1、第二节第二节 齐次线性方程组齐次线性方程组 判定判定一、线性方程组有解的一、线性方程组有解的 二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法 三、小结、思考题三、小结、思考题 一、齐次线性方程组有解的判定条件 的解的解组组 的秩，讨论线性方程的秩，讨论线性方程如何利用系数矩阵如何利用系数矩阵 0 Ax A问题问题： ： 引例引例 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 034 0222 022 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解解 3411 2212 1221 A 4630 4630 1221 施行的初等行变换：施行的初等行变换：同时记录对系数矩阵同时记录对系数矩阵A )1
2、( )2( 13 12 r r 034 0222 022 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx - 2 ， - ，得，得 0463 0463 022 432 432 4321 xxx xxx xxxx 消元法来解此方程组，消元法来解此方程组，利用利用Gauss 4630 4630 1221 0463 0463 022 432 432 4321 xxx xxx xxxx 0000 3 4 210 1221 ) 3 1 ( )1( 2 23 r r - ， 得得 ) 3 1 ( 0 3 4 21 022 432 4321 xxx xxxx 说明第说明第3 3个方个方 程是多余
3、的程是多余的！ 说明什么说明什么 问题？问题？ 0000 3 4 210 1221 )2( 21 r 0000 3 4 210 3 5 201 0 3 4 2 0 3 5 2 432 431 xxx xxx 得，得， 2 行最简形行最简形 矩阵矩阵 0 3 4 21 022 432 4321 xxx xxxx 即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 , 0 3 4 2 , 0 3 5 2 432 431 xxx xxx 移项即得移项即得 , 3 4 2 , 3 5 2 432 431 xxx xxx ).,( 43 xx称称自由未知量自由未知量 , 3 4 2 , 3 5 2 2
4、12 211 ccx ccx 形式形式，把它写成通常的参数，把它写成通常的参数令令 2413 ,cxcx . 1 0 3 4 3 5 0 1 2 2 21 4 3 2 1 cc x x x x 即原方程组的解为即原方程组的解为 ),( 21 可取任意实数可取任意实数参数参数cc ,01 213 ccx ,10 214 ccx .)( . 0 个参数个参数表达式中含有表达式中含有 且通解且通解矩阵的秩矩阵的秩的充分必要条件是系数的充分必要条件是系数 有非零解有非零解元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Arn nAr xAn nm 证证 必要性必要性. . , , n D n A n A r 阶非零
5、子式阶非零子式 中应有一个中应有一个 则在则在 若若 , 根据克拉默定理根据克拉默定理 个方程只有零解个方程只有零解 所对应的所对应的 n D n 从而从而 有非零解，（反证）有非零解，（反证）设方程组设方程组0 Ax 定理定理1 1 方程组的通解方程组的通解 组的任一解，称为线性组的任一解，称为线性定义：含有参数的方程定义：含有参数的方程 于是，有于是，有 这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾， . n A r 即即 不能成立不能成立nAr )( 充分性充分性. . , n r A r 设设 . 个自由未知量个自由未知量 从而知其有从而知其有 r n 任取一个自由未知量为，
6、其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为， 即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解 . 个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含则则rA .证毕证毕 为求齐次线性方程组的解，只需将为求齐次线性方程组的解，只需将系数矩系数矩 阵化成阵化成行最简形矩阵行最简形矩阵，便可写出其通解。，便可写出其通解。 结论：结论： 二、线性方程组的解法 例例1 求解齐次方程组的通解求解齐次方程组的通解 032 03 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解解 对系数矩阵对系数矩阵A进行初等变换进行初等变换 3211 3111 1111 A 2100
7、 4200 1111 . 0000 2100 1011 , 32 Ar由于由于故方程组有非零解，且有故方程组有非零解，且有 43 421 2xx xxx 424 423 422 421 10 20 01 11 xxx xxx xxx xxx 2100 4200 1111 为什么选为什么选 为非自由未知量？为非自由未知量？ 31, x x 选选行最简形矩阵行最简形矩阵中非零中非零 行首非零元行首非零元1所在列！所在列！ . 1 2 0 1 0 0 1 1 42 4 3 2 1 xx x x x x ),( 42 Rxx 得方程组的通解为得方程组的通解为 424 423 422 421 10 20
8、 01 11 xxx xxx xxx xxx 由由 例例2 2 设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 0 0 0 321 321 321 xxx xxx xxx ?,有非零解有非零解取何值时取何值时问问 解解 11 11 11 A 11 11 11 作初等行变换，作初等行变换，对系数矩阵对系数矩阵A 11 11 11 2 110 110 11 2 200 110 11 2100 110 11 2 200 110 11 ,11时时当当 000 000 111 A ., 31知方程组有非零解知方程组有非零解此时，由此时，由 Ar 且其通解为且其通解为 33 22 321 xx xx xxx .,
9、32 Rxx 1 0 1 0 1 1 21 3 2 1 cc x x x 即即 ,2)2(时时当当 000 110 101 000 330 211 2100 110 11 A ., 32知方程组有非零解知方程组有非零解此时，由此时，由 Ar 且其通解为且其通解为 )( 1 1 1 3 2 1 Rcc x x x 解法一解法一 因为因为系数矩阵系数矩阵 为含参数的方阵，故可为含参数的方阵，故可 考虑使用“考虑使用“行列式行列式”法，而”法，而 A . 0323 , 0 , 022 , 0 4321 4321 4321 4321 x a xxx xx a xx xxxx xxxx 例例 当当 取何
10、值时，下述齐次线性方程组有非取何值时，下述齐次线性方程组有非 零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解 a a a A 323 111 2121 1111 3050 2120 1010 1111 a a 2000 0100 1010 1111 a a )2)(1( aa :,1化成最简形化成最简形把系数矩阵把系数矩阵时时当当Aa 0000 1000 0010 0101 1323 1111 2121 1111 A ).(, 0 1 0 1 4 3 2 1 为任意常数为任意常数kkx x x x x 通解为通解为 ，且，且即知方程组有无穷多解即知方程组有无穷多解由由, 43)( Ar 0000
11、 0300 1010 1111 2323 1211 2121 1111 ,2 A AAa化为化为之变换可把之变换可把由计算由计算时时当当 0000 0100 1010 0001 ).( , 1 0 1 0 4 3 2 1 为任意常数为任意常数 为为从而得到方程组的通解从而得到方程组的通解 k kx x x x x 0000 0100 1010 0001 A由由 a a A 323 111 2121 1111 3050 2120 1010 1111 a a 解法二解法二 用“用“初等行变换初等行变换”（法）把系数矩阵”（法）把系数矩阵 化为阶梯形化为阶梯形 A ., , 4)(,21 解解可仿照
12、解法一求出它的可仿照解法一求出它的非零解非零解 此时方程组有此时方程组有时时或者或者当当 Araa 2000 0100 1010 1111 a a 3050 2120 1010 1111 a a 注意：注意：是含参数的方阵时，是含参数的方阵时，只有当系数矩阵只有当系数矩阵A)1( ；才能使用“行列式”法才能使用“行列式”法 是不含参数的是不含参数的当系数矩阵不是方阵或当系数矩阵不是方阵或)2( 等行变换”法！等行变换”法！方阵时，只能使用“初方阵时，只能使用“初 对齐次线性方程组对齐次线性方程组 0 Ax nAr ;0只有零解只有零解 Ax nAr .0有非零解有非零解 Ax 三、小结 思考题 元齐次线性方程组元齐次线性方程组求解求解3 0 0 0 033 022 011 3 2 1 x x x 思考题解答 解解 , 0 21 xx 0 0 0 033 022 011 3 2 1 x x x 等价于方程等价于方程 容易看出容易看出 33 22 21 xx xx xx 即即 1 0 0 0 1 1 21 3 2 1 cc x x x 亦即通解为亦即通解为 ),( 21 Rcc
