1、2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 第三章第三章 杆系结构单元分析杆系结构单元分析 最基本的概念都在第三、四章，最基本的概念都在第三、四章， 因此必须下功夫学好因此必须下功夫学好 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 第三章第三章 杆系结构单元分析杆系结构单元分析 引引 言言 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 杆系结构单元分析的实质杆系结构单元分析的实质 杆系结构单元分析子程序杆系结构单元分析子程序 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.1 引引 言言 结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点
2、。有时也 取荷载作用点。图中取荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点。点均为结点。 单元：两结点间的等直杆段。图中单元：两结点间的等直杆段。图中1-3、2-4、3-4为为 单元。单元。 编码：黑的结点编号称整体码。编码：黑的结点编号称整体码。 红的红的1、2局限于单元，称局限于单元，称 局部码。局部码。 坐标：兰的坐标称坐标：兰的坐标称 整体坐标。红的整体坐标。红的x、y局限于单元，称局部坐标局限于单元，称局部坐标 1 3 4 2 y x x y 1 2 1 1 2 2 右手系右手系 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 目的
3、：像位移法一样，通过“一拆、一合”来解决目的：像位移法一样，通过“一拆、一合”来解决 结构分析。为此，必须首先掌握单元的特性。结构分析。为此，必须首先掌握单元的特性。 杆系最简单，由它介绍思想和方法容易掌握，杆系最简单，由它介绍思想和方法容易掌握， 可为以后学习奠定基础，因此必须深刻理解。可为以后学习奠定基础，因此必须深刻理解。 3.2.1 等直拉压杆等直拉压杆 结构中拆出的单元如图所示。结构中拆出的单元如图所示。 1）广义坐标法）广义坐标法 设任意点位移为设任意点位移为 u=a1+ a2x 广义坐标，边界条件只两个广义坐标，边界条件只两个 幂级数简单幂级数简单 右手系右手系 i j x y
4、1 2 u1,F1 u2,F2 p EA，l 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 利用边界条件可得利用边界条件可得 a1 u1； a2(u2- u1)l 将广义坐标代回将广义坐标代回 u=a1+ a2x，整理后可得整理后可得 u=(1-x l)u1+ u2xl 右手系右手系 i j x y 1 2 u1,F1 u2,F2 p EA，l 2）形函数及性质）形函数及性质 -1=-1= 1 l x N= 2 l x N 形函数形函数 自然坐标自然坐标 11 本点处为本点处为1 它点处为它点处为0 处总和为处总和为1 任意点的位移可用
5、形函数表为任意点的位移可用形函数表为 u=(1-xl)u1+ u2xl=1u1 u 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 轴力轴力 右手系右手系 i j x y 1 2 u1,F1 u2,F2 p EA，l ）用虚位移原理列式）用虚位移原理列式 3-1）虚位移）虚位移 设结点虚位移为设结点虚位移为 ui （i=1，2），）， 则则 u=1 u1 u ( ) d l ii i WF up xu x 0外 3-2）外力虚功）外力虚功 3-3）虚变形功）虚变形功 l i i i l i i i u x N FxFW u x N EA x u EAF 0 N 0 N N d d d d
6、 d d d 变变 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 右手系右手系 i j x y 1 2 u1,F1 u2,F2 p EA，l 21 NNN 3-4）用矩阵表示）用矩阵表示 e uNu T 21 uuu e T 21 uuu e e uNu ee uBEAuN x EAF d d N e uB e l ee uxNpuFWd 0 T 外外 T 21 FFF e ee l uxBuBEAWd)( T 0 变变 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 i j x
7、y 1 2 u1,F1 u2,F2 p EA，l 3-5）单元刚度方程）单元刚度方程 由虚位移原理可得由虚位移原理可得 e ll e uxBEABxNpFdd T 00 T 引入如下矩阵：引入如下矩阵： 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 l e xBEABk 0 T d 单元等效荷载单元等效荷载 l e xNxpF 0 T E d)( 则单元刚度方程改写为则单元刚度方程改写为 eeee ukFF E 11 11 l EA k e 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 4）小结）小结 eeee ukFF E 4-1）单元位移场可用“广义坐
8、标法”建立。）单元位移场可用“广义坐标法”建立。 4-2）形函数“本点）形函数“本点1，它点，它点0，任意点总和，任意点总和1”。 4-3）虚位移原理列式结果单元刚度方程为）虚位移原理列式结果单元刚度方程为 11 11 l EA k e l e xNxpF 0 T E d)( 满跨均布轴力时满跨均布轴力时 T E 115 . 0plF e 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.2.2 等直杆扭转等直杆扭转 结构中拆出的单元如图所示。结构中拆出的单元如图所示。 1）试凑法）试凑法 设任意点自然坐标为设任意点自然坐标为 ，为满足
9、“本，为满足“本1，它，它0” 可设可设 N1=1- ，N2= 。 = N1 1+ N2 2。 由性质试凑得到由性质试凑得到 右手系右手系 i j x y 1 2 1,M1 2,M2 m GJ，l 2）势能原理列式）势能原理列式 2-1）外力势能）外力势能 )d)( 0 f i l ii xxmFP 2-2）应变能）应变能 x x GJ x U l )d d d () d d ( 2 1 0 T 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 右手系右手系 i j x y 1 2 1,M1 2,M2 m GJ，l 2-3）总势能）总势能
10、=U +Pf eeee kFF E 2-4）势能原理列式结果为）势能原理列式结果为 11 11 l GJ k e l e xNxmF 0 T E d)( 3）小结）小结 3-1）形函数可根据其性质通过试凑来建立。）形函数可根据其性质通过试凑来建立。 3-2）将总势能表为结点位移的函数，可由变分为零）将总势能表为结点位移的函数，可由变分为零 列式（偏导数为零）得到单元刚度方程。列式（偏导数为零）得到单元刚度方程。 满跨均布扭矩时满跨均布扭矩时 T E 115 . 0 mlF e 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.2.3 等
11、直弯曲杆单元等直弯曲杆单元 1）杆端位移（不计轴向变形）杆端位移（不计轴向变形） 2）杆中任意点位移）杆中任意点位移 2-1）设挠度为）设挠度为 2-2）由此可见，）由此可见， N1是图示是图示v1=1的挠曲线，因此由的挠曲线，因此由 3 12 l EI 2 6 l EI x )(xM 2211 T vvd e e dNNNNv 4321 232 2 612 )( d d l EI x l EI xM x v EI 积分二次，利用边界条件积分二次，利用边界条件 可得可得 010 v ,v ,x 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕
12、定 同理，可得同理，可得 3）势能原理单元列式）势能原理单元列式 3-1）应变能为）应变能为 则则 l x Nv ; 132 23 1 1 BN x x x v EIU l 0 2 2 2 2 2 d d ;d) d d ( 2 1 若记若记 3-2）外力势能为）外力势能为 2 2 )1( lN )-(1 2 4 lN )23( 2 3 N e l e dxBEIBdUd 2 1 0 T T 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 在图示荷载作用下（在图示荷载作用下（ 坐标正向为正）外力势为坐标正向为正）外力势为 3-3）总势能为
13、）总势能为 e l e l e dx x N mNqdF x x v mqvdFP )d d d ( )d d d ( 0 T 0 T f e l e e l e d x N mNqdF dxBEIBd 0 T 0 T T )dx d d (- d 2 1 q m 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3-4）单元列式）单元列式 由势能原理可得由势能原理可得 l e x x N mNqF 0 T T E )d d d (- 0 e d eeee dkFF E xBEIBk l d 0 T 单元刚度方程单元刚度方程 单元刚度矩阵单
14、元刚度矩阵 经数学推导可得单元刚度矩阵元素如下经数学推导可得单元刚度矩阵元素如下 等效结点荷载等效结点荷载 满跨均布时满跨均布时 12 2 12 2 2 2 E ql ql m ql ql m F e 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 22 22 3 0 T 4626 612612 2646 612612 d llll ll llll ll l EI xBEIBk l 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 经数学推导可得单元刚度矩阵元素如下经数学推导可得单元刚度矩阵元素如下 和转和转 角
15、位角位 移方移方 程结程结 果相果相 同同 29 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3-5) 小结小结 3-5-1) 杆件单元形函数也可由挠曲线微分方程求得。杆件单元形函数也可由挠曲线微分方程求得。 3-5-2) 利用虚位移原理或势能原理列式所的结果和利用虚位移原理或势能原理列式所的结果和 用叠加原理建立的杆端位移用叠加原理建立的杆端位移-力关系一样。力关系一样。 3-5-3) 所得单元刚度矩阵对称、奇异（所得单元刚度矩阵对称、奇异（1、3行行1、3 列是相关的）。列是相关的）。 3.2.4 考虑轴向变形直杆弯曲单元考虑轴向变形直杆弯曲单元 1) 单元上任一点的位移单元上任
16、一点的位移 1-1) 单元上任一点的位移包含轴向和横向位移分量单元上任一点的位移包含轴向和横向位移分量 T vud 由纯弯单元建立由纯弯单元建立 由拉压单元建立由拉压单元建立 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 1-2) 单元形函数由单元形函数由3.2.1和和3.2.3组合得到组合得到 2) 应变能应变能 vvvv uu NNNN NN N 4321 21 00 0000 1-3) 任意点位移任意点位移 e dNd 式中式中 T 2 22111 vuvud e 2-1) 应变由两部分应变由两部分 引起：拉压和弯曲。引起：拉压和
17、弯曲。 T 2 2 d d d d x v x u 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 x x v EI x u EAUd) d d () d d ( 2 1 2 2 2 l 0 2 x x v mvqupP l )d d d ( 0 f 拉压拉压 弯曲弯曲 4) 单元列式单元列式 由应变能和外力势能可见，单元刚度方程可由由应变能和外力势能可见，单元刚度方程可由 拉压和弯曲上述已获得的结果组合得到。拉压和弯曲上述已获得的结果组合得到。 3) 外力势能外力势能 式中式中 p、u向右为正；向右为正；q、v向上为正；向上为正；m和转
18、角逆和转角逆 时针为正。时针为正。 2-2) 应变能也包含两部分，拉压和弯曲互不藕联。应变能也包含两部分，拉压和弯曲互不藕联。 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 11 11 l EA k u 22 22 3 4626 612612 2646 612612 llll ll llll ll l EI k v 000000 000000 000000 000000 000000 000000 vvvv vvvv uu vvvv vvvv uu e kkkk kkkk kk kkkk kkkk kk k 44434241 34333
19、231 2221 24232221 14131211 1211 00 00 0000 00 00 0000 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 同理可以组合得到同理可以组合得到 T E 432211E vvuvvu e FFFFFFF eeee dkFF E 单元刚度方程单元刚度方程 5) 小结小结 5-1) 这种单元称作“梁柱自由式单元”，它也具有这种单元称作“梁柱自由式单元”，它也具有 对称性、奇异性。对称性、奇异性。 5-2) 单元刚度矩阵和等效结点荷载矩阵可由拉压和单元刚度矩阵和等效结点荷载矩阵可由拉压和 弯曲单元组合
20、得到。下面多处在“变形不藕联”弯曲单元组合得到。下面多处在“变形不藕联” 条件下，利用简单单元直接构造组合单元。条件下，利用简单单元直接构造组合单元。 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.2.5 有约束单元有约束单元 1) 由“梁柱自由式单元”建立有约束单元刚度方由“梁柱自由式单元”建立有约束单元刚度方 程的原则为程的原则为 1-1) 刚度矩阵中划去被约束位移对应的行和列。刚度矩阵中划去被约束位移对应的行和列。 1-2) 等效结点荷载矩阵中划去被约束位移对应的行。等效结点荷载矩阵中划去被约束位移对应的行。 1-3) 单元刚
21、度方程形式不变。单元刚度方程形式不变。 eeee dkFF E 单元刚度方程单元刚度方程 2) 连续梁单元连续梁单元 划去划去1、2、4、5行、列。行、列。 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 单元刚度矩阵和单元等效荷载矩阵为单元刚度矩阵和单元等效荷载矩阵为 试自行写出单元刚度和单元等效荷载矩阵。试自行写出单元刚度和单元等效荷载矩阵。 3) 简支单元简支单元 划去划去1、2、5行、列。行、列。 42 24 l EI k e G G e M M F 2 1 E 满跨均布时满跨均布时 12 12 2 2 E ql ql F e 4
22、) 小结小结 如约束能限制刚体位移，单元刚度矩阵非奇异。如约束能限制刚体位移，单元刚度矩阵非奇异。 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 式中式中MG 为固端弯矩，顺时针为正。为固端弯矩，顺时针为正。 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.2.6 计剪切变形和带有刚域的单元计剪切变形和带有刚域的单元 1) 计剪切变形的单元（短粗杆）计剪切变形的单元（短粗杆） 1 23 1 32 1 N 1-1) 形函数形函数 用广义坐标、试用广义坐标、试 凑和解挠曲线微分方程都比凑和解挠曲线微分方程都比 较困难，这里直接给出。较困难，这里直接给出。 )1 ( 2 2 1 1 1
23、 2 2 lN )(l EI 1 12 3 )(l EI 1 6 2 x )(xM 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 参考参考有限单元法有限单元法 基础基础P.41-44 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 图和式中的图和式中的 为为 )23( 1 3 N )(1 2 1 2 4 l N 2 12 kGAl EI 对细长杆对细长杆 趋于零，形趋于零，形 函数同前。函数同前。 对形函数建立对形函数建立 有兴趣的同学有兴趣的同学 可用力法可用力法+位位 移计算来验证移计算来验证 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学
24、土木学院 王焕定 1-2) 用力法解超静定，求用力法解超静定，求 ij时考虑剪切变形影响。时考虑剪切变形影响。 由所建立的形常数、载常数，可利用叠加原理由所建立的形常数、载常数，可利用叠加原理 得到杆端力得到杆端力-位移的关系，它即单元刚度方程。位移的关系，它即单元刚度方程。 1-3) 用杆件模型计算高层框架用杆件模型计算高层框架-剪力墙结构时，代剪力墙结构时，代 表剪力墙的杆件要考虑剪切变形。表剪力墙的杆件要考虑剪切变形。 1-4) 单元刚度、等效荷载矩阵的各元素见单元刚度、等效荷载矩阵的各元素见教材教材。 2) 带刚域的单元带刚域的单元 高层框架高层框架-剪力墙结构用杆件模型分析时，与剪剪
25、力墙结构用杆件模型分析时，与剪 力墙连接的单元，要考虑刚域的影响。力墙连接的单元，要考虑刚域的影响。 这种单元的刚度特性，可由弹性段单元刚度方这种单元的刚度特性，可由弹性段单元刚度方 程，再考虑此段杆端位移、杆端力和单元杆端位移、程，再考虑此段杆端位移、杆端力和单元杆端位移、 杆端力间的变换关系来建立。结果见杆端力间的变换关系来建立。结果见教材教材。 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.2.7 平面单元分析总结平面单元分析总结 3) 虚位移原理、势能原理的结果完全相同。虚位移原理、势能原理的结果完全相同。 4) 单元刚度矩
26、阵对称。自由单元奇异，无刚体位移单元刚度矩阵对称。自由单元奇异，无刚体位移 单元可逆。单元可逆。 1) 单元分析的关键是：建立单元位移场。单元分析的关键是：建立单元位移场。 2) 单元位移场一般可用广义坐标法、试凑法建立。单元位移场一般可用广义坐标法、试凑法建立。 5) 无藕联情况下，组合单元的单元特性可由简单单无藕联情况下，组合单元的单元特性可由简单单 元组装得到。元组装得到。 6) 单元刚度方程和由形、载常数用叠加原理所得单单元刚度方程和由形、载常数用叠加原理所得单 元杆端位移元杆端位移-杆端力关系完全相同。杆端力关系完全相同。 7) 单元上外力是平衡的（静力问题），但由位移求单元上外力是
27、平衡的（静力问题），但由位移求 内力并不平衡，杆中内力以后解决。内力并不平衡，杆中内力以后解决。 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.2.8 空间单元分析总原则空间单元分析总原则 空间单元的单元特性由平面简单单元组装得到。空间单元的单元特性由平面简单单元组装得到。 1) 空间拉压（桁架）单元空间拉压（桁架）单元 空间桁架单元与平面桁架单元相同。空间桁架单元与平面桁架单元相同。 2) 交叉梁（格栅）单元交叉梁（格栅）单元 杆端位移、杆端力如图所示杆端位移、杆端力如图所示 x y z 可由无轴向变形弯曲单元可由无轴向变形弯曲单
28、元 和扭转单元组合得到。和扭转单元组合得到。 由于杆端位移和内力的编号顺序如图所示由于杆端位移和内力的编号顺序如图所示 因此必须注意，因此必须注意， 1、3（4、6）力）力-位移正向规定和位移正向规定和 弯曲单元的区别，故弯曲单元的区别，故k13、k16、k46的符号与弯曲单元的符号与弯曲单元 相反。同理，等效荷载元素的符号也要改变。相反。同理，等效荷载元素的符号也要改变。 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 1 2 3 5 4 6 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 由此可得交叉梁单元的单元刚度矩阵为由此可得交叉梁单元的单元刚度矩阵为 3.2 等直杆单元的单元
29、分析等直杆单元的单元分析 PP P e EIEIEIEI llll GIGI ll EIEIEI lll k EIEI ll GI l EI l 3232 2 32 126126 00 000 462 0 126 0 0 4 对称对称 16 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3) 空间梁单元空间梁单元 杆端位移为三个坐标方向线位移和三个绕轴转角，杆端位移为三个坐标方向线位移和三个绕轴转角， 杆端力为三个坐标向力和力偶矩矢。坐标正向为正。杆端力为三个坐标向力和力偶矩矢。坐标正向为正。 空间梁单元正向空间梁单元正向 3.2 等直杆单元的单元分析等直杆单元的单元分析 2 1 3
30、4 5 6 7 8 10 11 12 1 2 1 2 1 4 2 5 3 6 x、z平面梁单元平面梁单元 1 2 x、y平面梁单元平面梁单元 2 1 4 3 1 2 扭转单元扭转单元 1 2 与交叉梁单元一样，只要注意与交叉梁单元一样，只要注意 正向与图示平面单元的区别，正向与图示平面单元的区别， 即可根据图示编号由平面单元即可根据图示编号由平面单元 组合得到。组合得到。 作业作业 试写出图示位试写出图示位 移编号下的单元移编号下的单元 刚度矩阵刚度矩阵 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3.3 杆系结构单元分析的实质杆系结构单元分析的实质 3.3.1 单元刚度矩阵的性质单
31、元刚度矩阵的性质 空间单元的单元特性由平面简单单元组装得到。空间单元的单元特性由平面简单单元组装得到。 1) 空间拉压（桁架）单元空间拉压（桁架）单元 空间桁架单元与平面桁架单元相同。空间桁架单元与平面桁架单元相同。 2) 交叉梁单元交叉梁单元 杆端位移、杆端力如图所示杆端位移、杆端力如图所示 x y z 可由无轴向变形弯曲单元可由无轴向变形弯曲单元 和扭转单元组合得到。和扭转单元组合得到。 3) 空间梁单元空间梁单元 杆端位移为三个坐标方向线位移和三个绕轴转角，杆端位移为三个坐标方向线位移和三个绕轴转角， 杆端力为三个坐标向力和力偶矩矢。坐标正向为正。杆端力为三个坐标向力和力偶矩矢。坐标正向为正。 可由拉压单元、两个无轴向变形弯曲单元和扭可由拉压单元、两个无轴向变形弯曲单元和扭 转单元组合得到。转单元组合得到。 2020/5/10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
