1、解答题增分专项一高考中的函解答题增分专项一高考中的函 数与导数数与导数-2-从近五年的高考试题来看,高考对函数与导数的考查,已经从直接利用导数符号的正负讨论函数的单调区间,或利用函数单调性求函数的极值、最值问题,转变成利用求导的方法证明不等式,探求参数的取值范围,解决函数的零点、方程根的问题,以及在某不等式成立的条件下,求某一参数或某两个参数构成的代数式的最值.-3-题型一题型二题型三题型四题型一利用求导的方法证明不等式突破策略一突破策略一差函数法差函数法证明函数不等式f(x)g(x),可证f(x)-g(x)0,令h(x)=f(x)-g(x),或令h(x)为f(x)-g(x)表达式的某一部分,
2、利用导数证明h(x)min0;如果h(x)没有最小值,可利用导数确定出h(x)的单调性,如果h(x)0,则h(x)在(a,b)上是增函数,同时若h(a)0,可知,x(a,b)时,有h(x)0,即f(x)g(x).例1已知函数f(x)=ln x,g(x)=ex.(1)求y=f(x)-x的单调区间;(2)证明:函数y=f(x)和y=g(x)在公共定义域内,g(x)-f(x)2.-4-题型一题型二题型三题型四(1)解:f(x)的定义域为(0,+),y=f(x)-1=-1(x0),由f(x)=0,得x=1,则当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f(x)0时,有f(x)-g
3、(x)0,即当x0时,f(x)g(x).-9-题型一题型二题型三题型四突破策略二突破策略二分别求最值法分别求最值法欲证f(x)h(x),只需f(x)minh(x)max;要证明不等式f(x)m,可将该不等式转化为g(x)h(x)的形式,然后再证明g(x)minh(x)max.例2已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.(1)对一切x(0,+),2f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(2)证明:对一切x(0,+),ln x 恒成立.当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增,-10-题型一题型二题型三题型四所以h(x)min=h(1)=4,对一切x(0,+),2f(x)
4、g(x)恒成立,所以ah(x)min=4.即实数a的取值范围是(-,4.-11-题型一题型二题型三题型四对点训练2设函数f(x)=aexln x+,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)1.-12-题型一题型二题型三题型四-13-题型一题型二题型三题型四突破策略三突破策略三寻求导函数零点法寻求导函数零点法若使用策略一或策略二解答时,遇到令f(x)=0,但无法解出导函数的零点x0时,可利用函数零点存在性定理,设出某一区间的导函数的零点x0,判断f(x)在x0处取得最值,并求出最值,然后通过对最值的处理使问题得到解决.例3已知函数
5、f(x)=ex+mx-2,g(x)=mx+ln x.证明:在区间(0,+)上,函数y=f(x)的图像恒在函数y=g(x)的图像的上方.证明:由题意可得,本题即证:当x(0,+)时,f(x)g(x)恒成立.令F(x)=f(x)-g(x)=ex-ln x-2(x0),则H(x)=ex+xex=ex(x+1),x(0,+),显然H(x)0.-14-题型一题型二题型三题型四-15-题型一题型二题型三题型四-16-题型一题型二题型三题型四-17-题型一题型二题型三题型四题型二有限制条件的求参数范围问题突破策略一突破策略一分离参数法分离参数法已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围,一般先分离参数,
6、再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解.即f(x)g(k)f(x)ming(k),f(x)g(k)f(x)maxg(k).例4(2015河南洛阳统考)已知函数f(x)=ex+ax2-e2x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;(2)若x0时,总有f(x)-e2x,求实数a的取值范围.-18-题型一题型二题型三题型四解:(1)由f(x)=ex+2ax-e2得:y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率k=4a=0,则a=0.此时f(x)=ex-e2x,f(x)=ex-e2.由f(x)=0,得x=2.当x(-,2)时,f(x)0,f(x)单调递
7、增.函数f(x)的单调增区间是(2,+),单调减区间是(-,2).-19-题型一题型二题型三题型四-20-题型一题型二题型三题型四对点训练4已知函数f(x)=ax2+x-xln x.(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(1)=2,且在定义域内f(x)bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当a=0时,f(x)=x-xln x,函数定义域为(0,+).f(x)=-ln x,由-ln x=0,得x=1.当x(0,1)时,f(x)0,f(x)在(0,1)上是增函数;当x(1,+)时,f(x)0,f(x)在(1,+)上是减函数.-21-题型一题型二题型三题型四(2)由f(1)
8、=2,得a+1=2,a=1,f(x)=x2+x-xln x,由f(x)bx2+2x,得(1-b)x-1ln x.g(x)在(0,1上单调递减,在1,+)上单调递增,g(x)min=g(1)=0,实数b的取值范围是(-,0.-22-题型一题型二题型三题型四突破策略二突破策略二分类讨论法分类讨论法当不等式中的参数无法分离,或含参不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时,应用分类讨论的方法来处理,分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素,为问题的解决提供新的条件.因此,求参数的范围转换成了讨论参数在哪些范围能使不等式成立.-23-题型一题型二题型三题型四-24-题型一题型二题型三题型四-25
9、-题型一题型二题型三题型四-26-题型一题型二题型三题型四对点训练5已知函数f(x)=x2e-x.(1)求f(x)的极小值和极大值;(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=-e-xx(x-2).当x(-,0)或x(2,+)时,f(x)0.所以f(x)在(-,0),(2,+)上单调递减,在(0,2)上单调递增.故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=-27-题型一题型二题型三题型四-28-题型一题型二题型三题型四突破策略三突破策略三分别求函数最值
10、法分别求函数最值法若两边变量不同的函数不等式恒成立,求不等式中的参数范围,常用分别求函数最值求解.即若对任意x1I1,x2I2,f(x1)g(x2)恒成立,则f(x)ming(x)max.若对任意x1I1,存在x2I2,使得f(x1)g(x2),则f(x)ming(x)min.若对任意x1I1,存在x2I2,使得f(x1)g(x2),则f(x)maxg(x)max.例6设f(x)=+xln x,g(x)=x3-x2-3.(1)如果存在x1,x20,2,使得g(x1)-g(x2)M成立,求满足上述条件的最大整数M;(2)如果对于任意的s,t ,都有f(s)g(t)成立,求实数a的取值范围.-29
11、-题型一题型二题型三题型四-30-题型一题型二题型三题型四-31-题型一题型二题型三题型四对点训练6(2015黑龙江哈师大附中模拟)已知函数 (e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数(x)=xf(x)+tf(x)+,存在实数x1,x20,1,使得2(x1)(x2)成立,求实数t的取值范围.解:(1)函数的定义域为R,当x0,当x0时,f(x)0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-abf(a).(1)解:求函数f(x)的导数f(x)=3x2-1.曲线y=f(x)在点M(t,f(t)处的切线方程为:y-f(t)=f(t)(x-t),即y=(3t2
12、-1)x-2t3.-40-题型一题型二题型三题型四(2)证明:如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b=(3t2-1)a-2t3.于是,若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根.记g(t)=2t3-3at2+a+b,则g(t)=6t(t-a).当t变化时,g(t),g(t)变化情况如下表:-41-题型一题型二题型三题型四-42-题型一题型二题型三题型四突破策略二突破策略二求导与数形结合法求导与数形结合法对于研究方程根的个数的相关问题,利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决.这类问题求解的通法是:(1)构造函数,并求其
13、定义域;(2)求导数,得单调区间和极值点;(3)画出函数草图;(4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图像与x轴的交点情况进而求解.-43-题型一题型二题型三题型四-44-题型一题型二题型三题型四-45-题型一题型二题型三题型四-46-题型一题型二题型三题型四-47-题型一题型二题型三题型四对点训练8已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6ln x+m.(1)求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t);(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.
14、当t+14,即t4时,f(x)在t,t+1上单调递减,h(t)=f(t)=-t2+8t.-48-题型一题型二题型三题型四(2)函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有且只有三个不同的交点,即函数(x)=g(x)-f(x)的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.因为(x)=x2-8x+6ln x+m,当x(0,1)时,(x)0,(x)是增函数;当x(1,3)时,(x)0,(x)是增函数;当x=1,或x=3时,(x)=0.于是,(x)极大值=(1)=m-7,(x)极小值=(3)=m+6ln 3-15.当x充分接近0时,(x)0.-49-题型一题型二题型三题型四因此,要使的图像与x轴正半轴有
15、三个不同的交点,必须且只需 即7mk(x+1)对任意x2恒成立,求k的取值范围.解:(1)因为f(x)=ax+xln x,所以f(x)=a+ln x+1,因为函数f(x)=ax+xln x的图像在点x=e处取得极值,所以f(e)=a+ln e+1=0,a=-2.-54-题型一题型二题型三题型四-55-题型一题型二题型三题型四突破策略二突破策略二分类讨论法分类讨论法在已知的含参数的不等式中,如果参数不好分离,或者分离后的另一端的函数不好求最值,可对参数分类讨论,探求参数在怎样的范围内能使不等式成立,能使不等式成立的参数所在区间的并集即为所求的参数的范围.-56-题型一题型二题型三题型四例10已知
16、函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x0时,g(x)0,求b的最大值.解:(1)f(x)=ex+e-x-20,等号仅当x=0时成立,所以f(x)在(-,+)上单调递增.(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g(x)=2e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).当b2时,g(x)0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-,+)上单调递增.而g(0)=0,所以对任意x0,g(x)0;-57-题型一题型二题
17、型三题型四-58-题型一题型二题型三题型四对点训练10已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a0.(1)求a的值;(2)若对任意的x0,+),有f(x)kx2成立,求实数k的最小值.-59-题型一题型二题型三题型四-60-题型一题型二题型三题型四-61-题型一题型二题型三题型四-62-1.常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图像的交点问题等.2.关于二次求导问题:(1)在讨论函数单调性时,要先研究函数的定义域,如果导函数值的符号不容易确定,可以对导函数再次求导判断出导函数的单调
18、性,通过导函数的零点来确定导函数值的符号,从而判断出原函数的单调性;(2)利用求导的方法可求出某一函数的最值,如果求出的最值仍然是含有变量的表达式,再确定这一表达式的最值时仍然需要求导.3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值.-63-4.所求问题如何转化成能利用导数解决的问题是关键.直接利用导数解决的问题一个是函数的单调性,一个是函数的极值或最值,所以应将具体问题通过等价转换(或构造函数),使所求问题转化成与单调性或函数的极值、最值有关的问题.感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
