1、1教材与参考书教材与参考书 教材教材 张广祥张广祥:抽象代数抽象代数理论、问题与方法理论、问题与方法,科科学出版社学出版社,2005 课程名称课程名称:近世代数近世代数 学习内容学习内容:教材前教材前6章章2学习前学习前6章章 1 导引导引(3)2 数环与数域数环与数域(6)3 尺规作图尺规作图(4)4 对称与群对称与群(5)5 代数方程的代数方程的Galois理论理论(7)6 从勾股定理到费马定理从勾股定理到费马定理(7)3本教材特点本教材特点 以问题解决为主线以问题解决为主线 避免概念化教学避免概念化教学4问题解决问题解决 第第2章章 数环与数域数环与数域:整数的平方和定理整数的平方和定理
2、 第第3章章 尺规作图问题尺规作图问题:尺规作图尺规作图3大难题大难题 第第4章章 对称与群对称与群:晶体分类定理晶体分类定理 第第5章章 代数方程的代数方程的Galois理论理论:不可解方程不可解方程 第第6章章 从勾股定理到费马定理从勾股定理到费马定理:2次代数整数环分类次代数整数环分类5问题解决问题解决 第第7章章 域上的代数域上的代数:实数域上可除代数实数域上可除代数;欧拉恒等式欧拉恒等式;合成代数分类问题合成代数分类问题 第第8章章 多项式环的理想多项式环的理想:希尔伯特基定理希尔伯特基定理;代数簇不可约分解代数簇不可约分解 第第9章章 理想的唯一分解性理想的唯一分解性:整数唯一分解
3、整数唯一分解 定理推广定理推广 第第10章希尔伯特第章希尔伯特第17问题问题:整函数平方和整函数平方和6第第1 1章章 导引导引 1.1 1.1 方法与对象方法与对象 1.2 1.2 映射与运算映射与运算 1.3 1.3 群、环、域的定义群、环、域的定义71.1 1.1 方法与对象方法与对象 代数学发展的代数学发展的4 4个阶段个阶段:1 1 文字叙述阶段文字叙述阶段 2 2 简化文字阶段简化文字阶段 3 3 符号代数阶段符号代数阶段 4 4 结构代数阶段结构代数阶段81.1 1.1 方法与对象方法与对象 1 1 文字叙述阶段文字叙述阶段 主要特点主要特点:直观推理直观推理 古代中国古代中国:
4、筹算法筹算法 古代希腊古代希腊:几何数论几何数论9古代中国古代中国:筹算法筹算法 算筹计数算筹计数 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 10古代中国古代中国:筹算法筹算法 九章算术：筹算开方九章算术：筹算开方商商(根根)5 5 2 2 5实实法法负负2商商5 5 2 2 5实实2法法4负负2 3商商1 5 2 2 5实实 4 3法法1 2 9 负负5522511九章算术：开方术九章算术：开方术2 3商商 2 3 2 5实实 4 3法法负负2 3商商 2 3 2 5实实 4 6法法负负2 3 5商商 2 3 2 5实实 4 6 法法负负 2 3 5
5、商商 0实实 4 6 5法法 0负负 2 3 5商商 2 3 2 5实实 4 6 5法法 2 3 2 5负负 2 3 5商商 2 3 2 5实实 4 6 5法法 负负23555225 12古代希腊古代希腊:几何数论几何数论 1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2.132 2 简化文字阶段简化文字阶段 丢番图（丢番图（Diophantus,公元公元250年）年）算术算术使用简化文字符号使用简化文字符号 12345678910：平方：平方：，（dunamis）立方：立方：，（kubos）x3+8x-1：*x:;x3+8x:;减减:;常数常数:*143 3 符号代数阶段符号
6、代数阶段 字母表示数字母表示数 M.Stiefel(1486-1567)1553M.Stiefel(1486-1567)1553综合算术综合算术 使用使用+、-、F.Viete(1540-1603)F.Viete(1540-1603):cubus aequalia a cubus+a plano2in b+b cubus aequalia a cubus+a plano2in b+b cubuscubus2222)(babababa 153 3 符号代数符号代数阶段阶段 符号代数的意义符号代数的意义 字母表示数：代数学不再停留在具体的字母表示数：代数学不再停留在具体的数字计算，有了真正意义的数
7、学公式、数字计算，有了真正意义的数学公式、运算法则，并由此进化为现代数学符号运算法则，并由此进化为现代数学符号系统、现代数学公理系统系统、现代数学公理系统 项武义：近代代数学的分界不在于项武义：近代代数学的分界不在于“字字母表示数母表示数”而是而是“不定元引入不定元引入”164 4 结构代数结构代数阶段阶段 结构代数：从公理系统出发研究特定的结构代数：从公理系统出发研究特定的代数系统，群、环、域等代数系统，群、环、域等 抽象代数是现代数学的基础抽象代数是现代数学的基础 拓扑学：基本群、上同调群拓扑学：基本群、上同调群 代数数论：理想论代数数论：理想论 代数几何：代数簇代数几何：代数簇17抽象代
8、数三大基础抽象代数三大基础 1 1 高次方程求根问题：高次方程求根问题：GaloisGalois群，扩域群，扩域 2 2 费马问题高斯方法：费马问题高斯方法：KummerKummer理想论理想论 3 3 复数的几何解释：复数的几何解释：HamiltonHamilton四元数四元数18 思考问题思考问题1 1 刘徽像刘徽像 利用乘法公式解释筹算开方法利用乘法公式解释筹算开方法 的原理的原理19思考问题思考问题2 2：素数的复整数分解：素数的复整数分解 5=5=（1+2i1+2i）（）（1-2i1-2i）问题：通常整数（有理整数）问题：通常整数（有理整数）p=a+bip=a+bi在复在复整数中存在
9、非平凡分解的充分必要条件整数中存在非平凡分解的充分必要条件 注：注：1，i i是复整数中仅有的非平凡是复整数中仅有的非平凡因子因子20思考问题思考问题3 3：数学符号的价值和功能：数学符号的价值和功能 现代数学密切依赖于高度专业化的符号现代数学密切依赖于高度专业化的符号系统，数学符号系统不仅仅是简化的表系统，数学符号系统不仅仅是简化的表达形式，也是思维的有力工具：例，蝴达形式，也是思维的有力工具：例，蝴蝶定理的蝶定理的“傻瓜证法傻瓜证法”.试用你自己的例证说明数学符号的价值试用你自己的例证说明数学符号的价值和功能和功能.21蝴蝶定理蝴蝶定理ADGOFCHBE132422蝴蝶定理蝴蝶定理 蝴蝶定
10、理蝴蝶定理“傻瓜证法傻瓜证法”114433221SSSSSSSS231.2 1.2 映射与运算映射与运算 映射定义；单射、满射、一一映射映射定义；单射、满射、一一映射 集合集合A A上的上的2 2元映射称为（元映射称为（2 2元）运算元）运算24 集合分类集合分类 定义：非空集定义：非空集A A上上2 2元关系元关系a ab b，满足，满足 1 1 自反性：自反性：a aa a 2 2 对称性：若对称性：若a ab b则则b ba a 3 3 传递性：若传递性：若a ab b、b bc c则则a ac c 称称2 2元关系为等价关系元关系为等价关系 等价类等价类 A A（a a）=x=xa|x
11、A a|xA 商集商集 =A=A（a a）|aA|aA A25集合分类集合分类 等价关系，例：等于；等价关系，例：等于；朋友关系；朋友关系；模模n n同余：若同余：若n|a-bn|a-b则记则记a ab（n n），称为），称为a a与与b b模模n n同余同余 同余类：同余类：00，11，22，n-1n-126思考问题：映射的交换图思考问题：映射的交换图 已知映射已知映射：A AB B满，定义满，定义：A AA A ，：B BA A 证明证明 一一；图交换一一；图交换 =A A B B A A271.3 1.3 群、环、域的定义群、环、域的定义n 群的定义n 整数加群（Z，+）：n 1.加法封
12、闭n 2.加法结合n 3.加法交换n 4.有0元n 5.有逆元28群的定义群的定义 群的定义群的定义:非空集非空集G,G,存在存在2 2元运算元运算(乘法乘法),),满满足条件足条件 1.1.封闭律封闭律 2.2.结合律结合律 3.3.单位元单位元e e 4.4.逆元逆元a a-1-1 称称G G是一个群是一个群.29群的一些简单性质群的一些简单性质 1.1.群的单位元唯一群的单位元唯一 2.2.每个元素的逆元唯一每个元素的逆元唯一 3.3.乘法不必交换乘法不必交换,若交换则称为交换群若交换则称为交换群 4.4.若干例若干例:有理数加群、非零有理数乘群有理数加群、非零有理数乘群 n n次单位根
13、乘群、完全线性群次单位根乘群、完全线性群GL(n,F)GL(n,F)5.5.子群定义子群定义30 环的定义环的定义 整数环整数环Z:Z:全体整数两个运算全体整数两个运算,加法、乘法加法、乘法,满足满足 1.Z1.Z是加群是加群 2.2.乘法封闭、结合、交换乘法封闭、结合、交换 3.3.乘法对加法分配律乘法对加法分配律 称为整数环称为整数环.31 环的定义环的定义 环的定义环的定义:非空集非空集R R有两个运算有两个运算,加与乘加与乘,满足满足 1.R1.R是一个加群（交换）是一个加群（交换）2.2.乘法封闭、结合乘法封闭、结合 3.3.左右分配律左右分配律 则称则称R R是一个环是一个环.注注
14、:0:0元、单位元、可逆元（单位）、交换环元、单位元、可逆元（单位）、交换环32 环的例环的例 环的若干实例：环的若干实例：整数环、有理数环（域）、多项式环、连续函整数环、有理数环（域）、多项式环、连续函数环、全矩阵环数环、全矩阵环MaxMaxn n(R)(R)子环定义子环定义33 域的定义域的定义 域的定义域的定义 域的若干实例域的若干实例:有理数域、实数域、复有理数域、实数域、复数域数域 数域数域Q(i)Q(i)、Q Q（）334 本节思考问题本节思考问题 汤汤璪璪真（毛泽东同学）群：定义整数集真（毛泽东同学）群：定义整数集Z Z上上“*”运算运算:a:a*b=a+b-1,b=a+b-1,
15、证明证明(Z,(Z,*)是一个群是一个群.并讨并讨 论论(Z,(Z,*)与整数加群之间的关系与整数加群之间的关系.35本节新增习题本节新增习题 习题习题1 1 证明含证明含n n个元素的集合个元素的集合A(A(称为文字称为文字集集)上的全体一一映射上的全体一一映射,把复合映射作为映把复合映射作为映射的乘法射的乘法,组成一个群组成一个群,记这个群为记这个群为S Sn n,称为称为n n次对称群次对称群.习题习题2 2 证明整数模证明整数模5 5的同余类的同余类(剩余类剩余类)对对于同余类的加法和乘法运算成为一个环于同余类的加法和乘法运算成为一个环.问这个环含几个元素问这个环含几个元素?这个环是不是域这个环是不是域?
