1、北师大版北师大版 数学数学 八八年年级级 上册上册导入新知导入新知 某某手机手机操作系统操作系统的图标为圆角矩形，长为的图标为圆角矩形，长为 cm，宽，宽为为 cm，则它的面积是多少呢？，则它的面积是多少呢？5335如何计算如何计算？1.了解了解二次根式二次根式的概念及的概念及二次根式二次根式有意义有意义的的条件条件.2.理解理解最简二次根式最简二次根式的定义并会识别的定义并会识别.素养目标素养目标3.会运用二次根式的会运用二次根式的乘法法则乘法法则和和积的算术平积的算术平方根方根的性质进行简单运算的性质进行简单运算.根指数都为根指数都为2;被开方数为非负数被开方数为非负数.这些式子有什么共同
2、特征？这些式子有什么共同特征？)25,24()(,12149,2.7,11,5cbbcbc其中探究新知探究新知知识点 1二次根式的概念二次根式的概念两个必备特征两个必备特征外貌特征：含有外貌特征：含有“”“”内在特征：被开方数内在特征：被开方数a 0 一般地，我们把形如一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式的式子叫做二次根式.“”.“”称为二次根号称为二次根号.(0)aa 提示：提示：a可以是数，也可以是式可以是数，也可以是式.探究新知探究新知例例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：解：(1)()(4)()(6)均是二次根式均是二次根式，其中，其
3、中x2+4属于属于“非负数非负数+正正数数”的形式一定大于零的形式一定大于零.(3)()(5)(7)均不是二次根式均不是二次根式.是否含二是否含二次根号次根号被开方数是被开方数是不是非负数不是非负数二次二次根式根式不是二次根式不是二次根式是是是是否否否否分析：分析：探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用二次根式的定义识别二次根式利用二次根式的定义识别二次根式（1）；（2）81；（3）；（；（4）（5）（6）；（；（7）148.0-3(0)x x(0mmnnn，异号，）24x 315下列下列各式是二次根式吗各式是二次根式吗?是是是是是是是是是是巩固练习巩固练习（1）（2）（3）（4）（6）（5
4、）（7）（8）（9）（10）3212-不是不是38不是不是24a不是不是)0(-mm12 a不是不是223aa1-2x不是不是2431变式训练变式训练例例2 当当x是怎样的实数时是怎样的实数时,在实数范围内有意义在实数范围内有意义?2x 解：解：由由x-200，得，得x2.当当x2时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意义.2x思考思考 当当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：解：由题意得由题意得x-10，所以所以x1.探究新知探究新知素养考点素养考点 2利用二次根式有意义的条件求字母利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围的取值范围
5、（1）11x解解：因为因为被开方数被开方数需大于或等于零，需大于或等于零，所以所以x+30，即，即x-3.因为因为分母分母不能等于零，不能等于零，所以所以x-10，即，即x1.所以所以x-3 且且x1.归纳小结归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数被开方数00，列不等式求解即可，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分若二次根式为分式的分母时，应同时考虑母时，应同时考虑分母不为零分母不为零.探究新知探究新知（2）13xx x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?3x21x巩固练习巩固练习xx31（1）（2）x1x0（3
6、）1x（4）x为全体实数为全体实数x0（5）（6）x0 x0 x-1且且x2(7)0)2(31xxx（9）12xx0 x为全体实数为全体实数(8)xx224x变式训练变式训练（1），；，；，；，662020949425162516949425162516你发现了什你发现了什么？么？探究新知探究新知知识点 2二次根式的运算法则二次根式的运算法则做一做做一做 ，6.480 ；（2 2）用计算器计算：）用计算器计算：，6.4800.92550.925576767676你有何你有何发现？发现？探究新知探究新知（a0，b0），（a0，b0）ababaabb商的算术平方根等于算术平方根的商的算术平方根等于
7、算术平方根的商商.积的算术平方根等于算术平方根的积的算术平方根等于算术平方根的积积.探究新知探究新知归纳小结归纳小结 化化简简:解解：(1)(1)(2)2)(3)3)（1 1）；（2 2）；（3 3）.6481 625 255256;6681649 82178;64 探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用二次根式的积的算术平方根进行计算利用二次根式的积的算术平方根进行计算例例1 1 5025 2252055 2.化化简简:提示：提示：化简二次根式，就要把被开方数中的化简二次根式，就要把被开方数中的平方数平方数（或平方式）（或平方式）从根号里开从根号里开出来出来.巩固练习巩固练习（1）12（2
8、）1527（3）34a解解:24 323122 3（1）259959 3515327（2）aa222342aaa（3）变式训练变式训练解解:探究新知探究新知素养考点素养考点 2利用二次根式的商的算术平方根进行计算利用二次根式的商的算术平方根进行计算 化简：化简：（1）（2）（3）例例2 2 （1）55;39595;92;71.3227114;777772（2）1313.33133（3）化简：化简：（7）9252）（213）（巩固练习巩固练习解：解：变式训练变式训练49116（）2553925;9（2）122221.22（3）（1）497414916;62 324 73 3.53，特点：特点：被
9、开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式.最简二次根式：最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式最简二次根式.讨论讨论 探究新知探究新知知识点 3最简二次根式的概念最简二次根式的概念右边一组数有哪些特点？右边一组数有哪些特点？最简二次根式的条件：最简二次根式的条件：是是二次二次根式；根式；被开方数中被开方数中不含分母不含分母；被开方数中不含能被开方数中不含能开得尽方开得尽方的因数或因式的因数或因式探究新知
10、探究新知条件总结条件总结例例 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由不是最简二次根式的，请说明理由解：解：(1)(1)不是不是，因为被开方数中含有分母因为被开方数中含有分母(3)3)不是不是,因为因为被开方数是小数被开方数是小数(即含有分母即含有分母)(4)4)不是不是，因为被开方数因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数中含有能开得尽方的因数4，422.(5)5)不是不是，因为因为x36x29xx(x26x9)x(x 3)2，被开方数中含有被开方数中含有能开得尽方的因式能开得尽方的因式(6)6
11、)不是不是,因为因为分母中有二次根式分母中有二次根式.2323)6(;96)5(;24)4(;2.0)3(;2)2(;31)1(232xxxxx探究新知探究新知素养考点素养考点 1 识别最简二次根式识别最简二次根式(2)(2)是是 方法点拨判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：(1)(1)被开方数被开方数不含分母不含分母，即被开方数必须是整数，即被开方数必须是整数(式式)；(2)(2)被开方数被开方数不含能开得尽方的因数不含能开得尽方的因数(式式)，即被
12、开方数，即被开方数中每个因数中每个因数(式式)的指数都小于的指数都小于根指数根指数2；另外还要具备；另外还要具备分母中不含二次根式的条件分母中不含二次根式的条件探究新知探究新知 判断下列各式是否为最简二次根式？判断下列各式是否为最简二次根式？125.43（2 2）（）（3 3）（）（4 4）（）（1 1）（）巩固练习巩固练习变式训练变式训练（5 5）（）（6 6）（）2ab2288xx12B1.（2019河池）下列式子中，为最简二次根式的是（）河池）下列式子中，为最简二次根式的是（）A B C D2124122.（2019连云港）要使连云港）要使 有意义，则实数有意义，则实数x的取值范围是的取
13、值范围是（）（）Ax1Bx0Cx1Dx01xA连接中考连接中考1.要使式子要使式子 有意义，有意义，a的取值范围是（的取值范围是（）A.a 0 B.a-2且且a 0 C.a-2或或a 0 D.a-2且且a 0 2下列式子一定是二次根式的是（下列式子一定是二次根式的是（）A B C D3.下列根式中，不是最简二次根式的是（下列根式中，不是最简二次根式的是（）A B CDaa2课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题D2 xx22x22xC73221C4.计算计算：解解：课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题（1）;）（）（169-144-（2）.41164a（1）（）（
14、169-144-169144=1213=156;（2）41164a41641a2144a=a2.5.化简：化简：.)5(53)3(;72.0)2(;363)1(3解：解：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简提示：提示：课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题(1)363121 31211;133272723626(2)0.722;100101003510232(3)35(5)524 13413.13 课堂检测课堂检测1.若若 ，则，则 （）（）Ax6 Bx0 C0 x6 Dx为一切实数为一切实数 66x xxxA能 力 提 升 题能
15、力 提 升 题2.当当1a2时，代数式时，代数式 的值是的值是()A1 B1C2a3 D32aaa 1)2(2B（1）；（；（2）化简化简：225328 3226900 xx yxyxy,解：解：（1）258145;3xyx().().拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂检测课堂检测53285328()()()()5328532823x xy()()225328（2）32269xx yxy二次根式二次根式定义定义带有带有二次根号二次根号在有意义条在有意义条件下求字母件下求字母的取值范围的取值范围抓住被开方数必须为抓住被开方数必须为非负数非负数，从而建立不，从而建立不等式求出其解集等式求出其解集.被开方数为被开方数为非负数非负数积的算术平积的算术平方根方根最简二次根式最简二次根式课堂小结课堂小结商的算术平商的算术平方根方根 (00)aababb，(00aabbab，）课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习
