1、第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识 测量误差概述 衡量精度的标准 等精度观测值的算术平均值及 精度评定 误差传播定律及其应用 加权平均值及其中误差 第五章学习重点第五章学习重点 1.衡量精度的标准。 2.用最或然误差求观测值的中误差。 3.一般函数求中误差的公式。 5-1 测量误差概述测量误差概述 误差的概念误差的概念 真值真值能代表观测量真实大小的值； 观测值观测值通过观测获得的观测量的值； 误差误差观测值与理论值之间的差值， i=Li-X(真误差)。 误差来源误差来源 仪器：由于设计、制造上的不完善，或检校后存在的残 余误差，给观测值带来的误差。 人：由于人的生理局限，技术
2、水平的高低和工作态度， 给观测值带来的误差。 外界条件：由于外界条件如温度、湿度、风力等的变化， 给观测值带来的误差。 观测条件观测条件 等精度观测与非等精度观测等精度观测与非等精度观测 误差的分类误差的分类 系统误差系统误差 在相同的观测条件下进行一系列观测，如果误差出现的 符号和大小具有确定性的规律，这种误差称为系统误差。 系统误差具有累积性累积性和可消减性可消减性。可以在观测前采取有 效的预防措施、观测时采用合理的方法 ，观测后对观测 结果进行必要的计算改正，以尽量消除或减弱系统误差的 影响。 偶然误差偶然误差 在相同的观测条件下进行一系列观测，如果单个误差出 现的符号和大小都表现出偶然
3、性，但多次观测的误差总体 上具有一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。 任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还包含 粗差（错误或超限）。 当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱到最 小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从而把观测值 和偶然误差都当作随机变量，用概率统计的方法来研究。 偶然误差的分布偶然误差的分布 一定的观测条件，对应着一个确定的分布。 偶然误差服从数学期望为的正态分布， 即(0,2) y=(nb/n)/d y=f( ) 1.0 0 2.0 3.0 -1.0 -2.0 -3.0 d 0.2 0.4 Sn 偶然误差的统计特性偶然误差的统计特性 在一定观测条件下，偶然
4、误差的绝对值不超 过一定的限值； 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现 的机会大； 绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相 等； 当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平 均值趋近于零。 0 lim n n 5-2 衡量精度的标准衡量精度的标准 中误差：用来反映误差分布的密集或离散程 度的量，其大小为该组观测值所对应的标 准差的近似值。 由真误差计算中误差的公式 容许误差：测量中规定的误差的限值，通常 取中误差的三倍或两倍作为限差。 相对误差：绝对误差与观测值的比值，并将 分子化作1的分数。 n m 5-3算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 算术平均值 算术平均值的中误差 观测值的中误差
5、 由观测值的真误差计算中误差 改正数的概念 由观测值的改正数计算中误差 实例 观测值的中误差观测值的中误差 由观测值的真误差计算中误差 其中 改正数的概念 由观测值的改正数计算中误差 （2）+（3），得 令算术平均值的真误差为 则有 )1( n m )2(Xli i )3( ii lxV XxVi i )4(Xx x )6(2 2 2 2 xx xx xii n V n VV n nVVV V (5)(5) 观测值的中误差观测值的中误差 由（3）可知（5）中 =0 所以有 1 11 )( 1 2 22 2 2 2 1, 2 1 2 2 2 21 2 2 2 n VV m n m m n VV
6、m n m n ，n nnn nn Xl X n l Xx n VV n xx n ji ji n i inx x x ji 中误差由改正数计算观测值的 于是有上式右端第二项趋于零无限增大时当 而 (5)(5)式式 实例 设对某角同精度观测6测回，观测值见下表。试求 该角的最或然值、观测值中误差和最或然值中误差。 （计算在表格中进行，注意检核。） 6 . 2 1 n vv m 1 . 1 ) 1( nn vv M 编号 观 测 值 精度评定 1 752126 0 0 2 752124 +2 4 3 752123 +3 9 4 752125 +1 1 5 752128 -2 4 6 752130
7、 -4 1 辅助 计算 x=752126 V=0 VV=34 KD M1 均 5-4 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用 误差传播定律误差传播定律 阐述观测值的中误差与观测值函数中误差之间关 系的定律。 线性函数的误差传播定律 非线性函数的误差传播定律 误差传播定律在测量中的应用举例误差传播定律在测量中的应用举例 水准测量的精度 距离测量的精度 水平角测量的精度 根据实际要求确定观测精度和观测方法 误差传播定律（线性函数）误差传播定律（线性函数） 222 2 2 2 2 1 2 1 222 2 2 2 2 1 2 1 2 1, 1, 222 2 2 2 2 1 2 1 2 )()( 22
8、 )( 11 (r) tt2211 0tt2211 0 )2 , 1( 有次n值进行假若对,KKK=Z则有 KxKxKxK=Z,个独立t设 ttz iiz ji t ji ji ji t ji jitt r tt rr mKmKmKm mKmKmKm KK KKKKK ，n nrkkk ji ji 有 其中 得个式子平方后求和将上列 观测，该组观测 观测值的线性函数 误差传播定律（线性函数）误差传播定律（线性函数） 两种特殊情况 (1)设Z是一组同精度独立观测值的代数和， 该组观测值的中误差均为m，即 Z=x1x2.xn 则 (2)对某量同精度观测n次，则其算术平均值为 设观测值的中误差为m，
9、 则观测值的算术平均值中误差为 nmmz )( 1 21n lll n x n m mx 误差传播定律（非线性函数）误差传播定律（非线性函数） 设t个独立观测值的非线性函数 z=（x1,x2xt） 对该式求全微分，并用真误差代替微分量，有 再利用线性函数的误差传播定律公式，可得 t t x f x f x f 2 2 1 1 222 2 2 2 2 1 2 1 )()()( t t m x f m x f m x f m 误差传播定律（非线性函数）误差传播定律（非线性函数） mmmD mm D h D S m dh D h dS D S dh hS h dS hS S dh h f dS S
10、f dD hSD mhSD mm hS D 5922.29 5 50)0685 . 0 (30023. 1 )()( 922.2905. 2992.29 0 2222 2 2 0 2 2 0 0 00 2222 0 22 0 2222 0 即 于是 求全微分，得对 例: 设沿倾斜面上A、B两点间量得距离S=29.992m3mm,并测得两点 之间的高差h=2.05m50mm。试求水平距离D0及其中误差mD0。 误差传播定律（非线性函数）误差传播定律（非线性函数） 设对下图中的三角形测得=50055010， =89434020,b=150.00m0.05m; 试求a边的长度及其 中误差ma。 解:
11、 为便于对 求全微分,先对其取自然对数,得 Ina=Inb+Insina-Insin,然后对上式求全微分,有 统一单位后，则有 即ma=0.04m a=115.07m0.04m mba07.115 999989. 0 767134. 0 00.150 sin sin sin sin ba dctgdctg b db a da 2 2222222 2 2 2 00156. 0 )()( m m ctga m ctgam b a m b A B C a b 运用误差传播定律的方法运用误差传播定律的方法 （1）建立函数Z=（x1,x2,xt） （2）对于独立观测值的线性函数，可直接 应用误差传播定律
12、公式；若自变量中有非 独立观测值，应变换成独立观测值的线性 函数后，再应用误差传播定律。 （3）对非线性函数，必须通过求其全微分 化成线性形式。 （4）连乘连除的非线性函数，可先取对 数，再求全微分。 （5）注意统一单位。 误差传播定律在测量上应用举例误差传播定律在测量上应用举例 (1)水准测量水准测量的精度的精度 设对A、B两水准点间的高差h施测了n个测站， 则 hAB=h1+h2+hn 若各测站观测的精度相同，其中误差均为m站， 则 设各测站的S大致相等，A、B间的距离为L， 则测站数 如果L、S均以千米为单位，则 为1Km观测高 差的中误差，令 n 站 mmh S L n S 1 m站
13、L S kmhKm m m 1 m m 则有站 误差传播定律在测量上应用举例误差传播定律在测量上应用举例 (2)距离丈量距离丈量的精度的精度 若用长度为l的钢尺量距，连续丈量n个整尺段， 设全长为D，则D=l1+l2+ln 设每尺段的量距中误差为ml 则 其中 是定值，为单位长度的量距中误差。 即 D l m l D l ll m = nm=mD l m m l DmmD 误差传播定律在测量上应用举例误差传播定律在测量上应用举例 (3)水平角测量水平角测量的精度的精度 DJ6级经纬仪一测回方向值中误差为m方=“ 角值是两个方向值之差，故一测回角值中误差为 设n边形各内角均观测一测回，其闭合差为
14、 =(1+2+n)-(n-2)1800 n边形闭合差的中误差为 取三倍中误差为容许误差，则多边形闭合差的容许误差为 一般取 或 5 . 8262mm 方 nnmm 5 . 8 nmf5 .253 n4 2 n0 4 误差传播定律在测量上应用举例误差传播定律在测量上应用举例 (4)根据实际要求确定观测精度和观测方法根据实际要求确定观测精度和观测方法 设对某三角形观测了及，若角以3 的精度观测， 为使r角的中误差5，问应以怎样的精度进行观测？ 若使用J6级经纬仪应测几测回？ 根据误差传播定律，有 J6级经纬仪一测回测角中误差为8.5 ， 若观测n个测回，角平均值的中误差为 则有 即角应测5测回。
15、a 180:解 4 222 mmmmr所以 2 2 4 5 . 8 n 5 4 5 . 8 2 2 n A B C 不等精度观测不等精度观测 不同观测条件下的一组观测。误差小，精度高，所占 比重（权权）大，反之亦然。 权权 定义式：设pi表示观测值Li的权，则 式中为任意常数，在确定同一组观测值的权pi时，必须 采用同一个值。 几个概念几个概念 单位权：等于的权。 单位权观测值：权为的观测值。 单位权中误差：权为的观测值的中误差()。 nn nn lppp lplplp p pl x 21 2211 加权平均值 5-4 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差 2 2 i i m p 例：已知
16、L1的中误差m1=mm， L的中误差m=mm， L的中 误差m=mm。求各观测值的权。 解： 若设 = m1 =mm，则， 若设 = mm，则， 上述两组权 单位权中误差的计算公式（见下页） ; 25 9 )5( ) 3( ; 16 9 )4( )3( 1 )3( )3( 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 m p m p m p ; 25 1 )5( ) 1( ; 16 1 )4( ) 1( ; 9 1 )3( ) 1( 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 m p m p m p 36. 0:56. 0:1: 32132
17、1 pppppp 1 )( n pvv 单位权中误差的计算公式 等精度观测中，算术平均值 的中误差 ，依权定义式 得L的权为n；类似地可知，不等精度观测，权为pi的观测值li等同于pi个 等精度观测值的算术平均值，即： ，可建立与等精度观测的联系可建立与等精度观测的联系。 构造 证明：因为 结论：任何一个观测值只要乘上其权pi的平方根，所得的虚拟观 测值Li的权都为，即Li的权都是单位权，它们的中误差就是单 是单位权中误差。这组虚拟观测值Li的真误差可按 求得： n m M i i p l l iii pll n l L 1 ; 2 2 2 2 2 2 2 222 i ilil l i lli
18、liii p pmpm p p mmpmpll ii i iii )2 , 1(nipll iii )2 , 1(nip iii 单位权观测值，这样的单位权观测值有n个。 因为它们都是同精度观测的中误差，所以按中误差的定义式得 用用真误差真误差计算计算单位权中误差的公式单位权中误差的公式 用改正数计算用改正数计算单位权中误差的公式单位权中误差的公式 带权平均值的中误差计算公式带权平均值的中误差计算公式 带权平均值的权等于各观测值的权之和。 n p n ppp nn )( 22 22 2 11 1 )( n pvv p mx 例：C=1Km，表示1Km水准路线高差观测值的权为单位权。 水准 路线
19、 已 知 点 已知点 高程 (m) 观测高差 (m) 结点D 高程 (m) 路线长 （Km） 权 P=c/Li (c=1) =L-li (mm) PVV 备注 21.645 25.530 21.398 +1.038 -2.830 +1.282 22.683 22.700 22.680 2.5 4.0 2.0 0.40 0.25 0.50 +2.4 -14.6 +5.4 2.30 53.29 14.58 1.15 +0.01 70.17 L3 h3 h2 h1 L1 L2 )(5 . 5 15. 1 9 . 5 )(9 . 5 13 17.70 )(6854.22 15. 1 680.225 .
20、 0700.2225. 0683.224 . 0 mmm mm mmH HD D 加权平均值 水果 苹果 桃 香蕉 物重(Kg) 5 3 8 单价(元) 2.30 1.50 4.00 求平均每 Kg 的水果价格？ P0=PL/P=(5*2.30+3*1.5+8*4.00)/(5+3+8)=3.00(元) 作业作业土木工程土木工程 P99 1、8、9、11 谢谢 谢谢 ！ 作业作业工程管理工程管理 P81 1、8、9、11 谢谢 谢谢 ！ 第五章学习方法指导 学习重点： 1.衡量精度的标准。 2.用最或然误差求观测值的中误差。 3一般函数求中误差的公式。 学习要求和方法： 5-1节的内容是对2-
21、5、3-8和4-3各节的总结和归纳，二，三，四各章中测量 方法的规定，都是为了消除测量过程中的系统误差和减小偶然误差对测 量结果的影响。偶然误差的四个特性就是测量误差在统计学上的规律。 5-2节中误差的定义一定要记住。中误差是我们衡量精度的主要标准，是以 后各节求观测值函数之中误差的基础。 5-3节求算术平均值的方法是大家所熟知的方法算术平均值比任一个观测值 都要接近于真值。另外，一个量的真值通常是不易知道的，所以真误差 也就无法求得，因此用5-4节求观测值之中误差的公式是最常用的公式。 对5-5节观测的真误差之关系式，可以与高等数学中函数与自变量间之微分 关系式联系起来，这里将自变量的增量当作观测值的真误差和函数的真 误差。知道了真误差，再按中误差的定义求其中误差。 为了加深理解，一定要自己动手作一些习题。在求观测值函数的中误差时， 首先要列出函数的关系式，关系式中的各个自变量必须是互相独立的观 测值，然后再一步步的分析，最后应用基本公式求出其中误差。
