1、已有基础： 1. 静定结构的内力计算；静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移；利用位移计算公式求静定结构的位移； 3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即即: GA sFFk EA sFF EI sMM P P ddd QQ NN 4. 图乘法及其应用图乘法及其应用 (Graphic Multiplication Method and its Applications) 这部分主要内容：这部分主要内容： 2. 几种常见图形的面积和形心几种常见图形的面积和形心 位置的确定方法；位置的确定方法； 3. 注意事项；注意事项； 4. 应用举例
2、。应用举例。 1. 图乘法；图乘法； s EI MM P d EI y s EI MM cP d C C y P M M 一、图乘法一、图乘法 s EI MM P d sMM EI Pd 1 xMx EI Pd tan 1 xxM EI Pd tan cc y EI x EI 1tan 必须注意必须注意 适用条件适用条件 图乘法是图乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他年提出的，他 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。当时为莫斯科铁路运输学院的学生。 二、几种常见图形的面积和形心位置的二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法确定方法 顶点顶点指曲指曲 线切线与线切线与 杆轴重合杆轴
3、重合 或平行或平行 C 2n l 2 )1( n ln 1 n hl h 三、注意事项：三、注意事项： 1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数； （2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线； （3） 应取自直线图中。应取自直线图中。 c y 2. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；取正值； 反之，取负值。反之，取负值。 c y c y 3. 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. (1) 曲曲-折组合折组合 jjKi yyyyxMM 332211 d 例如例如 (2) 梯梯-梯同侧组合
4、梯同侧组合 1 2 2211 dyyxMM Ki 3 )2( 3 )2( 2 1 dc y dc y (3) 梯梯-梯异侧组合梯异侧组合 1 1 y 2 2 y A B C D a b c d K M图图 M图图 b c 取取 负负 值值 2211 dyyxMM Ki 3 )2( 3 )2( 2 1 dc y dc y (4) 阶梯形截面杆阶梯形截面杆 jj jj Ki IE y IE y IE y IE y x EI MM 33 33 22 22 11 11 d 四、应用举例四、应用举例 例例 1. 设设 EI 为常数，求为常数，求 和和 。 Cy B 2 l 2 l 解：作荷载内力图和单位
5、荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图 B A q 2 8 1 ql P M图图 C A B FP=1 M 图图 4 l )( 384 5 2) 48 5 () 8 1 23 2 ( 1 4 2 EI ql l ql l EI Cy 对吗？对吗？ 应分段！应分段！ C A B M 图图 1 2 1 EI ql qll EI B 3 2 24 1 2 1 ) 8 1 3 2 ( 1 （ ） B A q 2 8 1 ql P M图图 例例 2. 已知已知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架C、D两点两点 距离的改变距离的改变 。 CD 解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载
6、内力图 )( 12 83 21 3 2 EI qhl hl ql EIEI yc CD hyc 2 p117 例例 3. 已知已知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架A点的竖向位点的竖向位 移移 ，并绘出刚架的变形曲线。，并绘出刚架的变形曲线。 Ay FP 解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图 在在 图求面积，在图求面积，在 图取竖标，有：图取竖标，有： M P M )( 16 42 3 2 1 22 1 3 P PP EI lF lFl l EI lF l l EIEI yc Ay M 图图 EI 2EI P M图图 FPl/2 FPl/2 FPl/2 FPl/4
7、 FP FPl/4 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的 凹凸方向，注意反弯点的利用。如：凹凸方向，注意反弯点的利用。如： P M图图 FPl/2 FPl/2 FPl/2 FPl/4 FP FPl/4 FP 例例 4. 已知：已知： E、I、A为常数，求为常数，求 。 Cy A B C FP 2 l 2 l a D 解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图 EA aF EI lF a F EA llFl EI s EA FF s EI MM la PP Cy 44822 11 43 2 ) 422 1 ( 2 dd P 3 PPP 0
8、0 NN 请对计算结果 进行适当讨论！ A B C FP 2 l a D 4 Pl F P M 2 P N F F P 2 l A B C 1 2 l a D 4 l M 2 1 N F 2 l ) 12 1( 48 3 3 P Al aI EI lF Cy 讨论讨论:如果如果B支座处为刚度支座处为刚度k的弹簧，该如何的弹簧，该如何 计算？计算？ 4 Pl F P M 2 P P F FB 4 l M A B C 2 l k 2 1 B F 2 l FP=1 A B C FP 2 l k 2 l 显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为 k F 2 P 。因
9、此，弹簧对位移的贡献为。因此，弹簧对位移的贡献为 。 k F k F FB 42 PP 由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为 k FF s EI MM kkPP d 例例 5. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求 。 Cy A B C q 2l2l 解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图 A 2 2 ql 8 2 ql B C P M图图 A 1 2 l M 图图 一种算法：一种算法： )( 128 5 ) 128 3 64 ( 1 ) 24 3 8 3 23 1 2 1 282 ( 1 444 22 EI qlqlql EI
10、 lqlllqll EI Cy A 2 2 ql 8 2 ql B C 结果正确否？结果正确否？ ? 解法一、解法一、 A q 2 Q ql F 8 2 ql M A 8 2 ql 8 2 ql 4 2 ql )( 384 17 ) 24 3 823 1 ( ) 3422 1 ( ) 482 ( 1 42 2 2 EI qllqll lqll lqll EI Cy A 2 2 ql 8 2 ql B C P M图图 q A B C 2l2l 解法二、解法二、 A 1 2 l M 图图 A 8 2 ql 2 2 ql 32 2 ql )( 384 17 ) 43223 2 ( ) 6822 1
11、( ) 3222 1 ( 1 42 2 2 EI qllqll lqll lqll EI Cy 2 2 ql 8 2 ql 例例 6. 已知已知 CD、BD杆的杆的 和和AC杆的杆的 为常数，求为常数，求 。 Dy 11A E 22I E FP A B C D 11A E 11A E 22I E a a a )( 3 4)221( ) 3 2 2 ( 1 2)2)(2(1 22 3 P 11 P 2 P 2 P 22 11 PP 2211 NN IE aF AE aF aaF aaF IE AE aFaF IE y AE lFF cP Dy 2 +1 1 a FP + FP P 2F FP a 解：作荷载和单位荷载的内力图解：作荷载和单位荷载的内力图 例例 7. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求 。 Cy 解：作荷载和单位荷载的内力图解：作荷载和单位荷载的内力图 )( 128 4 ) 83 2 ( 3 ) 82 1 ( 8 3 ) 283 1 ( 1 42 22 EI qll l ql l l qlllql EI Cy 温温 度度 MP M 分解分解 返回返回
