1、平行四边形及其性质（一）一、教学目标1、理解并掌握平行四边形的定义2、掌握平行四边形的性质定理 1 及性质定理 23、理解两条平行线的距离的概念4、培养学生综合运用知识的能力二、重点难点和关键重点：平行四边形的概念和性质 1 和性质 2 难点：平行四边形的性质 1 和性质 2 的应用三、教学过程复习1、什么是四边形？四边形的一组对边有怎样的位置关系？2、一般四边形有哪些性质？3、平行线的判定和性质有哪些？ 新课讲解1、引入在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，如推拉门、汽车防护链、书本等，都是平行四边形，平行四边形有哪些性质呢？2、平行四边形的定义：（1） 定义：两组对边分别平行的四边形
2、叫做平行四边形。（2） 几何语言表述 ABCDADBC四边形 ABCD 是平行四边形（3） 定义的双重性具备“两组对边分别平行”的四边形，才是“平行四边形”，反过来，“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”性质。（4） 平行四边形的表示：用符号表示，如ABCD 3、平行四边形的性质（1） 共性：具有一般四边形的性质（2） 特性：（板书）角平行四边形的对角相等边平行四边形的对边相等推论 夹在两条平行线间的平行线段相等4、两条平行线的距离（定义略）注意：（1） 两相交直线无距离可言（2） 与两点的距离、点到直线的距离的区别与联系5、例题讲解教材 P例 1132已知：如图 ABBA，BCCB，C
3、AAC.求证：（1）ABC=B，CAB=A，BCA=C（2）ABC 的顶点分别是BCA各边的中点 说明：（1）引导学生利用平行四边形的性质（2）师生通过讨论共同写出解题过程6、巩固练习：（1） 在平行四边形 ABCD 中，A=500，求B、C、D 的度数。（2） 在平行四边形 ABCD 中，A=B+240，求A 的邻角的度数。1 / 100（3） 平行四边形的两邻边的比是 2：5，周长为 28cm，求四边形的各边的长。2 / 100（4） 在平行四边形 ABCD 中，若A：B=2：3，求C、D 的度数。（5） 如图，ADBC，AECD，BD 平分ABC，求证 AB=CE（6） 如图，在平行四边
4、形 ABCD 中，AE=CF，求证 AF=CEACBAEFDADBCBCBEA图（5）小结C图（6）1、平行四边形的概念。2、平行四边形的性质定理及其应用。3、两条平行线的距离。4、学法指导：在条件中有“平行四边形”你应该想到什么？ 作业：教材 P2（1）、（2） 3、4。141平行四边形及其性质（二）教学目的：1、知道平行四边形、两条平行线间的距离的概念；会说出并熟记平行四边形对角相等，对边相等的性质。2、会度量两条平行线间的距离；会利用平行四边形对边相等，对角相等的性质进行有关的论证和计算。3、在由点到直线的距离来定义两条平行线间的距离的过程中，让学生感受知识之间的联系和发展，培养灵活应用
5、所学知识解决问题的能力4、渗透从具体到抽象、化未知为已知的数学思想及事物之间相互转化的辩证唯物主义观点5、培养观察、分析、归纳、概括能力教学重点：两条平行线间的距离的概念平行四边形的进行有关的论证和计算。教学难点：探索、寻求解题思路教学方法：讨论法、启发法、发现法、自学法、练习法、类比法教学过程：1 复习：四边形的内角和、外角和定理？平行四边形的性质定理的内容2.讲解练一练：课本例 1 后练习第 1、2 题。猜一猜：如图 433， ，线段ABCDEF，且点A、C、E 在 上，B、D、说明和建议：要求学生在解答时先画出图形，写出应用平行四边形性质定理求解的过程F 在上，则 AB、CD、EF 的大
6、小相等吗？为什么？还能画出与 AB 等长的线段吗？试一试可以画出几条？问题：如图 4.33 中，线段AB、CD、EF 都与直线垂直，那么又可以得到说明和建议：学生不难猜得结论并加以证明，让学生经历合情推理到逻辑推理的思维过程。学生通过画图可以进一步感知：夹在两条平行线间的平行线段相等。什么结论？ 说明与建议：学生由 ABCDEF，得到 AB=CD=EF。教师接着可指出： 这说明夹在平行线间的垂线段相等。然后，引导学生理解两平行线间的距离的意义，即一条直线上的任一点到另一条直线的距离。量一量：在图 4.34 中，ABCD，量出 AB 与 CD 之间的距离。建议：要求学生先画出表示 AN、CD 间
7、距离的线段，再量出它的长度。例题解析例：(即课本例 1)说明：（1）因为图中的平行线段多，因此可引导学生用“化繁为简”的方法，从图 4.35（l）中分解出图（2）、（3）、（4）。（2） 在例中的第 2 小题，还可以用平行四边形性质定理 2 的推论来证明，证明如下：ABBA，BAAC，BA=AC（夹在两条平行线间的平行线段相等）。BCBC，ACBC，AC=BC（夹在两条平行线间的平行线段相等）。BA=BC点 B 是 AC的中点。同理可证 CA=BA，BC=AC。点 A、C 分别是 BC和 AB的中点。课堂小结 ：（师生合作总结）目前，关于平行四边形的知识中，由平行四边形，我们可以得到哪些隐含的
8、条件？（关于边和角的关系）（跟踪练习）1、在平行四边形 ABCD 中，AC 交 BD 于 O，则 AO=OB=OC=OD。（）2、平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等。（）3、平行四边形的两组对边分别。（创新练习）平行四边形的对角线和它的边，可以组成（）对全等三角形。（A）2（B）3（C）4（D）6（达标练习）1、已知 O 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点，AC=24mm,BD=38mm,AD=28mm,求三角形 OBC 的周长。2、如图，平行四边形 ABCD 中，AC 交 BD 于 O，AEBD 于 E，EAD=60， AE=2cm,AC+BD=14cm,求三角形 BOC 的
9、周长。3、已知：如图，平行四边形 ABCD 的一边 AB=25cm,对角线 AC、BD 相交于点 O， 三角形 AOB 的周长比三角形 BOC 的周长少 10cm,求平行四边形 ABCD 的周长。（综合应用练习）1、平行四边形的一条对角线与边垂直，且此对角线为另一边的一半，则此平行四边形两邻角的度数之比为（）（A）15（B）14（C）13（D）12平行四边形的性质及判定（复习课）教学目的：1、深入了解平行四边形的不稳定性；2、理解两条平行线间的距离定义（区别于两点间的距离、点到直线的距离）3、熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形性质定理 1、定理 2 及其推论、定理 3 和四个平行四边形判定定
10、理，并运用它们进行有关的论证和计算；4、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点，体验“特殊-一般-特殊”的辨证唯物主义观点。教学重点：平行四边形的性质和判定。教学难点：性质、判定定理的运用。 教学程序：一、复习创情导入平行四边形的性质：边：对边平行（定义）；对边相等（定理 2）；对角线互相平分（定理 3）夹在平行线间的平行线段相等。角：对角相等（定理 1）；邻角互补。平行四边形的判定：边：两组 对边平行（定义）；两组对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理 3）；一组对边平行且相等（定理 4）；两组对角分别相等（定理 1）二、授新1、提出问题：平行四边形有哪些性质：判定平行四
11、边形有哪些方法：2、自学质疑：自学课本 P79-82 页，并提出疑难问题。3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。4、反馈归纳：根据预习和讨论的效果，进行点拨指导。5、尝试练习：完成习题，解答疑难。6、深化创新：平行四边形的性质：边：对边平行（定义）；对边相等（定理 2）；对角线互相平分（定理 3）夹在平行线间的平行线段相等。角：对角相等（定理 1）；邻角互补。平行四边形的判定：边：两组 对边平行（定义）；两组对边相等（定理 2）；对角线互相平分（定理 3）；一组对边平行且相等（定理 4）；两组对角分别相等（定理 1）7、推荐作业1、熟记“归纳整理的内容”；2、完成练习卷；3、预
12、习：（1）矩形的定义？（2） 矩形的性质定理 1、2 及其推论的内容是什么？（3） 怎样证明？（4） 例 1 的解答过程中，运用哪些性质？思考题1、平行四边形的性质定理 3 的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知求证；2、如何证明性质定理 3 的逆命题？3、有几种方法可以证明？4、例 2 的证明中，运用了哪些性质及判定？是否有其他方法？5、例 3 的证明中，运用了哪些性质及判定？是否有其他方法？ 跟踪练习1、在四边形 ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，若 AO=1/2AC,BO=1/2BD,则四边形ABCD 是平行四边形。（）2、在四边形 ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，若
13、 OC=且,则四边形 ABCD 是平行四边形。3、下列条件中，能够判断一个四边形是平行四边形的是（）（A）一组对角相等；（B）对角线相等；（C）两条邻边相等；（D）对角线互相平分。创新练习已知，如图，平行四边形 ABCD 的 AC 和 BD 相交于 O 点，经过 O 点的直线交BC 和 AD 于 E、F，求证：四边形 BEDF 是平行四边形。（用两种方法）达标练习1、已知如图，O 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，EF 经过点 O，且与 AB 交于 E，与 CD 交于 F。求证：四边形 AECF 是平行四边形。2、已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点
14、O，M、N 分别是 OA、OC 的中点，求证：BMDN，且 BM=DN 。综合应用练习1、下列条件中，能做出平行四边形的是（）（A） 两边分别是 4 和 5，一对角线为 10；（B） 一边为 4，两条对角线分别为 2 和 5；（C） 一角为 600，过此角的对角线为 3，一边为 4；（D） 两条对角线分别为 3 和 5，他们所夹的锐角为 450。推荐作业1、熟记“判定定理 3”；2、完成练习卷；3、预习：（1） “平行四边形的判定定理 4”的内容 是什么？（2） 怎样证明？还有没有其它证明方法？（3） 例 4、例 5 还有哪些证明方法？平行四边形的判定（二）一、教学目的和要求使学生熟练掌握平行
15、四边形判定的五种方法，并通过定理，习题的证明提高学生的逻辑思维能力；进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联系。二、教学重点和难点重点：掌握平行四边形的判定定理； 难点：灵活恰当地运用判定定理。 三、教学过程（一）复习、引入提问：1. 平行四边形有什么性质?2. 我们学习了哪些平行四边形的判定定理？我们学习了利用“边”的条件来判定一个四边形是平行四边形，它是平行四边形边的性质定理的逆定理。那么平行四边形的对角及对角线的性质定理的逆命题是否成立呢？（二）新课平行四边形的判定定理 3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。已知：如图 1，四边形 ABCD 中A = C , B = D 。求证：
16、四边形 ABCD 是平行四边形。ADBC图 1分析：四边形的内角和是360 ，又知道对角相等，容易由同旁内角互补来证明两组对边分别平行。证明由学生完成。平行四边形的判定定理 4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知：如图 2，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点，且 AO= OC，BO = OD 。ADOBC求证：四边形 ABCD 是平行四边形。图 2分析、证明都可由学生讨论完成，最后指出用一组对边平行且相等来判定最为方便。例 1已知：如图 3，E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，且 AECF。求证：四边形 BFDE 是平行四边形。ADEOFBC图 3分析：已
17、知平行四边形可用平行四边形的性质，求证平行四边形要想判定定理，由于 E、F 在对角线上，显然用对角线互相平分来判定。证明：连结 BD 交 AC 于 O。Q平行四边形ABCD OA = OC , OB = ODQ AE = CF AO - AE = OC - CF即 EO = OF四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）这道题，还可以利用 DABE DDFC , DAED DCFB 用对边相等或平行来判定平行四边形，相比之下使用对角线较简便。例 2已知：如图 4， DEAC , BFAC , DE = BF。且ADB = DBC求证：四边形 ABCD 是平行四边形。DCF
18、21EAB图 4分析：1. 由于ADB = DBC ，所以 AD/BC，只要再证 ADBC 即可。2. 由于 DE 平行且等于 BF，可证 DB 与 EF 互相平分，但要使 DB 与 AC 互相平分，还需证 AECF。经过比较两种证法，第一种较简便。证明：QADB = DBC AD / BC 1 = 2Q DEAC , BFACDEA = CFB = 90又Q DE = BFDADE DCBF AD = BC四边形ABCD是平行四边形。（三）巩固练习1. 如图 5，四边形 AECF 是平行四边形， B = D 。求证：四边形 ABCD 是平行四边形。分析： B = D 已经使四边形 ABCD
19、有一组对角相等了，所以应该再考虑的第二个条件是证明另一组对角相等。D FCAE B图 5证明：Q四边形AECF是平行四边形 CF / AEDCB + B = 180 , DAB + D = 180QD = B DCB = DAB四边形ABCD是平行四边形。由于 D、B 点分别是原平行四边形 AECF 对边 AE、CF 延长线上的点，所以可得 CD/AB，只要再证 AD/BC 即可。2. 如图 6，平行四边形 ABCD 中，BEDF，AGCH。求证：四边形 GEHF 是平行四边形。此题与例 1 有相似之处，可以用两种判定方法来判定平行四边形都较简便。A1DGFEOH 2BC图 6证法（一）：连结
20、 EF 交 AC 于点。Q平行四边形ABCD AB平行且等于CDQ EB = DF AE平行且等于CF四边形AECF是平行四边形 EO = OF , AO = CO又Q AG = CH ,OG = OH四边形GEHF是平行四边形。证法（二）：Q AE平行且等于CF 1 = 2又Q AG = CH DAEG DCFH EG = HF , AGE = CHF180 - AGE = 180 - CHF即: EGH = FHG EG / FH四边形GEHF是平行四边形。（四）小结性平行四边形判质定两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等两组对角分别相等对角线互相平分我们学习了平行四边形的定义
21、，性质、判定、画法。平行四边形的性质和判定尤为重要，同学们要掌握好。希望同学们在证明每一道题时，认真分析已知条件，有些题可能是一题多解， 比较一下使用哪种判定方法最简便。往往是已知条件最集中的地方，就是解决问题的突破口。（五）作业1. 已知：AC 是平行四边形 ABCD 的对角线， BMAC于M , DNAC 于 N。求证：四边形 BMND 是平行四边形。2. 如图 7，BD、CE 互相平分于 M，A、B、C 在同一直线上，且 ABBC。求证：AE/BD。图 7ADMNOEFBC3. 已知：如图 8，平行四边形 ABCD 中，AEBD , BMAC , CNBD , DFAC 。求证：MN/E
22、F。图 8ADFE4. 已知：如图 9，AB/DC， ABC = ADC ，AECF，BEDF。求证：EF 与 AC 互相平分。BC图 9矩形的性质（一）教学目标1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题3、渗透运动联系、从量变到质变的观点 教学重点和难点重点是矩形的性质；难点是性质的灵活运用 教学过程设计一、用运动方式探索矩形的概念及性质1、复习平行四边形的有关概念及边、角、对角线方面的性质2、复习平行四边形和四边形的关系3、用教具演示如图4-29 中，从平行四边形到矩形的演变过程，得到矩形的概念，并理解矩形与平行四边形的关系分析：
23、（1） 矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程（2） 矩形只比平行四边形多一个条件：“有一个角是直角”，不能用“ 四个角都是直角的行四边形是矩形”来定义矩形（3） 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性）， 还具有它自己特殊的性质（个性）（4） 从边、角、对角线方面，让学生观察或度量猜想矩形的特殊性质边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质定理 1 等价）角：四个角是直角（性质定理 1）对角钱：相等且互相平分（性质定理 2） 4、证明矩形的两条性质定理及推论引导学生利用矩形与平行四边形的从属关系、矩形的概念以及全等三角形的知识，规范证明两条性质定理及
24、推论指出：推论叙述了直角三角形中线段的倍分关系，是直角三角形很重要的一条性质二、应用举例例 1 已知：如图 4-30，矩形 ABCD，AB 长 8 cm ，对角线比 AD 边长 4 cm求 AD 的长及 A 到 BD 的距离 AE 的长分析：（1） 矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质， 在此可以让学生作一个系统的复习，在直角三角形中，边：角：两锐角互余.边角关系：30角所对的直角边等于斜边的一半。（2） 利用方程的思想，解决直角三角形中的计算。设 AD=xcm, 则对角线长（x+4） cm, 由题意，x2+82=(x+4)2.解得 x=6.（3） “直角三角形斜边上
25、的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AEDB ADAB，解得 AE 4.8cm例 2 如图 431（a），在矩形 ABCD 中，两条对角线交于点 O,AOD 120， AB 4求：（1） 矩形对角线长；（2）BC 边的长;（3）若过 O 垂直于 BD 的直线交 AD 于 E， 交 BC 于 F（图 4-31（b）求证： EFBF， OF=CF；（4）如图 4-31（c）， 若将矩形沿直线 MN 折叠，使顶点 B 与 D 重合，M，N 交 AD 于 M，交 BC 于 N求折痕 MN 长分析：（1） 矩形ABCD 的两条对角线AC，BD 把矩形分
26、成四个等腰三角形，即AOB，BOC，COD 和DOA让学生证明后熟记这个结论，以便在复杂图形中尽快找到解题的思路（2） 由已知AOD 120及矩形的性质分解出基本图形“含 30角的直角三角形”，经过计算可解决（2），（3）题（3） 第（4）题是用“折叠”方式叙述已知，利用轴对称的知识可以得到：折痕 MN 应为对角线 BD 的垂直平分钱，即为第（3）题中的 EF.根据第（3） 题结论：MNBC2NC=例 3 已知：如图 4-32（a），E 是矩形 ABCD 边 CB 延长线上一点， CE CA， F 为 AE 中点求证：BFFD证法一如图 432（a），由已知“CE=CA，F 为 AE 中点”，
27、联想到“等腰三角形三合一”的性质.连结 FC，证明1+2=90，问题转化为证明1=+3，这可通过AFDBFC（SAS）来实现.证法二如图 4-32（b），由求证“BFFD”联想“等腰三角形三线合一”， 构造以 DF 为底边上高的等腰三角形，分别延长BF，DA 交于 G，连结BD，转化为证明BDG 为等腰三角形以及 F 为 GB 中点，这可通过AGFEBF（ASA）及GD=EC=AC=BD 来实现。三、师生共同小结矩形与平行四边形的关系，如图 4-33.指出由平行四边形得到矩形，只需要增加一个条件：一个角是直角.矩形的概念及性质。矩形中常利用直角三角形的性质进行计算和证明。四、作业：课本第 14
28、9 页 2，4 题，第 160 页第 2，5 题。补充题：1、如图 4-34，E 为矩形ABCD 对角线AC 上一点，DEAC 于E，ADE: EDC=2:3,求：BDE 的度数.(答：18)2、如图 4-35，折叠矩形 ABCD 纸片，先折出折痕 BD，再折叠使 A 落在对角线 BD 上 A位置上，折痕为 DG。AB=2，BC=1。求：AG 的长。（答 5-12）。矩形的性质（二）教学目的：1、理解并掌握矩形的定义；掌握矩形的性质定理 1、2 及推论；3、会用这些定理进行有关的论证和计算；2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互
29、区别的辨证唯物主义观点。教学重点：矩形的性质定理 1、2 及推论。教学难点：定理的证明方法及运用。教学方法：讨论法、启发法、发现法、自学法、练习法、类比法。教学用具：小黑板、投影仪、圆规、三角板、矩形木架一个。一、复习创情导入1、复习：（1） 平行四边形的对角相等；（2） 平行四边形的对角线互相平分；？矩形的角有什么特点呢？矩形的对角线有什么特点呢？ 二、授新1、提出问题（1） 矩形的定义？（2） 矩形的性质定理 1 的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明（3） 矩形的性质定理 2 的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明（4） 矩形的性质定理的推论的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明？（5）
30、 例 1 的解答过程中，运用哪些性质？2、自学质疑：自学课本 P83-85 页，完成预习题，并提出疑难问题。3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。4、反馈归纳：(1)矩形的定义：它具备两个性质（） (2)矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角。已知：在矩形 ABCD 中，A=900，求证：B=C=D=900。（邻角互补） (3)矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等。已知：矩形 ABCD，对角线 AC、BD， 求证 AC=BD。（证明三角形全等）(4)推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。1已知：直角三角形 ABC 中，B=900，OA=OC，求证：OB= 2 AC。5、
31、尝试练习：(1) 跟踪练习 14。(2) 运用所学解决实际问题：例 1：已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，AOD=1200，AB=4cm， 求矩形对角线的长。解：四边形 ABCD 是矩形，所以 AC=BD（矩形的对角线相等） 又因为 OA=OC=1/2BD，所以 OA=OD。所以AOD=1200，所以ODA=OAD=1/2（1800-1200）=300。又因为DAB=900（矩形的四个角都是直角） 所以 BD=2AB=24cm=8cm.（3） 跟踪练习 5。（4） 达标练习 14。6、深化创新：通过今天的学习：（1） 矩形的判定有什么依据？（定义：有一个角是直角的平行四边形
32、）（两个条件）（2） 矩形有哪些性质？（矩形是平行四边形（定义）定理 1：矩形的四个角都是直角。定理 2：矩形的对角线相等。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。7、推荐作业：（1） 矩形性质定理 1 的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知、求证；（2） 如何证明？（3） 矩形性质定理 1 的逆命题是否是真命题？根据题设和结论写出已知、求证；（4） 如何证明？（5） 例 2 的解答中，运用了哪些性质及判定？ 预习思考题：（1） 矩形的定义？（2） 矩形的性质定理 1 的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明？（3） 矩形的性质定理 2 的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明？（4）
33、矩形的性质定理的推论的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明？（5） 例 1 的解答过程中，运用哪些性质或判定？跟踪练习题：（1） 矩形的定义中有两个条件：一是，二是。（2） 有一个角是直角的四边形是矩形。（）（3） 矩形的对角线互相平分。（）（4） 矩形的对角线。（5） 矩形的一边长为15cm，对角线长17cm，则另一边长为，该矩形的面积为。创新练习题：（1） 矩形的对角线把矩形分成（）对全等的三角形。（A）2（B）4（C）6（D）8 达标练习题：（1） 已知矩形的一条对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 600，则矩形的边长分别为、。（2） 已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 300，
34、则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、。（3） 矩形的两条对角线的夹角为 600，对角线长为 15cm，较短边的长为（） (A)12cm(B)10cm(C)7.5cm(D)5cm（4） 在直角三角形 ABC 中，C=900，AB=2AC，求A、B 的度数。综合应用练习：（1） 已知：矩形 ABCD 中，BC=2AB，E 是 BC 的中点，求证：EAED。（2） 如图，矩形 ABCD 中，AB=2BC，且 AB=AE，求证：CBE 的度数。推荐作业：1、熟记定义、性质；2、完成练习卷；3、预习：（1） 矩形性质定理 1 的逆命题是否是真命题？ 根据题设和结论写出已知、求证；如何证明？（2
35、） 矩形性质定理 1 的逆命题是否是真命题？ 根据题设和结论写出已知、求证；如何证明？（3） 例 2 的解答中，运用了哪些性质及判定？矩形的性质（三）一、教学目的和要求使学生掌握矩形的定义和性质，理解并掌握矩形和平行四边形的联系和区别，使学生能应用以上知识解决有关问题，培养学生的逻辑推理能力。二、教学重点和难点重点：掌握矩形的性质难点：利用矩形的性质解决问题三、教学过程（一）复习、引入提问：1. 什么叫平行四边形？（学生回答后强调任何定义都具有可逆性，即是定义，又是判定。）2. 叙述平行四边形的性质和判定定理，（再强调分析命题的条件与结论的关系）。（二）新课这一节课我们要研究特殊的平行四边形。
36、演示教具，使平行四边形的一个内角变化成直角，指出，它仍然满足平行四边形的定义，所以它仍是平行四边形， 由于角特殊，因此是特殊的平行四边形矩形。（板书课题）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是平行四边形，但角特殊，它首先具有平行四边形的一切性质，还具有本身的特殊性质。下面我们来进一步研究矩形的其他性质。如图 1，矩形 ABCD 中， BAD = 90ABC = BCD = CDB = BAD = 90在DABC和DDCB 中，ABDC， ABC = DCB ，BCBC DABC DDCB AC = BD OA = OC , OB = OD AO = OC = BO = ODADO这
37、样我们很容易得到矩形除平行四边形性质之外的两条性质，它与矩形的角和对角线有关，与边无关。BC图 1矩形性质定理 1：矩形的四个角都是直角。矩形性质定理 2：矩形的对角线相等。从上图中我们可以看到由于矩形的四个角是直角，所以有四个全等的直角三角形；由于矩形的对角线互相平分且相等，所以图形中不存在四个等腰三角形。在用好矩形性质的同时，也要注意用好特殊三角形的性质。同时得到推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。AD1F2例 1已知：如图 2，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，DFAE 于 F，若 AE = BC 。求证：CEEF。BE C图 2分析：CE、EF 分别是BC，AE 等线段
38、上的一部分，若 AFBE，则问题解决， 而证明 AFBE，只要通过DABE DDFA ，在矩形中容易构造全等的直角三角形。证明：矩形ABCDB = 90 AD / BC 1 = 2DFAEDFA = 90B = AFD在DABE和DDFA中1 = 2 B = DFA AD = AEDABE DDFA AF = BE EF = EC此题还可以证明DDEF DDEC ，得到 EFEC例 2已知：如图 3，矩形 ABCD 中， AEBD 于 E，且DAE = 3BAE 。求： CAE 的度数。分析： 由已知 DAE = 3BAE 可得 BAE = 22.5 , DAE = 67.5 。而所求ADOE
39、BCCAE 是EAD 的一部分，就要研究OAD 与其它角的关系。因为 OAOD，所以OAD ADB 。把题目中的已知条件 AEBD ，与矩形的性质BAD = 90 结合起来，得到基本图形直角三角形斜边上的高的形式，可以推出BAE = ADB ， 于是得到OAD = BAE = 22.5 ，求CAE 的度数也就显然了。图 3 解：Q矩形ABCDBAD = 90Q AEBDBAE + EAD = EAD + ADB = 90BAE = ADBQ AC = BD , OA = 1 AC , OD = 1 BD22 OA = ODOAD = ADOBAE = OADQDAE = 3BAEDAE = 6
40、7.5OAD = 22.5BAD = 90BAE = 22.5EAC = DAE - OAD = 45例 3已知：如图4，矩形ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O，EF 过 O 点交 AD 于E，交 BC 于 F，且 EFBF， EFBD 。求证：CFOF。A ED31O24B FC图 4分析：欲证 CFOF，只要FCO = FOC ，由矩形可知FCO = FBO 。由OF = 1 BFRtDBOF RtDDOE ，可得到 OEOF，又因为 EFBF，有2，由于EF BD ，于是FBO = 30 , 进一步BOC = 120 ，又有BOF = 90 ，FOC = FCO = 30证明：Q
41、矩形ABCD ， OB = OD AD / BC 1 = 2 , 3 = 4DEOD DFOB OE = OF = 1 EF2Q EF = BF OF = 1 BF2又Q EF BDFBO = 30Q BD = AC , OB = 1 BD , OC = 1 AC22 OB = OC OCB = OBF = 30BOC = 180 - OBF - OCB = 120COF = BOC - FOC = 120 - 90 = 30COF = OCF CF = OF（三）巩固练习1. 如图 5，在矩形 ABCD 中， DE CE , ADE = 30 , DE = 4 ，求这个矩形的周长。（答案：1
42、6 43 ）ADCDOAEBBEC图 5图 6在矩形中若存在矩形对角线，那就一定要利用矩形对角线的性质，即相等又平分，转化成等腰三角形，利用等边对等角的性质。2. 已知：如图 6，矩形 ABCD 中，AE 平分BAD 交 BC 于 E，若CAE = 15求： BOE 的度数。（提示：要充分利用等腰 RtDABE ，等边DAOB 的性质） 解：矩形 ABCD，AE 平分BADBAE = 1 BAD = 45 2QCAE = 15BAC = 60Q OA = OBDAOB是等边三角形 AB = OB , ABO = 60QABC = 90Q AEB = 90 - BAE = 45 AB = BE OB = BEOBE = ABE - ABO = 30BOE = 1 (180 - 30) = 752（四）小结今天我们主要学习了矩形的定义及性质，矩形是角特殊的平行四边形，决定了矩形的四个角都是直角，对角线相等。由于矩形的对角线把矩形分割成直角三角形，等腰三角形，所以我们还要把直角三角形，等腰三角形，等边三角形的性质、判定好好复习一下，这对于解决矩形问题是大有好处的。（五）作业1. 已知：矩形 ABC
