P 作 EFAC，交菱形 ABCD 的边 于点 E、F，在直线 AC 上有一点 G，使AEF 与GEF 关于 EF 对称设菱形 ABCD 被 四边形 AEGF 盖住部分的面积为 S1，未被盖住部分的面积为 S2，点 P 运动时间为 x 秒 （1）用含 x 的代数式分别表示 S1，S2； 第 4 页（共 26 页） （2）若 S1S2，求 x 的值 18 （5 分）如图，点 E 是ABC 的 BC 边上的一点，AECAED，EDEC，D B，求证：ABAC 19 （7 分）我校九年级

7、有 800 名学生，在体育中考前进行一次排球模拟测试，从中随机抽 取部分学生， 根据其测试成绩制作了下面两个统计图， 请根据相关信息， 解答下列问题： （）本次抽取到的学生人数为 ，图 2 中 m 的值为 ； （）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （）根据样本数据，估计我校九年级模拟模拟体测中得 12 分的学生约有多少人？ 20 （7 分）为了测量路灯（OS）的高度，把一根长 1.5 米的竹竿（AB）竖直立在水平地面 上，测得竹竿的影子（BC）长为 1 米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了 4 米（BB） ， 第 5 页（共 26 页） 再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（BC

8、）为 1.8 米，求路灯离地面的高度 21 （7 分）某手机店销售一部 A 型手机比销售一部 B 型手机获得的利润多 50 元，销售相同 数量的 A 型手机和 B 型手机获得的利润分别为 3000 元和 2000 元 （1）求每部 A 型手机和 B 型手机的销售利润分别为多少元？ （2）该商店计划一次购进两种型号的手机共 110 部，其中 A 型手机的进货量不超过 B 型手机的 2 倍设购进 B 型手机 n 部，这 110 部手机的销售总利润为 y 元 求 y 关于 n 的函数关系式； 该手机店购进 A 型、B 型手机各多少部，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 B 型手机出厂价

9、下调 m（30m100）元，且限定商店最多 购进 B 型手机 80 台若商店保持两种手机的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的 条件，设计出使这 110 部手机销售总利润最大的进货方案 22 （7 分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第 一场比赛 （1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概 率 （2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率 23 （8 分）如图，ABAC，O 为ABC 的外接圆，AF 为O 的直径，四边形 ABCD 是 平行四边形 （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若BAC45，AF2，

10、求阴影部分的面积 24 （10 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 第 6 页（共 26 页） y 轴交于点 C （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点（不点 B，C 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行 线交直线 BC 于点 D，设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长 连接 PB，PC，求PBC 的面积最大时点 P 的坐标 （3）设抛物线的对称轴与 BC 交于点 E，点 M 是抛物线的对称轴上一点，N 为 y 轴上一 点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 C、E

11、、M、N 为顶点的四边形是菱形？如果 存在，请直接写出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由 25 （12 分）某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查 阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形” 如图 1、图 2、图 3 中， AF、 BE 是ABC 的中线， AFBE 于点 P， 像ABC 这样的三角形均称为 “中垂三角形” 【特例探究】 （1）如图 1，当PAB45，AB62时，AC ，BC ； 如图 2，当 sinPAB= 1 2，AB4 时，AC ，BC ； 【归纳证明】 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想 AB2、BC2、AC2三者之间

12、的关系，用等式表示 出来，并利用图 3 证明你的结论 【拓展证明】 （3）如图 4，在ABC 中，AB43，BC25，D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 的 中点，连结 DE 并延长至 G，使得 GEDE，连结 BG，当 BGAC 于点 M 时，求 GF 的 长 第 7 页（共 26 页） 第 8 页（共 26 页） 2020 年陕西省中考数学模拟试卷年陕西省中考数学模拟试卷 1 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）4 的倒数是（ ） A1 4 B 1 4 C4 D4 【解答】解

13、：4 的倒数是 1 4 故选：B 2 （3 分）如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（ ） A B C D 【解答】解：从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形， 故选：D 3 （3 分）下列计算中，正确的是（ ） Ax3x2x4 B （x+y） （xy）x2+y2 Cx（x2）2x+x2 D3x3y2xy23x4 【解答】解：A、结果是 x5，故本选项不符合题意； B、结果是 x2y2，故本选项不符合题意； C、结果是2x+x2，故本选项符合题意； D、结果是 3x2，故本选项不符合题意； 故选：C 4（3 分） 如图， ABCD， CE 交 AB 于点

14、F A20， E30， 则C 的度数为 （ ） 第 9 页（共 26 页） A50 B55 C60 D65 【解答】解：A20，E30， EFBA+E20+3050， CDAB， EFBC， EFB50， 故选：A 5 （3 分）点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）都在直线 ykx+2（k0）上，且 x1x2则 y1、y2的 大小关系是（ ） Ay1 y2 By1 y2 Cy1 y2 Dy1 y2 【解答】解：直线 ykx+b 中 k0， 函数 y 随 x 的增大而减小， 当 x1x2时，y1y2 故选：C 6 （3 分） 如图， 以任意ABC 的边 AB 和 AC 向形外作等腰 RtAB

15、D 和等腰 RtACE， F、 G 分别是线段 BD 和 CE 的中点，则 的值等于（ ） A23 3 B2 C3 2 D3 【解答】解：如图，取 BC 的中点 H，连接 BE、FH、GH， BADCAE90， BAD+BACCAE+BAC， 即BAEDAC， 在ABE 和ADC 中， 第 10 页（共 26 页） = = = ， ABEADC（SAS） ， BECD，ABEADC， BDC+DBEBDA+ABD90， BECD， 又F、G 分别是线段 BD 和 CE 的中点， FH、GH 分别是BCD 和BCE 的中位线， FHCD 且 FH= 1 2CD，GHBE 且 GH= 1 2BE，

16、 HFG 是等腰直角三角形， = 2 2 ， =2 故选：B 7 （3 分）已知直线 ymx3 与直线 yx+3m，当2x2 时，两直线有交点，则 m 的 取值范围是（ ） Am 1 5或 m5 B5m 1 5 C5m 1 5 Dm= 1 3 【解答】解：列方程组 = 3 = + 3得 x= 3(+1) 1 ， 当2x2 时，两直线有交点， 2 3(+1) 1 2， 当 m1 时，解得：5m 1 5， 当 m1，解得；m5，m 1 5（不合题意舍去） ， 第 11 页（共 26 页） 故选：C 8 （3 分）如图，在 Rt 直角ABC 中，B45，ABAC，点 D 为 BC 中点，直角MDN

17、绕点 D 旋转，DM，DN 分别与边 AB，AC 交于 E，F 两点，下列结论：DEF 是等腰 直角三角形； AECF； BDEADF； BE+CFEF， 其中正确结论是 （ ） A B C D 【解答】解：B45，ABAC， ABC 是等腰直角三角形， 点 D 为 BC 中点， ADCDBD，ADBC，CAD45， CADB， MDN 是直角， ADF+ADE90， BDE+ADEADB90， ADFBDE， 在BDE 和ADF 中， = = = ， BDEADF（ASA） ， 故正确； DEDF、BEAF， DEF 是等腰直角三角形， 故正确； AEABBE，CFACAF， AECF， 故

18、正确； BE+CFAF+AE BE+CFEF， 第 12 页（共 26 页） 故错误； 综上所述，正确的结论有； 故选：C 9（3分） 如图， 半径为5的O中， CD是O的直径， 弦ABCD于E， AB8， F是 上一点， 连接 AF，DF，则 tanF 的值为（ ） A5 8 B4 5 C 5 5 D2 【解答】解：连接 OB、BD，如图， CD 是O 的直径，弦 ABCD， AEBE= 1 2AB4， 在 RtOBE 中，OE= 52 42=3， 在 RtBDE 中，tanDBE= = 3+5 4 =2， FABD， tanF2 故选：D 10 （3 分）对于二次函数 y4（x+1） （x

19、3）下列说法正确的是（ ） A图象开口向下 B与 x 轴交点坐标是（1，0）和（3，0） Cx0 时，y 随 x 的增大而减小 D图象的对称轴是直线 x1 第 13 页（共 26 页） 【解答】解：y4（x+1） （x3）4（x1）216， a40，该抛物线的开口向上，故选项 A 错误， 与 x 轴的交点坐标是（1，0） 、 （3，0） ，故选项 B 错误， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 C 正确， 图象的对称轴是直线 x1，故选项 D 错误， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）在实数5，2

20、2 7 ，0，8 3 ，2 中，无理数有 5，2 【解答】解：22 7 ，0，8 3 是有理数， 5，2 是无理数， 故答案为：5，2 12 （3 分）正六边形的边长为 10m，那么它的边心距等于 53m 【解答】解：边长为 10m 的正六边形可以分成六个边长为 10m 的正三角形， 而正多边形的边心距即为每个边长为 10m 的正三角形的高， 所以正多边形的边心距等于 10sin6053（m） 故答案为：53m 13 （3 分）如图，矩形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在第一象限，点 B 的坐标为（12，6） ，反比例函数 y= （k0）的图象分别交边 BC、A

21、B 于点 D、E，连 结DE， DEF与DEB关于直线DE对称 当点F正好落在边OA上时， 则k的值为 27 【解答】解：过点 D 作 DGOA 垂足为 G（如图所示） 第 14 页（共 26 页） 由题意知 D（ 6，6） ，E（12， 12） ，DG6 又DEF 与DEB 关于直线 DE 对称当点 F 正好落在边 OA 上 DFDB，BDFE90 DGFFAE90，DFG+EFA90 又EFA+FEA90 GDFEFA DGFFAE = ，即 6 12; 6 = 6; 12 ， 解得：AF3， EF2EA2+AF2 即(6 12) 2 = 12 2 +9 解得：k27 故答案为：27 14

22、 （3 分） 如图， 正方形 ABCD 的边长为 4， 点 E、 F 分别是 BC， CD 边上的动点， 且 CE+CF 4，DE 和 AF 相交于点 P，在点 E，F 运动的过程中，CP 的最小值为 25 2 【解答】解：在正方形 ABCD 中，ADCDBC4，ADCBCD90， CE+CF4，CF+DF4， CEDF， 在ADF 和DCE 中， = = = ， ADFDCE（SAS） ， DAFCDE， ADE+CDE90， DAP+FDP90， APD90， 第 15 页（共 26 页） 点 P 在以 AD 为直径的圆上， 设 AD 的中点为 G， 由图形可知：当 C、P、G 在同一直线

23、上时，CP 有最小值，如图所示： CD4，DG2， CG= 42+ 22=25， CPCGPG25 2， 故答案为：25 2 三解答题（共三解答题（共 11 小题，满分小题，满分 78 分）分） 15 （5 分）计算：|412|（3.14）0+（1cos30）（ 1 3） 2 【解答】解：原式（423）1+（1 3 2 ）9 4+23 1 9 23 +9 4 5 23 16 （5 分）计算： （1） 2 2;1 + 3; 1;2； （2）( 2) ( 2) 2 【解答】解： （1）原式= 2 (+1)(1) 3 (+1)(1) = 1+ (+1)(1) = 1 +1； （2）原式b（ab） ;

24、 2 42 = 3 4 第 16 页（共 26 页） 17 （5 分）菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC16，BD12，动点 P 在线段 AC 上从点 A 向点 C 以 4 个单位/秒的速度运动，过点 P 作 EFAC，交菱形 ABCD 的边 于点 E、F，在直线 AC 上有一点 G，使AEF 与GEF 关于 EF 对称设菱形 ABCD 被 四边形 AEGF 盖住部分的面积为 S1，未被盖住部分的面积为 S2，点 P 运动时间为 x 秒 （1）用含 x 的代数式分别表示 S1，S2； （2）若 S1S2，求 x 的值 【解答】解： （1）由题得，EFAC，BDAC， EF

25、BD AEFADB = EF6x， 又APPG4x 当 0x2 时， 1= 242，2= 96 242， 当 2x4 时，EF246x， 1= 192 48 ，S248x96 （2）当 0x2 时， 24x29624x2， 解得：x= 2； 当 2x4 时， 19248x48x96， 解得：x3 18 （5 分）如图，点 E 是ABC 的 BC 边上的一点，AECAED，EDEC，D B，求证：ABAC 第 17 页（共 26 页） 【解答】证明： （1）在AED 与AEC 中 = = = AEDAEC（SAS） ， DC， DB， BC， ABAC； 19 （7 分）我校九年级有 800 名

26、学生，在体育中考前进行一次排球模拟测试，从中随机抽 取部分学生， 根据其测试成绩制作了下面两个统计图， 请根据相关信息， 解答下列问题： （）本次抽取到的学生人数为 50 ，图 2 中 m 的值为 28 ； （）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （）根据样本数据，估计我校九年级模拟模拟体测中得 12 分的学生约有多少人？ 【解答】解： （）本次抽取到的学生人数为：48%50，m%18%10%22% 32%28%， 故答案为：50，28； 第 18 页（共 26 页） （）本次调查获取的样本数据的平均数是：84:95:1011:1114:1216 50 =10.66 （分） ，

27、 众数是 12 分，中位数是 11 分； （）80032%256（人） ， 答：我校九年级模拟模拟体测中得 12 分的学生约有 256 人 20 （7 分）为了测量路灯（OS）的高度，把一根长 1.5 米的竹竿（AB）竖直立在水平地面 上，测得竹竿的影子（BC）长为 1 米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了 4 米（BB） ， 再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（BC）为 1.8 米，求路灯离地面的高度 【解答】解：ABOC，OSOC， SOAB， ABCSOC， : = ，即 1 1: = 1.5 ， 解得 OB= 2 3h1， 同理，ABOC， ABCSOC， : = ， 1.8 1.8:4

28、: = 1.5 ， 把代入得， 1.8 5.8:2 3;1 = 1.5 ， 解得 h9（米） 答：路灯离地面的高度是 9 米 21 （7 分）某手机店销售一部 A 型手机比销售一部 B 型手机获得的利润多 50 元，销售相同 数量的 A 型手机和 B 型手机获得的利润分别为 3000 元和 2000 元 （1）求每部 A 型手机和 B 型手机的销售利润分别为多少元？ （2）该商店计划一次购进两种型号的手机共 110 部，其中 A 型手机的进货量不超过 B 型手机的 2 倍设购进 B 型手机 n 部，这 110 部手机的销售总利润为 y 元 第 19 页（共 26 页） 求 y 关于 n 的函数

29、关系式； 该手机店购进 A 型、B 型手机各多少部，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 B 型手机出厂价下调 m（30m100）元，且限定商店最多 购进 B 型手机 80 台若商店保持两种手机的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的 条件，设计出使这 110 部手机销售总利润最大的进货方案 【解答】 解： （1） 设每部 A 型手机的销售利润为 x 元， 每部 B 型手机的销售利润为 y 元， 根据题意，得： = 50 3000 = 2000 ， 解得： = 150 = 100， 答：每部 A 型手机的销售利润为 150 元，每部 B 型手机的销售利润为 100 元； （2）设购

30、进 B 型手机 n 部，则购进 A 型手机（110n）部， 则 y150（110n）+100n50n+16500， 其中，110n2n，即 n362 3， y 关于 n 的函数关系式为 y50n+16500 （n362 3） ； 500， y 随 n 的增大而减小， n362 3，且 n 为整数， 当 n37 时，y 取得最大值，最大值为5037+1650014650（元） ， 答：购进 A 型手机 73 部、B 型手机 37 部时，才能使销售总利润最大； （3）根据题意，得：y150（110n）+（100+m）n（m50）n+16500， 其中，362 3 n80（n 为整数） ， 当 30

31、m50 时，y 随 n 的增大而减小， 当 n37 时，y 取得最大值， 即购进 A 型手机 73 部、B 型手机 37 部时销售总利润最大； 当 m50 时，m500，y16500， 第 20 页（共 26 页） 即商店购进 B 型电脑数量满足 362 3 n80 的整数时，均获得最大利润； 当 50m100 时，y 随 n 的增大而增大， 当 n80 时，y 取得最大值， 即购进 A 型手机 30 部、B 型手机 80 部时销售总利润最大 22 （7 分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第 一场比赛 （1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位

32、，求恰好选中乙同学的概 率 （2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率 【解答】解： （1）共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况， P（恰好选中乙同学）= 1 3； （2）画树状图得： 所有出现的等可能性结果共有 12 种，其中满足条件的结果有 2 种 P（恰好选中甲、乙两位同学）= 1 6 23 （8 分）如图，ABAC，O 为ABC 的外接圆，AF 为O 的直径，四边形 ABCD 是 平行四边形 （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若BAC45，AF2，求阴影部分的面积 【解答】解： （1）ABAC， = ， 第 21 页（共 26 页） AF 为O 的

33、直径， AFBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ADAF， AD 是O 的切线； （2）连接 OC，OB， BAC45， BOC90， AF2， OBOC1， BC= 2， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC= 2， 连接 OE， ABBD， ACEBAC45， AOE2ACE90， OAOE1， 阴影部分的面积S梯形AOEDS扇形AOE= 1 2（1+2）1 9012 360 = 1+2 2 4 24 （10 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 P 是

34、直线 BC 下方的抛物线上一动点（不点 B，C 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行 线交直线 BC 于点 D，设点 P 的横坐标为 m 第 22 页（共 26 页） 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长 连接 PB，PC，求PBC 的面积最大时点 P 的坐标 （3）设抛物线的对称轴与 BC 交于点 E，点 M 是抛物线的对称轴上一点，N 为 y 轴上一 点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 C、E、M、N 为顶点的四边形是菱形？如果 存在，请直接写出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0）和点 B（3，0）

35、，与 y 轴交于点 C， + + 3 = 0 9 + 3 + 3 = 0，解得 = 1 = 4， 抛物线解析式为 yx24x+3； （2）如图： 设 P（m，m24m+3） ， 将点 B（3，0） 、C（0，3）代入得直线 BC 解析式为 yBCx+3 过点 P 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 D， D（m，m+3） ， PD（m+3）（m24m+3）m2+3m 答：用含 m 的代数式表示线段 PD 的长为m2+3m 第 23 页（共 26 页） SPBCSCPD+SBPD = 1 2OBPD= 3 2m 2+9 2m = 3 2（m 3 2） 2+27 8 当 m= 3 2时，S 有最

36、大值 当 m= 3 2时，m 24m+3= 3 4 P（3 2， 3 4） 答：PBC 的面积最大时点 P 的坐标为（3 2， 3 4） （3）存在这样的点 M 和点 N，使得以点 C、E、M、N 为顶点的四边形是菱形 根据题意，点 E（2，1） ， EFCF2， EC22， 根据菱形的四条边相等， MEEC22， M（2，122）或（2，1+22） 当 EMEF2 时，M（2，3） 答：点 M 的坐标为 M1（2，3） ，M2（2，122） ，M3（2，1+22） 25 （12 分）某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查 阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称

37、为“中垂三角形” 如图 1、图 2、图 3 中， AF、 BE 是ABC 的中线， AFBE 于点 P， 像ABC 这样的三角形均称为 “中垂三角形” 【特例探究】 （1）如图 1，当PAB45，AB62时，AC 65 ，BC 65 ； 如图 2，当 sinPAB= 1 2，AB4 时，AC 213 ，BC 27 ； 【归纳证明】 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想 AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示 出来，并利用图 3 证明你的结论 【拓展证明】 （3）如图 4，在ABC 中，AB43，BC25，D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 的 第 24 页（共 26 页） 中点

38、，连结 DE 并延长至 G，使得 GEDE，连结 BG，当 BGAC 于点 M 时，求 GF 的 长 【解答】 （1）解：如图 1，AFBE， APBAPEBPF90， PAB45，AB62， APPB6， 如图 1，连接 EF， AF，BE 是ABC 的中线， EF 是ABC 的中位线， EFAB且 EF= 1 2AB， = = 1 2， PEPF3， 由勾股定理得：AEBF= 2+ 2= 62+ 32=35， ACBC2AE65， 第 25 页（共 26 页） 如图 2，sinPAB= 1 2，AB4，AFBE， PAB30， BP= 1 2AB2，AP23， AF、BE 是ABC 的中线

39、， PE= 1 2PB1，PF= 1 2AP= 3， 由勾股定理得：AE= 2+ 2=12+ (23)2= 13， BF= 2+ 2=(3)2+ 22= 7， AC2AE213，BC2BF27， 故答案为：65，65，213，27； （2）解：猜想：AB2、BC2、AC2三者之间的关系是：AC2+BC25AB2， 证明：如图 3，设 PFm，PEn 则 AP2m，PB2n， 在 RtAPB 中， （2m）2+（2n）2AB2， 在 RtAPE 中， （2m）2+n2（ 2 ）2， 在 RtBPF 中，m2+（2n）2（ 2 ）2， 由得：m2+n2= 2 4 ，由+得：5（ m2+n2）= 2+2 4 ， AC2+BC25AB2； （3） 解： 如图 4， 连接 CG， EF， 过点 F 作 FNBG 交 CG 于点 N， FG 与 AC 交于点 Q， FNBG，BGAC， FNAC， 第 26 页（共 26 页） F 是 BC 的中点， N 是 CG 的中点， D、E 分别是 AB、AC 的中点， DEFC，DEFC， EDEG， EGFC，EGFC， 四边形 EFCG 是平行四边形， Q 是 FG 的中点， FCG 是中垂三角形， AB43，BC25， CGEFBD23，FC= 5， 由（2）中结论可知：5FC2CG2+FG2， 即 55（23）2+FG2， GF= 13