1、高一年级 数学向量数量积的概念(第一课时)主讲人 姜利利北京师范大学良乡附属中学向量的运算复习回顾向量的线性运算向量的加法、减法运算向量的数乘运算向量的运算向量的线性运算向量的加法、减法运算向量的数乘运算向量的数量积复习回顾F物理情境：图1F物理情境：图1|.FsWFF物理情境：图1图2|.FsWFF1F2F F物理情境：图1图2|.FsWFF1F2F F物理情境：图1图2|.FsW1cosFF,FF1F2F F物理情境：图1图2|.FsW1cosFF,|cos.FsW1.两个向量的夹角ababa1.两个向量的夹角abab1.两个向量的夹角给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作ab
2、，OAOB则称0，内的AOB为向量a与向量b的 abab夹角，记作ab，.1.两个向量的夹角abedabedaabedab两个向量的位置关系a与b方向相同abedab两个向量的位置关系a与b方向相同夹角ab 0，abedab两个向量的位置关系a与b方向相同夹角ab 0，abedab夹角两个向量的位置关系a与b方向相同ab 0，a与c方向相反abedab夹角两个向量的位置关系a与b方向相同ab 0，a与c方向相反ac，abedab夹角两个向量的位置关系a与b方向相同ab 0，a与c方向相反ac，几何关系两个向量所在的直线平行或重合abedab夹角两个向量的位置关系a与b方向相同ab 0，a与c方
3、向相反ac，几何关系两个向量所在的直线平行或重合abedabd夹角两个向量的位置关系a与b方向相同ab 0，a与c方向相反ac，几何关系两个向量所在的直线平行或重合abedabd夹角两个向量的位置关系a与b方向相同ab 0，a与c方向相反ac，几何关系两个向量所在的直线平行或重合4ad，abedabd夹角两个向量的位置关系a与b方向相同ab 0，a与c方向相反ac，几何关系两个向量所在的直线平行或重合a与d不共线4ad，abedabd夹角两个向量的位置关系a与b方向相同ab 0，a与c方向相反ac，几何关系两个向量所在的直线平行或重合a与d不共线a与d所在的直线相交4ad，abedabed夹角
4、两个向量的位置关系a与b方向相同ab 0，a与c方向相反ac，几何关系两个向量所在的直线平行或重合a与d不共线a与d所在的直线相交4ad，abedabed称向量a与向量e垂直，记作ae.2ae，当当时时，abedabed夹角两个向量的位置关系a与b方向相同ab 0，a与c方向相反ac，几何关系两个向量所在的直线平行或重合a与d不共线4ad，a与d所在的直线相交2ae，a与e垂直a与e所在的直线垂直给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作ab ，OAOB则称0，内的AOB为向量a与向量b的 注意：判断两个非零向量的夹角必须将其平移到同一个起点.1.两个向量的夹角夹角，记作ab，.给定两个
5、非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作ab ，OAOB则称0，内的AOB为向量a与向量b的 规定：注意：判断两个非零向量的夹角必须将其平移到同一个起点.1.两个向量的夹角夹角，记作ab，.给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作ab ，OAOB则称0，内的AOB为向量a与向量b的 规定：(2).abba，结论：注意：判断两个非零向量的夹角必须将其平移到同一个起点.(1)0 ab；，1.两个向量的夹角夹角，记作ab，.2.向量数量积的定义一般地当 都是非零向量时，称为向量 的数量积（也称为内积），记作 即 a b ，ab与ab与cosa ba b ，cosa babab，练习1.已知
6、10ababa b ，；求2.已知 22ababa b ，；求3.已知 16.3a baabb ，求练习1.已知 解 由已知可得10ababa b ，；求cosa babab，练习1.已知 解 由已知可得1 cos0 .10ababa b ，；求cosa babab，2.已知 22ababa b ，；求练习解 由已知可得cosa babab，2.已知 22ababa b ，；求练习解 由已知可得2 cos2 0.cosa babab，3.已知 16.3a baabb ，求练习解 由已知可得cosa babab，3.已知 16.3a baabb ，求练习解 由已知可得cosa babab，4co
7、s3b 3.已知 16.3a baabb ，求练习解 由已知可得cosa babab，4cos3b b练习cosa babab，向量的数量积向量a的模长两个向量夹角余弦值向量b的模长四个量可“知三求一”一般地当 都是非零向量时，称为向量 的数量积（也称为内积），记作 即 a b ，注意：(1)两个非零向量的数量积是一个实数.ab与ab与2.向量数量积的定义cosa babab，cosa ba b ，一般地当 都是非零向量时，称为向量 的数量积（也称为内积），记作 即 a b ，注意：(1)两个非零向量的数量积是一个实数.圆点“”连接，不能用“”连接，也不能省略.(2)两个非零向量的数量积在书写
8、时，之间用实心ab与ab与ab与2.向量数量积的定义cosa ba b ，cosa babab，a图40 cos10ababa bab ，；当此时a00cos02ababa babab ，；当此时0 cos10ababa bab ，；当此时图4a0 02aba b ，；时时当图4a cos0|cos02ababa ba bab ，；当此时图40 02aba b ，；时时当a,cos 0cos 02ababa babab，；当此时图4a cos1 0.ababa bab ，当此时,cos 0cos 02ababa babab，；当此时图4a cos1 0.ababa bab ，当此时,cos 0
9、cos 02ababa babab，；当此时图4 0.2aba b，时时当a(3)两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数，符号由两个向量夹角决定.2.向量数量积的定义 02aba b ，；时时当0 02aba b ，；时时当 0.2aba b，时时当图4a 02aba b ，；时时当0 02aba b ，；时时当 0.2aba b，时时当规定：零向量与任意向量的数量积为0.2.向量数量积的定义(3)两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数，符号由两个向量夹角决定.图43.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.向量a与b共线且方向相同；a ba b(1)3.
10、向量数量积的性质设a和b都是非零向量.向量a与b共线且方向相同向量a与b共线且方向相反；a ba b(1)a ba b 3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.向量a与b共线且方向相同向量a与b共线且方向相反；a ba b(1)2baa aaaa a，；时时即即当 a ba b 3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.向量a与b共线且方向相同向量a与b共线且方向相反；a ba b(1)2baa aaaa a，；时时即即当 a ba b 222a aaaa，.一一般般地地可可以以简简写写为为即即3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.向量a与b共线且方向相同向量a与b共线且方向相反；a b
11、a b(1)2baa aaaa a，；时时即即当应用：求向量的模长.a ba b 222a aaaa，.一一般般地地可可以以简简写写为为即即3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.设a和b都是非零向量.3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.cos，a ba bab 由向量的数量积可知3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.cos，a ba bab 由向量的数量积可知,a b因为0，3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.cos，a ba bab 由向量的数量积可知,a b因为0，3.向量数量积的性质cos ab，1，所以1设a和b都是非零向量.cos，a ba bab 由向量的数量积
12、可知,a b因为0，cos ab，1，所以3.向量数量积的性质cos ab，1，所以1设a和b都是非零向量.cos，a ba bab 由向量的数量积可知,a b因为0，cos ab，1，所以3.向量数量积的性质cos ab，1，所以1cosa ba bab ，设a和b都是非零向量.cos，a ba bab 由向量的数量积可知,a b因为0，cos ab，1，所以3.向量数量积的性质cos ab，1，所以1cosa ba bab ，cosa bab，设a和b都是非零向量.cos，a ba bab 由向量的数量积可知,a b因为0，cos ab，1，所以3.向量数量积的性质cos ab，1，所以1
13、cosa ba bab ，cosa bab，a b设a和b都是非零向量.(2)a b a bcos，a ba bab 由向量的数量积可知,a b因为0，cos ab，1，所以a b a b所以3.向量数量积的性质cos ab，1，所以1cosa ba bab ，cosa bab，a b应用：主要用于与不等式有关的问题中.(1)2aa aa(2)a b a b3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.(1)2aa aa(2)a b a b注意：当a和b至少有一个是零向量时，数量积的性质（1）和（2）还都成立.3.向量数量积的性质设a和b都是非零向量.当a和b都是非零向量时，3.向量数量积的性质当
14、a和b都是非零向量时，0，；aba b 若若则则3.向量数量积的性质当a和b都是非零向量时，0，；aba b 若若则则0|cos0，a ba bab 若若则则3.向量数量积的性质当a和b都是非零向量时，0，；aba b 若若则则00，ab因因为为0|cos0，a ba bab 若若则则3.向量数量积的性质当a和b都是非零向量时，0，；aba b 若若则则00，ab因因为为cos=0，ab所所以以0|cos0，a ba bab 若若则则3.向量数量积的性质当a和b都是非零向量时，0，；aba b 若若则则00，ab因因为为cos=0，ab所所以以90，.abab 所所以以0|cos0，a ba
15、bab 若若则则3.向量数量积的性质当a和b都是非零向量时，0，；aba b 若若则则00，ab因因为为cos=0，ab所所以以90，.abab 所所以以0|cos0，a ba bab 若若则则3.向量数量积的性质当a和b至少有一个是零向量时，当a和b都是非零向量时，0，；aba b 若若则则00，ab因因为为cos=0，ab所所以以90，.abab 所所以以 因为在讨论垂直问题时，零向量与任意一个向量垂直，所以有0|cos0，a ba bab 若若则则ab.3.向量数量积的性质当a和b至少有一个是零向量时，当a和b都是非零向量时，0，；aba b 若若则则00，ab因因为为cos=0，ab所
16、所以以90，.abab 所所以以0.a b 因为在讨论垂直问题时，零向量与任意一个向量垂直，所以有0|cos0，a ba bab 若若则则ab.因为零向量模长为0，所以有3.向量数量积的性质当a和b至少有一个是零向量时，(3)0aba b.当a和b都是非零向量时，0，；aba b 若若则则00，ab因因为为cos=0，ab所所以以90，.abab 所所以以0.a b 因为在讨论垂直问题时，零向量与任意一个向量垂直，所以有0|cos0，a ba bab 若若则则ab.因为零向量模长为0，所以有3.向量数量积的性质当a和b至少有一个是零向量时，例1(1)已知(2)已知 54323.ababa ba
17、ba bab 0，求求；4.例题讲解例1(1)已知(2)已知 解(1)由已知可得cosa ba bab，4.例题讲解54323.ababa baba bab 0，求求；例1(1)已知(2)已知 解(1)由已知可得5 4 cos10 0 .4.例题讲解54323.ababa baba bab 0，求求；cosa ba bab，例1(1)已知(2)已知 解(2)由cosa babab，可知4.例题讲解54323.ababa baba bab 0，求求；例1(1)已知(2)已知 3 2 cos ，ab4.例题讲解54323.ababa baba bab 0，求求；解(2)由cosa babab，可知
18、例1(1)已知(2)已知 1cos2，ab因此4.例题讲解54323.ababa baba bab 0，求求；3 2 cos ，ab解(2)由cosa babab，可知例1(1)已知(2)已知 1cos2，ab因此从而可知3，.ab4.例题讲解54323.ababa baba bab 0，求求；3 2 cos ，ab解(2)由cosa babab，可知例1(1)已知(2)已知 cosa babab ，.应用：求两个向量的夹角.由例1（2）可以得到如果a，b都是非零向量，则4.例题讲解54323.ababa baba bab 0，求求；cos，aba b 的符号与一致cos002ababa b
19、，；0 cos002ababa b ，；cos00.2ababa b ，如果a，b都是非零向量，则cosa babab ，.cos，aba b 的符号与一致02aba b ，；0 02aba b ，；0.2aba b ，如果a，b都是非零向量，则cosa babab ，.例2 在ABC中，(1)若 0 BA BC，试判断ABC的形状；4.例题讲解(2)若|4|360ABBCABC=，|，求.AB BC4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若 0 BA BC思路分析：ABC，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若 0 BA BC思路分析：ABC判断ABC的形状，试判断ABC的形
20、状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若 0 BA BC思路分析：ABC判断ABC的形状ABC最大内角的范围，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若 0 BA BC思路分析：ABC判断ABC的形状ABC最大内角的范围 0 BA BC与ABC内角的关系，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若 0 BA BC思路分析：ABC判断ABC的形状ABC最大内角的范围 0 BA BC与ABC内角的关系cos ，BA BCBA BCBA BC，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若 0 BA BC思路分析：ABC判断ABC的形状ABC最大内角的范
21、围 0 BA BC与ABC内角的关系cos ，BA BCBA BCBA BC，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若 0 BA BC思路分析：ABC判断ABC的形状ABC最大内角的范围 ，BA BCB 0 BA BC与ABC内角的关系cos ，BA BCBA BCBA BC，试判断ABC的形状；4.例题讲解例2 在ABC中，(1)若 0 BA BC解(1)由cos0 ，BA BCBA BCBA BC可得cos0 ，BA BC2 ，BA BC因为 ，BA BCB所以所以B为钝角.所以ABC为钝角三角形.，试判断ABC的形状；例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若|4|360A
22、BBCABC=，|，求.AB BC例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若|4|360ABBCABC=，|，求.AB BC思路分析：ABC求 AB BC例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若|4|360ABBCABC=，|，求.AB BC思路分析：ABC求 AB BCcos ，AB BCABBCAB BC例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若|4|360ABBCABC=，|，求.AB BC思路分析：ABC求 AB BCcos ，AB BCABBCAB BC例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若|4|360ABBCABC=，|，求.AB BC思路分析：ABCD求 AB BCcos ，AB BCAB
23、BCAB BC例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若|4|360ABBCABC=，|，求.AB BC思路分析：ABCD求 AB BCcos ，AB BCABBCAB BC与ABC内角的关系 ，AB BC例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若|4|360ABBCABC=，|，求.AB BC思路分析：ABCD 0 0 ，AB BCABC求 AB BCcos ，AB BCABBCAB BC与ABC内角的关系 ，AB BC例2 在ABC中，4.例题讲解(2)若|4|360ABBCABC=，|，求.AB BCAB BCABC 0 0，解(2)由cos ，AB BCABBCAB BCcos120 ABBC
24、14 362 （）得5.课堂小结研究路径：运算性质功向量数量积的定义应用5.课堂小结研究路径：研究内容：运算性质功向量数量积的定义应用向量的数量积两个向量的夹角定义运算性质定义：给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作ab ，OAOB则称0，内 AOB为向量a与向量b 记作ab，的夹角，作用：刻画两个非零向量的位置关系.定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称|cosa bab，为向量 a与b的数量积 （也向称 为内积），记作 ab ，即|cosa ba bab ，规定：零向量与任意向量的数量积为0.规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.a b ab；(3)0aba b.(1)
25、(2)2a aaaa a ，；应用：求向量的模长，不等式问题，判断垂直关系.即1.(1)已知(2)已知|4|16.0，ababa ba ba bab 求求；2.已知ABC中是边长为2的等边三角形，求.AB CA 作业：1.(1)已知(2)已知|4|16.0，ababa ba ba bab 求求；解(1)由已知可得|cos，a ba bab 4 cos6 0.作业：作业：1.(1)已知(2)已知|4|16.0，ababa ba ba bab 求求；解(2)由|cos，a ba bab 可知cos，ab1cos2 ，ab因此从而可知3，.ab2.已知ABC是边长为2的等边三角形，求.AB CA =
26、|cosAB CAAB CAAB CA|，12 22.2 =（）解(1)因为ABC中是边长为2的等边三角形，BAC 0，|2ABCA|，所以作业：因为AB CABAC 0 0，|cos120AB CA|所以 A man is not old as long as he is seeking something.A man is not old until regrets take the place of dreams.只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。Bad times make a good man.艰难困苦出能人。Life is a path winding in the mountain,bumpy and zigzagging.生活是蜿蜒在山中的小径，坎坷不平。
