1、二次函数y=ax+bx+c例：如果函数例：如果函数 是二次函数是二次函数,则则k k的值是的值是_ 1)3(232kxxkykk0类型一：一般式 y=ax+bx+c抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.a4bac4,a2b2 a4bac4,a2b2a2bx 直线直线a2bx 直线直线a4bac4,a2bx2 最小值为最小值为时时当当a
2、4bac4,a2bx2 最大值为最大值为时时当当开口开口方向方向对称轴对称轴类型二：顶点式 y=a(x-h)2+k抛物线抛物线y=a(x-h)2+k（a0 0）y=a(x-h)2+k（a0 0）开口方向顶点坐标对称轴最值增减性向上向下直线x=h直线x=h（h,k）（h,k）当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k当xh时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大.当xh时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大.5x6x3y2 5x2x32 提取二次项系数 511x2x32 配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 .21x32 1.利用配方法：二次函数 图象的对称
3、轴和顶点坐标.5632xxy2.2.下列二次函数中，图象以直线下列二次函数中，图象以直线x=2x=2为对称轴、且经过点为对称轴、且经过点(0(0，1)1)的是的是().().A.y=(x2)2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x2)23 D.y=(x+2)23 C3.3.二次函数二次函数y=2(x+2)y=2(x+2)2 2-3-3的图像是（的图像是（）C1.开口方向开口方向2.顶点坐标顶点坐标3.对称轴对称轴4.与与x轴、轴、y轴交点轴交点4.对于抛物线y=-(x2）2+6，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=2；顶点坐标为（2，6）；当x2时，y随x的增大而减小 其中正确的
4、结论有（）A1个B2个C3个D4个5.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是（）A.图象与y轴交点坐标（0,1）B.图象的对称轴在y轴的右侧 C.当xy2y3 B.y1y3 y2 C.y3y2y1 D.y3y1y2离对称轴越近离对称轴越近函数值越大函数值越大 x=-1离对称轴越近离对称轴越近函数值越小函数值越小 x=-1A6.设设A(2,y1)、B(1,y2)、C(2,y3)是抛物线是抛物线 y=(x+1)2+m上的三点，上的三点，则则 y1、y2、y3的大小关系为的大小关系为()A.y1y2y3 B.y1y3 y2 C.y3y2y1 D.y3y1y2离对称轴越近离对称轴越近函数值
5、越大函数值越大 x=-1A1y2y3y7.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若-1x10，3x24，则y1_y2（填“”、“”或“=”）解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=1，a=10，抛物线开口向上，-1x10，3x24，y1y21y2y （2 2）求函数）求函数y yx x2 2+4x+4x3 3 （0 x 20 x 2）的最值。）的最值。求函数求函数y y-x-x2 2+4x+4x3 3 （-3x 5-3x 5）的最值。）的最值。解：解：（1）对称轴为直线对称轴为直线 x=-2,当当x=-2时，时，y最小最小=-7 ，无最大值
6、，无最大值 （3）对称轴为直线）对称轴为直线x=2 当当x=2时时,y最大最大=1 当当x=-3时时,y最小最小=-24 （2）对称轴为直线）对称轴为直线x=-2 当当x=2时时,y最大最大=9 当当x=0时时,y最小最小=-3 9.已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+3a2+3，当x2时，y随x的增大而增大，且当-2x1时，y的最大值为9，则a的值为()解析：抛物线的对称轴为直线x=-1，x2，抛物线开口向下，当-2x1时，在x=1处取得最大值9，a+2a+3a2+3=9,D1.2.22-.2-1.DCBA或或 (1)若已知抛物线与若已知抛物线与x轴相交的其中一个交点是轴相交的其中一个交
7、点是A(x1,0)，且其对称轴是其对称轴是x=m，则另一，则另一个交点个交点B的坐标的坐标(x2,0)可以用可以用x1、m表示出来（注：应由表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要画出图象）而定，在应用时要画出图象）.x2=2m-x1mxx 221二次函数的对称性 (2)抛物线上两个不同点抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有若有y1=y2，则，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点两点是关于抛物线对称轴对称的点;二次函数的对称性 (3)0与与x1+x2关于关于 对称对称.对称轴对称轴求对称轴方法：求对称轴方法：1.a
8、bx22.顶点式：顶点式：x=h3.221xxx10.已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标图象上部分点的横坐标x与纵坐标与纵坐标y的对应的对应值如表格所示，那么它的图象与值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一交点坐标是轴的另一交点坐标是 .（3，0）-26当当x=4时，时，y的值为的值为 .611.已知二次函数已知二次函数y=ax2+2ax+m(a0)图象过点（图象过点（2，0），则使函数值），则使函数值y0成成立的立的x的取值范围是（的取值范围是（）A.x2 B.-4x2 C.x2 D.0 x2A12.12.如图所示的是二次函数如图所示的是二次函数y y1 1=a
9、x=ax2 2+bx+c+bx+c和一次函数和一次函数y y2 2=mx+n=mx+n的图象，观察的图象，观察图象写出图象写出y y2 2yy1 1时，时，x x的取值范围是的取值范围是 13.如图，直线如图，直线y1=kx+b与抛物线与抛物线y2=ax2+bx+c(a00)分别交于分别交于A(-2,4),B(8,2)两点，当两点，当ax2+(b-k)x+c-by2-2x8（1）a决定抛物线的开口方向；决定抛物线的开口方向；（2）b与与a共同决定对称轴共同决定对称轴:“左同右异左同右异”；（3）c决定于决定于y轴交点的位置；轴交点的位置；（4）b2-4ac决定与决定与x轴交点的个数；轴交点的个
10、数；（5）2a+b的符号：比较对称轴与的符号：比较对称轴与1的大小，当对称轴为的大小，当对称轴为x=1时，时，2a+b=0；2a-b的符号：比较对称轴与的符号：比较对称轴与-1的大小，当对称轴为的大小，当对称轴为x=-1时，时，2a-b=0；（6）决定最值；决定最值；abac442（7）a+b+c的符号：令的符号：令x=1，看纵坐标；，看纵坐标；a-b+c的符号：令的符号：令x=-1，看纵坐标；，看纵坐标；4a+2b+c，4a-2b+c的符号：分别令的符号：分别令x=2，x=-2,看纵坐标看纵坐标.1.如图，二次函数如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴交于轴交于A，B两点，与
11、两点，与y轴交于点轴交于点C，且对称轴为且对称轴为x=1，点，点B的坐标为（的坐标为（-1,0）.则下面的四个结论：则下面的四个结论：2a+b=0;4a-2b+c0;当当y0时，时，x2.其中正确的个数是其中正确的个数是().A.1 B.2 C.3 D.4B2.(2018大庆）如图，二次函数大庆）如图，二次函数y=ax2+bx+c的经过的经过A（-1,0），），B（3,0）两点，）两点，点点C（4，y1)，若点，若点D（x2,y2）是抛物线上任意一点）是抛物线上任意一点.则下面的四个结论：则下面的四个结论：二次函数二次函数y=ax2+bx+c的最小值为的最小值为-4a;若若-1x24，则，则0
12、y25a;若若y2y1，则，则x24;一元二次方程一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为的两个根为-1和和 .其中正确的个数是其中正确的个数是().A.1 B.2 C.3 D.4C313.(2018本溪模拟本溪模拟)已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示的图象如图所示.则下面的四个则下面的四个结论：结论：b2-4ac0;abc0;a-b+c0;一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c+2=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根.正确的是正确的是 .-2Oxy4.(2018白银白银)已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示，与的图象的一部分如图所
13、示，与x轴的轴的交点交点A在点（在点（2,0）和（）和（3,0）之间，对称轴为）之间，对称轴为x=1.对于下列说法：对于下列说法：ab0;a+bm(am+b)(m为实数为实数);当当-1x0.正确的是正确的是().A.B.C.D.A5.(2018达州达州)已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的与的图象的与x轴的交点轴的交点A（-1,0），与），与y轴的交点轴的交点B在（在（0,2）和（）和（0,3）之间（不包括这两点），对称轴为）之间（不包括这两点），对称轴为x=2.对于对于下列说法：下列说法：abc0;若点若点M（，y1），），N（，y2）是函数图象上两点，则）是函数图象上两点
14、，则y1y2;正确的有正确的有()个个.A.1 B.2 C.3 D.4D21255253a沿沿y y轴平移轴平移向上平移向上平移n n个单位：个单位：二次函数二次函数y=a(x-h)2+k(a0)0)变为变为 ；二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)0)变为变为 ；向下平移向下平移n n个单位：个单位：二次函数二次函数y=a(x-h)2+k(a0)0)变为变为 ；二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)0)变为变为 ；y=a(x-h)2+k+ny=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k-ny=ax2+bx+c-n沿沿x x轴平移轴平移向左平移向左平移m m个单位：个单位：二次函数
15、二次函数y=a(x-h)2+k(a0)0)变为变为 ；二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)0)变为变为 ；向右平移向右平移m m个单位：个单位：二次函数二次函数y=a(x-h)2+k(a0)0)变为变为 ；二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)0)变为变为 ；y=a(x-h+m)2+ky=a(x+m)2+b(x+m)+cy=a(x-h-m)2+ky=a(x-m)2+b(x-m)+c1.1.将抛物线将抛物线y=-3xy=-3x2 2的图象向右平移的图象向右平移1 1个单位，再向下平移个单位，再向下平移2 2个个单位后，则所得抛物线解析式为单位后，则所得抛物线解析式为 （）A Ay=
16、-3(x-1)y=-3(x-1)2 2-2-2；B By=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2+2+2；C Cy=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2-2-2；D Dy=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2+2+22.将二次函数将二次函数y=-2xy=-2x2 2+4x+6+4x+6的图象向左平移的图象向左平移1 1个单位，再向下平移个单位，再向下平移2 2个个单位，求平移后的解析式单位，求平移后的解析式?y=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2+4(x+1)+6-2 +4(x+1)+6-2 A3.3.已知已知y=2xy=2x2 2的图象是抛物线，若抛物线不动，把的图象是抛物线，若抛物
17、线不动，把 x x轴、轴、y y轴分别向上，轴分别向上，向右平移向右平移2 2个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式为个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式为(）.y=2.y=2（x-2x-2）2 2+2+2 .y=2.y=2（x+2x+2）2 2-2-2 .y=2.y=2（x-2x-2）2 2-2-2 .y=2.y=2（x+2x+2）2 2+2+2 y=-2x y=-2x2 2+6+6B A 1.1.与抛物线与抛物线y=xy=x2 2-2x-4-2x-4关于关于x x轴对称的图象表示为轴对称的图象表示为()()A Ay=-xy=-x2 2+2x+4+2x+4 B By=-xy=-x2 2
18、+2x-4+2x-4 C Cy=xy=x2-2-2x+62x+6 D Dy=xy=x2 2-2x-4-2x-4 分析：根据分析：根据“关于关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”得变化后得变化后解析式为：解析式为：-y=x2-2x-4，即：，即：y=-x2+2x+4 2.2.如果某二次函数的图象与已知二次函数如果某二次函数的图象与已知二次函数y=xy=x2 2-2x-2x的图象关于的图象关于y y轴对称，那么这个二轴对称，那么这个二次函数的解析式是（）次函数的解析式是（）A Ay=-xy=-x2 2+2x+2x B By=xy=x2 2+2x+2
19、x C Cy=-xy=-x2 2-2x-2x D Dy=xy=x2 22 2分析：关于分析：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，y=（-x）2-2（-x）即：）即：y=x2+2xB3 3与与y=xy=x2 2-2x-3-2x-3的图象关于原点的图象关于原点O O（0 0，0 0）对称的函数图象的解析式是（）对称的函数图象的解析式是（）A Ay=y=（x-1x-1）2 2-4-4 B By=-y=-（x+1x+1）2 2-4-4 C Cy=y=（x+1x+1）2 2+4+4 D Dy=-y=-（x+1x+1）2 2+4+4分析：根据分析：根据
20、“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”得变化得变化后解析式后解析式:-y=:-y=（-x-x）2 2-2-2（-x-x）-3-3，即：，即：y=-y=-（x+1x+1）2 2+4 +4 D D绕顶点旋转绕顶点旋转180180顶点坐标符号不变，顶点坐标符号不变，a a符号符号变相反变相反4.4.将抛物线将抛物线y=xy=x2 2+1+1的图象绕原点的图象绕原点O O旋转旋转180180,则旋转后的抛物线解析式则旋转后的抛物线解析式是是 _y=-xy=-x2 2-1-1 5.5.将抛物线将抛物线y=xy=x2 2-2x+3-2x+3绕它的顶点旋
21、转绕它的顶点旋转180180，所得抛物线的解析式是，所得抛物线的解析式是 _y=-xy=-x2 2+2x+1+2x+1绕原点旋转绕原点旋转180180顶点纵横坐标符号变相反顶点纵横坐标符号变相反(1)一般式：一般式：特点：特点：一般式必须是一般式必须是已知条件是图象上三个已知条件是图象上三个点的坐标则设一般式点的坐标则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出将已知条件代入，求出a、b、c的值的值cbxaxy2 特点：特点：若已知二次函数的若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最大值顶点坐标或对称轴或最大值或最小值或最小值，则设顶点式：，则设顶点式：ya(xh)2k(a0)，将已，将已知
22、条件代入，求出待定系数化为一般式知条件代入，求出待定系数化为一般式(2)顶点式：顶点式：)0()(2akhxay顶点坐标（顶点坐标（h，k）特点：特点：若已知二次函数图象若已知二次函数图象与与x轴的两个交点的坐标轴的两个交点的坐标，则设交点式：则设交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，将第三点的坐，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析，最后将解析式化为一般式式化为一般式(3)交点式：交点式：)0)()(21axxxxay1.已知：二次函数的图像经过点A(1，6)、B(3，0)、C(0，3)，求这个函数的解析式。解：解：设所求函数解析
23、式为设所求函数解析式为y=ax+bx+c.由已知函数图象过由已知函数图象过(-1,6),(3,0),(0,3)三点，得三点，得30396ccbacba 解这个方程组得所求得的函数解析式为15,322abc 215322yxx2.已知：二次函数的图像的对称轴为直线x=3，并且函数有最大值为5，图像经过点(1,3)，求这个函数的解析式。解：解：顶点的坐标是（顶点的坐标是（3 3，5 5），），设函数解析式为：设函数解析式为：y=a(x+3)5又抛物线经过点（又抛物线经过点（1 1，3 3），得），得 3=a(1+3)5 a=2所求的函数解析式为：所求的函数解析式为：y=2(x+3)5即即y=2x1
24、2x133.已知：如图,求二次函数解析式y=ax+bx+c.解：如图,由题意得：抛物线与x轴交于点（1，0）和（3，0）设所求函数解析式为设所求函数解析式为y=a(x1)(x3)图象过点（图象过点（0 0，3 3）3=a(01)(03)a=1所求的函数解析式为所求的函数解析式为y=(x1)(x3)即即y=x+2x+342-2-4-55oABC-1331.小亮父亲想用长为小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长房屋外墙长50m，设矩形，设矩形ABCD的边的边AB=xm，面积为，面积为Sm2.(1)写出写出S与
25、与x之间的函数关系式，并指出之间的函数关系式，并指出x的取值范围是什么？的取值范围是什么？(2)当羊圈和长和宽分别为多少米时，羊圈的面积为最大？最大值是多少？当羊圈和长和宽分别为多少米时，羊圈的面积为最大？最大值是多少？ABCDxmxm(80-2x)mxxxy802)2880(12）（401500280502-80 xxxx所以1.小亮父亲想用长为小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长房屋外墙长50m，设矩形，设矩形ABCD的边的边AB=xm，面积为，面积为Sm2.(1)写出写出S与与x之间的函数关系式，
26、并指出之间的函数关系式，并指出x的取值范围是什么？的取值范围是什么？(2)当羊圈和长和宽分别为多少米时，羊圈的面积为最大？最大值是多少？当羊圈和长和宽分别为多少米时，羊圈的面积为最大？最大值是多少？ABCDxmxm(80-2x)m开口方向开口方向对称轴对称轴自变量取值范围自变量取值范围在何处取在何处取得最值，得最值，求出最值求出最值2.用用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门米宽的门(不用篱笆不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时问养鸡场
27、的边长为多少米时,养鸡养鸡场占地面积最大场占地面积最大?最大面积是多少最大面积是多少?2mym2xmxm（48-2x+2）m开口向下 02-225)2(250 x对称轴为直线240 x且2625225最大时，当yxm25225250与墙平行的边长为.262525225平方米面积最大，最大面积为米时，米，答：养鸡场的边长为3.如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽圃，设花圃的宽AB=xm，面积为，面积为Sm2。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量
28、的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积米，求围成花圃的最大面积.ABCD24244x4xx x3.如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的圃，设花圃的AB=xm，面积为，面积为Sm2。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花
29、圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积米，求围成花圃的最大面积.ABCDx x24244x4x(1).设矩形的一边设矩形的一边AB=xcm,那么那么AD边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ycm2,当当x取何值取何值时时,y的最大值是多少的最大值是多少?解解：（1）AD=(-34x+30)cm ABCDMN40cm30cmxcm4.如图如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中，其中AB和和AD分别在两直角边上分别在两直角边上.(1).设矩形的一边设矩形的一
30、边BC=xm,那么那么AB边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何值时取何值时,y的最大值是多少的最大值是多少?5.如图如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点，其顶点A和点和点D分别在两直角边上分别在两直角边上,BC在斜边上在斜边上.ABCDEGF40m30mxmPQ242512xAB242450ABx(1).设矩形的一边设矩形的一边BC=xm,那么那么AB边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何值时取何值时,y的最大值是多少的最大值是多少?5.如
31、图如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点，其顶点A和点和点D分别在两直角分别在两直角边上边上,BC在斜边上在斜边上.ABCDEGF40m30mxmbmPQ6.6.服装厂生产某品牌的服装厂生产某品牌的T T恤衫成本是每件恤衫成本是每件1010元，根据市场调查，以单价元，根据市场调查，以单价1313元批发给经元批发给经销商，经销商愿意经销销商，经销商愿意经销50005000件，并且表示每件降价件，并且表示每件降价0.10.1元，愿意多经销元，愿意多经销500500件件.请你帮请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？助分析，厂家批发单价是多少时
32、可以获利最多？总利润总利润=每件利润每件利润销售数量销售数量.y)1013(x)1.05005000(x总利润总利润=每件利润每件利润销售数量销售数量.y)10(x)1.0135005000(x6.6.服装厂生产某品牌的服装厂生产某品牌的T T恤衫成本是每件恤衫成本是每件1010元，根据市场调查，以单价元，根据市场调查，以单价1313元批发给经元批发给经销商，经销商愿意经销销商，经销商愿意经销50005000件，并且表示每件降价件，并且表示每件降价0.10.1元，愿意多经销元，愿意多经销500500件件.请你帮请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？.)1.05005000)(1013(xxy1500001000050002xx开口向下 05000-155000110 x01,x最大时，取得最大值当且对称轴为直线yx
