1、 第第 18 讲讲 相似三角形相似三角形 知识点 1 比例线段 1若mn n 5 2，则 m n的值为(D) A.5 2 B.2 3 C.2 5 D.3 2 2如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果AC AB BC AC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，AC 与 AB 的比叫做黄金比，其比值是(A) A. 51 2 B.3 5 2 C. 51 2 D.3 5 2 知识点 2 平行线分线段成比例 3如图，已知直线 abc，直线 m 交直线 a，b，c 于点 A，B，C，直线 n 交直线 a，b，c 于点 D，E，F，若AB BC 1 2，则 DE EF(B) A.1
2、 3 B.1 2 C.2 3 D1 知识点 3 相似三角形的性质 4已知ABCDEF，且ABC 与DEF 的相似比为 41，则ABC 与DEF 对应边上的高之比为 41， ABC 与DEF 对应边上的中线的比为 41，ABC 与DEF 对应角的角平分线的比为 41，ABC 与DEF 的 周长之比为 41，ABC 与DEF 的面积之比为 161 知识点 4 相似三角形的判定 5如图，点 P 在ABC 的边 AC 上，要判断ABPACB，添加一个条件，不正确的是(D) AABPC BAPBABC C.AP AB AB AC D.AB BP AC CB 6如图，在ABC 中，DEBC，EFAB，求证
3、：ADEEFC. 证明：DEBC，AEDC. 又EFAB，AFEC. ADEEFC. 知识点 5 相似多边形 7如图，六边形 ABCDEF六边形 GHIJKL，相似比为 21，则下列结论正确的是(B) AE2K BBC2HI C六边形 ABCDEF 的周长六边形 GHIJKL 的周长 DS六边形ABCDEF2S六边形GHIJKL 重难点 1 相似三角形的性质与判定 (2017 杭州)如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AGBC 于点 G，AFDE 于点 F，EAFGAC. (1)求证：ADEABC； (2)若 AD3，AB5，求AF AG的值 【思路分析】 (
4、1)根据等角的余角相等可得AEDACB，又EAD 与CAB 是公共角，进而可证明 ADEABC；(2)由(1)可得AD AB AE AC，又易证EAFCAG，所以 AF AG AE AC，所以 AF AG AD AB. 【自主解答】 (1)证明：AGBC，AFDE， AFEAGC90. EAFGAC， AEDACB. 又EADBAC， ADEABC. (2)由(1)可知：ADEABC， AD AB AE AC 3 5. 由(1)可知：AFEAGC90， 又EAFGAC. EAFCAG. AF AG AE AC. AF AG 3 5. 【变式训练 1】 (2016 凉山)如图， ABC 的面积为
5、 12 cm2， 点 D， E 分别是 AB， AC 边的中点， 则梯形 DBCE 的面积为 9cm2., 方法指导 1判定三角形相似的思路： 有平行截线用平行线的 性质，找等角 有一对 等角，找 另一对等角 两夹边对应成 比例 有两边对应成 比例，找 夹角相等 第三边也对 应成比例 一对直角 直角三 角形，找 一对锐角相等 斜边、直角边对 应成比例 等腰三角 形，找 顶角相等 一对底角相等 底和腰对应 成比例 2由三角形相似证线段成比例的一般步骤： (1)先看要证的成比例线段，确定可能的相似三角形； (2)再找这两个三角形相似所需的条件； (3)如果这两个三角形不相似，那么采用其他方法(如找
6、中间比代换等) 3证明两组线段的积相等，常常将等积式化为等比式，然后找“平行或三角形相似”解决 重难点 2 与相似三角形有关的证明与计算 (2017 眉山)如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接 DE，过顶点 B 作 BFDE，垂 足为 F，BF 分别交 AC 于 H，交 BC 于 G. (1)求证：BGDE； (2)若点 G 为 CD 的中点，求HG GF的值 【思路点拨】 (1)利用 ASA 证明BCGDCE 得到 BGDE；(2)设 CG1，从而知 CGCE1，由勾股 定理可知：DEBG 5，易证ABHCGH，所以BH HG2，从而可求出 HG 的长度，进而求出
7、 HG GF的值 【自主解答】 (1)证明：BFDE， GFD90. BCG90，BGCDGF， CBGCDE. 在BCG 和DCE 中， CBGCDE， BCDC， BCGDCE， BCGDCE(ASA) BGDE. (2)设 CG1，G 为 CD 的中点， GDCG1. 由(1)可知：BCGDCE， CGCE1. 由勾股定理可知：DEBG 5. sinCDECE DE GF GD，GF 5 5 . ABCG，ABHCGH. AB CG BH GH 2 1.BH 2 3 5，GH 5 3 .HG GF 5 3. 【变式训练 2】 (2015 泰安)如图，在ABC 中，ABAC，点 P，D 分
8、别是 BC，AC 边上的点，且APD B. (1)求证：AC CDCP BP； (2)若 AB10，BC12，当 PDAB 时，求 BP 的长 解：(1)证明：APCPABBAPDDPC， APDB，DPCPAB. ABAC，ABPPCD. ABPPCD.AB PC BP CD. 又ABAC， AC PC BP CD，即 AC CDCP BP. (2)PDAB，DPCB. 又PABDPC，PABB. 又BC，PABC. 又PBAABC，PBAABC. BP BA BA BC.BP AB2 BC 10 2 12 25 3 . , 方法指导 解答相似三角形有关的问题时，要善于挖掘题中隐含的相似三角
9、形的基本图形，从而将形的关系转 化为对应边成比例的数的关系来求解 1(2017 兰州)已知 2x3y(y0)，则下面结论成立的是(A) A.x y 3 2 B.x 3 2 y C.x y 2 3 D.x 2 y 3 2(2017 杭州)如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DEBC，若 BD2AD，则(B) A.AD AB 1 2 B.AE EC 1 2 C.AD EC 1 2 D.DE BC 1 2 第 2 题图 第 3 题图 3(2017 连云港)如图，已知ABCDEF，ABDE12，则下列等式一定成立的是(D) A.BC DF 1 2 B.A的度数 D的度数 1 2
10、C.ABC的面积 DEF的面积 1 2 D.ABC的周长 DEF的周长 1 2 4(2016 湘西)如图，在ABC 中，DEBC，DB2AD，ADE 的面积为 1，则四边形 DBCE 的面积为(D) A3 B5 C6 D8 5(2017 枣庄)如图，在ABC 中，A78，AB4，AC6，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三 角形与原三角形不相似的是(C) 6(2017 绵阳)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和 卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端 E，标记好脚掌中 心位置为 B，测得脚掌中
11、心位置 B 到镜面中心 C 的距离是 50 cm，镜面中心 C 距离旗杆底部 D 的距离为 4 m，如图 所示已知小丽同学的身高是 1.54 m，眼睛位置 A 距离小丽头顶的距离是 4 cm，则旗杆 DE 的高度等于(B) A10 m B12 m C12.4 m D12.32 m 第 6 题图 第 7 题图 7(2017 自贡)如图，在ABC 中，MNBC 分别交 AB，AC 于点 M，N.若 AM1，MB2，BC3，则 MN 的 长为 1 8(人教 9 下教材 P42T4 变式题)(2016 临沂)如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别 在 AB，AC，BC 上，DEBC， EFAB.若
12、AB8，BD3，BF4，则 FC 的长为12 5 第 8 题图 第 9 题图 9(2017 潍坊)如图，在ABC 中，ABAC，D，E 分别为边 AB，AC 上的点，AC3AD，AB3AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件：DFAC 或BFDA(答案不唯一)，可以使得FDB 与ADE 相似(只需写出 一个) 10如图，OPQ 在边长为 1 个单位长度的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点 A，B，C，D，E 也是 小正方形的顶点，从点 A，B，C，D，E 中选取三个点所构成的三角形与OPQ 相似，那么这个三角形是CDB 第 10 题图 第 11 题图 11(易错易混)如图，P 是
13、 RtABC 的斜边 BC 上异于 B，C 的一点，过点 P 作直线截ABC，使截得的三角形与 ABC 相似，满足这样条件的直线共有 3 条 12 (2017 江西)如图， 正方形 ABCD 中， 点 E， F， G 分别在 AB， BC， CD 上， 且EFG90.求证： EBFFCG. 证明：四边形 ABCD 为正方形， BC90. BEFBFE90. EFG90， BFECFG90. BEFCFG. EBFFCG. 13(2017 衢州)如图，AB 为半圆 O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 切半圆 O 于点 D，连接 OD.作 BECD 于点 E，交半圆 O 于点 F.已知
14、CE12，BE9. (1)求证：CODCBE； (2)求半圆 O 的半径 r 的长 解：(1)证明：CD 切半圆 O 于点 D， CDOD. CDO90. BECD， E90CDO. 又CC， CODCBE. (2)在 RtBEC 中，CE12，BE9， BC CE2BE215. CODCBE， OD BE OC BC，即 r 9 15r 15 . 解得 r45 8 . 14(2016 山西)宽与长的比是 51 2 (约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以 协调和匀称的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ABCD，分别取 AD，BC 的中点 E，
15、F，连接 EF；以点 F 为圆心，FD 为半径画弧，交 BC 的延长线于点 G；作 GHAD，交 AD 的延长线于点 H.则图中下列矩 形是黄金矩形的是(D) A矩形 ABFE B矩形 EFCD C矩形 EFGH D矩形 DCGH 15(易错易混)如图，在ABC 中，C90，BC16 cm，AC12 cm，点 P 从点 B 出发，沿 BC 以 2 cm/s 的速 度向点 C 移动，点 Q 从点 C 出发，沿 CA 以 1 cm/s 的速度向点 A 移动，若点 P，Q 分别从点 B，C 同时出发，设 运动时间为 t s，当 t24 5 或64 11时，CPQ 与CBA 相似 16(2017 泰安
16、)如图，四边形 ABCD 中，ABACAD，AC 平分BAD，点 P 是 AC 延长线上一点，且 PDAD. (1)证明：BDCPDC； (2)若 AC 与 BD 相交于点 E，AB1，CECP23，求 AE 的长 解：(1)证明：ABAD，AC 平分BAD， ACBD. ACDBDC90. ACAD， ACDADC. ADCBDC90. PDAD，ADPADCPDC90. BDCPDC. (2)过点 C 作 CMPD 于点 M， BDCPDC， CECM. CMPADP90，PP， CPMAPD. CM AD PC PA. 设 CMCEx，CECP23，PC3 2x. ABADAC1， x 1 3 2x 3 2x1 .解得 x1 3. AE1x11 3 2 3.
