1、线性代数下页结束返回一、初等变换一、初等变换二、初等矩阵二、初等矩阵三、求逆矩阵的初等行变换法三、求逆矩阵的初等行变换法初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性下页第第5 5节节 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵线性代数下页结束返回5.1 5.1 初等变换初等变换 交换第交换第i行与第行与第j行记为行记为rirj.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1 1-2 1 3 1-9 3 7r2r4 1 5-1-1 3 8-1 1 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵
2、的某两行交换矩阵的某两行(列列)；(2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.例如例如下页线性代数下页结束返回-1 1 3-1 交换第交换第i列与第列与第j列记为列记为cicj.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1c1c3 5-2-9 8-1 3 7 1 1 1 1 3例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)；(2)以数以数k
3、 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.线性代数下页结束返回 用数用数k乘以第乘以第i行记为行记为kri.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 14r2 4 4-812 1-1 5-1 1 3-9 7 3-1 8 1例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)；(2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)把矩阵的某一行把矩阵的
4、某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.线性代数下页结束返回 用数用数k乘以第乘以第i列记为列记为kci.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 14c3-4 412-4 1 5-1 1-2 3 1-9 7 3 8 1例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)；(2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.线性代数下页
5、结束返回 第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行记为行记为rj+kri.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1r3-3r1 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 0-7 2 4例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)；(2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.线性代数下页结束返回 第第i列的列的k倍加到第倍加到第j列记
6、为列记为cj+kci.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1c3+c1 0 2 4 2 1 5-1 1-2 3 1-9 7 3 8 1例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)；(2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.线性代数下页结束返回定理定理3 任意一个任意一个m n矩阵都可以经过一系列的初等变换矩阵都可以经过一系列的初等
7、变换化成下述形式化成下述形式00000000010000100001它称为矩阵它称为矩阵A的的标准形标准形（1的个数可以是零）的个数可以是零）.下页线性代数下页结束返回下页2101 000041-1 6r2r12 1 011 0 0-10 0 4 6r2-2r 10 1 031 0 0-10 0 4 61/4c30040101 0030 60060101 00004c4+c 1c4-3c 2例如：例如：0000101 00001c4-6c3线性代数下页结束返回 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）初等矩阵（或初等方
8、阵）.初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k)、E(j,i(k).=E(2,4)例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：1000010000100001E=0001100000100100r2r4=E(2,4)1000010000100001E=0001100000100100c2c4下页5.2 5.2 初等矩阵初等矩阵线性代数下页结束返回=E(3(4)1000010000100001E=00401000010000014 r3=E(3(4)1000010000100001E=00401000100000014 c3下页 定义定义2 对单位矩阵对单位
9、矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k)、E(j,i(k).5.2 5.2 初等矩阵初等矩阵例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：线性代数下页结束返回=E(2,4(k)1000010000100001E=010k100000100001r2+kr4=ET(2,4(k)1000010000100001E=10 000 001 000 1010kc2+kc4下页 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换
10、得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k)、E(j,i(k).5.2 5.2 初等矩阵初等矩阵例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：线性代数下页结束返回 初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.初等矩阵的可逆性初等矩阵的可逆性E(j,i(k)-1=E(j,i(-k).E(i(k)-1=E(i(k-1)；E(i,j)-1=E(i,j)；这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为:下页|E(j,i(k)|
11、=1=1.|E(i(k)|=k(k0)；|E(i,j)|=-1；线性代数下页结束返回E(1,2)A=与交换与交换A的第一行的第一行(列列)与第二行与第二行(列列)所得结果相同所得结果相同.AE(1,2)=例如例如，设设=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211100001010aaaaaaaaaaaa21a22a23a24a14131211aaaa34333231aaaa1000010000010010343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa12a22a32a312111aaa33
12、2313aaa342414aaa下页 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵，对对A施行一次初等行变换相当于施行一次初等行变换相当于用相应的用相应的m阶初等矩阵乘矩阵阶初等矩阵乘矩阵A；对对A施行一次初等列变换相当于施行一次初等列变换相当于用矩阵用矩阵A乘乘相应的相应的n 阶初等矩阵的转置矩阵阶初等矩阵的转置矩阵.线性代数下页结束返回=与第三行与第三行(列列)的的2倍加到第一行倍加到第一行(列列)所得结果相同所得结果相同.=例如例如，设设=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211100010201aaaaa
13、aaaaaaa31112aa+34333231aaaa1000010200100001343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa13112aa+23212aa+33312aa+322212aaa332313aaa342414aaaE(1,3(2)A=AET(1,3(2)=32122aa+33132aa+34142aa+24232221aaaa下页 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵，对对A施行一次初等行变换相当于施行一次初等行变换相当于用相应的用相应的m阶初等矩阵乘矩阵阶初等矩阵乘矩阵A；对对A施行一次初等列变换相当于施行一次初等列变换相当于用矩阵用矩阵
14、A乘乘相应的相应的n 阶初等矩阵的转置矩阵阶初等矩阵的转置矩阵.线性代数下页结束返回练练 习：习：010123001100456010?001789100=20112012010123001100456010?001789100=下页线性代数下页结束返回练练 习：习：010123001100456010001789100=20112012010123001100456010001789100=下页654321987456123789线性代数下页结束返回5.3 5.3 求逆矩阵的初等变换方法求逆矩阵的初等变换方法定理定理2 若若n阶矩阵阶矩阵A可逆，则可以通过可逆，则可以通过行行初等变换初等变换
15、将将A化为单位矩阵化为单位矩阵.证证：因为因为A可逆可逆,即即|A|0，所以，所以A的第一列不全为的第一列不全为0,不妨设不妨设a11 0.将将A的第一行元素乘以的第一行元素乘以1/a11,再将变换后的第一行的再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第倍加到第i行，行，i=2,3,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:1110,0BA=由定理由定理1 1知，知，121,mBFF F A=其中其中Fi是对应初等矩阵是对应初等矩阵.22100100BA=一直进行下去，最终把一直进行下去，最终把A化成了化成了单位矩阵单位矩阵E.同理可得同理可得B2:
16、下页 即即B2的第二行第二列元素化为的第二行第二列元素化为1,第二列的其它元素全化为零第二列的其它元素全化为零.线性代数下页结束返回 推论推论 方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等可以表示为有限个初等矩阵的乘积矩阵的乘积.下页 证证（必要性必要性）假设）假设A可逆，由定理可逆，由定理2，A经有限次初等行变换经有限次初等行变换可化为单位阵可化为单位阵E,即存在初等矩阵即存在初等矩阵 sF,F,F21使使 AFFFE12s=11111111121121121sssssAFF FEFFFFEFFFF-=而而 1111211,-ssFFFF是初等矩阵是初等矩阵.（充
17、分性充分性）如果）如果A可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以A是可逆矩阵是可逆矩阵.线性代数下页结束返回就是说，当通过初等行变换将矩阵就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成变成E时，经过同样的变换把时，经过同样的变换把E变成变成了了A-1.于是有于是有利用初等行变换求逆矩阵的方法利用初等行变换求逆矩阵的方法(要求：熟练掌握要求：熟练掌握)构造一个构造一个 n2n 矩阵矩阵(A|E)，对矩阵，对矩阵(A|E)作初等行变换，当作初等行变换，当左部左部A变成单位矩阵变
18、成单位矩阵E时，右部单位矩阵时，右部单位矩阵E则变成则变成A-1-1.即即 1A EE A-行初等变换下页EAPPPPmm=-121121(|)mmP PP P A E-121121(|)mmmmP PP PPPEPAP-=即若即若,则则1121,mmP PP PA-=而由而由1(|)E A-=1121-=APPPPmm,即即1121,mmP PP PEA-=1211(|)mmAP PP PEP-=线性代数下页结束返回例例1(法法2)2)求矩阵求矩阵A=的逆矩阵的逆矩阵.12-30 1210-512-30 1210-510 00 1000 1解解：1 0 1 1 0 0 0 1-2-2 1 0 0 2-2 3 0 1r2-2r1r3+3r1 1 0 1 1 0 0 0 1-2-2 1 0 0 0 2 7-2 1r3-2r2 1 0 0-2.5 1-0.5 0 1 0 5-1 1 0 0 2 7-2 1r2+r3r1-0.5r3 1 0 0-2.5 1-0.5 0 1 0 5-1 1 0 0 1 3.5-1 0.5，-2.5 5 3.5 1-1-1-0.5 1 0.5A-1=.(AE)=r30.5下页1A EE A-行初等变换
