1、中考数学专题复习 几何最值问题 思考：思考：几何最值问题可以分成哪些类型？几何最值问题可以分成哪些类型？在平面几何动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为几何最值问题。线段和（周长）最小线段和（周长）最小线段差最大线段差最大线段最大（小）值线段最大（小）值图形面积最值问题图形面积最值问题平移平移对称对称旋转旋转平移平移对称对称旋转旋转转化转化构造三角形构造三角形使点在线异侧使点在线异侧 使点在线同侧使点在线同侧 使目标线段与定长使目标线段与定长线段构成三角形线段构成三角形两点之间，线段最短两点之间，线段最短
2、垂线段最短垂线段最短三角形三边关系定理三角形三边关系定理三点共线时取得最值三点共线时取得最值函数及其性质函数及其性质建立建立数学数学模型模型考点一：（：设小明与小狗在A处，家在B处，小河为L，小明要在直线L上找一个点C（小狗在C处饮水），使得AC+BC最短。（如图所示）LBA例例1如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 【思路点拨】【思路点拨】连接DE，交BD于点P，连接BD。点B与点D关于AC对称，DE的长即为PE+PB的最小值。AB=4，E是BC的中点，CE=2。在RtCDE中，2222DE=CD+CE4+22 5 例例3.如图M
3、ON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A B C 5D【思路点拨】【思路点拨】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，ODOE+DE，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，AB=2，BC=1，OE=AE=AB=1。DE OD的最大值为：。故选A。215A522222ADAE11221例题例题4 如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画 O分别交AB，AC于E，F，连接EF
4、，则线段EF长度的最小值为 【思路点拨】【思路点拨】由垂线段的性质可知，当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OHEF，垂足为H。基本题型 如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线 上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【】yx如图，O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是 O上任意一点，过点P作PMAB于M，PNCD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当QCN度数取最大值时，线段CQ的长为 归纳：由归纳：由OQ=1/2
5、OP=1，得动点，得动点Q到定点到定点O的距离等于定值的距离等于定值1，从，从而点而点Q在以定点在以定点O为圆心，为圆心，1为半为半径的圆上运动径的圆上运动.如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为 .归纳：由归纳：由APB=90，得动，得动点点P在以定线段在以定线段AB为直径的圆为直径的圆上运动上运动.如图，正方形如图，正方形ABCD边长为边长为2，当点，当点A在在x轴上运动时，点轴上运动时，点D随之在随之在y轴上运动，在运轴上运
6、动，在运动过程中，点动过程中，点B到原点到原点O的最大距离的最大距离为为 .归纳：取归纳：取AD中点中点P，得，得OP=1/2AD=1，得动点，得动点P到定点到定点O的距离等于定值的距离等于定值1，从而点，从而点P在以定点在以定点O为圆心，为圆心，1为半为半径的圆上运动径的圆上运动.1.在如图所示的平面直角坐标系中，点在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线是直线y=x上的动点，上的动点，A(1,0)，B(2,0)是是x轴上的两点，轴上的两点，则则PA+PB的最小值为的最小值为_。线段之和最小问题线段之和最小问题2.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy中，已知点中，已知点A（0,1），），B
7、（1,2），点），点P在在x轴上运动，当点轴上运动，当点P到到A、B两两点距离之差的绝对值最大时，点点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是的坐标是_。线段之差最大问题线段之差最大问题3.如图，矩形如图，矩形ABCD中，点中，点M是是CD的中点，的中点，点点P是是AB上的一动点，若上的一动点，若AD=1，AB=2，则，则PA+PB+PM的最小值是的最小值是_。线段之和最小问题线段之和最小问题P P4.如图，菱形如图，菱形ABCD的边长为的边长为2，DAB=60，E为为BC的中点，在对角线的中点，在对角线AC上存在一点上存在一点P，使，使PBE的周长最小，则的周长最小，则PBE的周长的最小值为的周
8、长的最小值为_。图形周长最值问题图形周长最值问题5.如图如图,一圆锥的底面半径为一圆锥的底面半径为2,母线母线PB的长为的长为6,D为为PB的中点的中点.一只蚂蚁从点一只蚂蚁从点A出发出发,沿着圆锥的侧沿着圆锥的侧面爬行到点面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为则蚂蚁爬行的最短路程为_。表面展开最值问题表面展开最值问题6.如图，扇形如图，扇形OAB中，中，AOB=60，扇形半，扇形半径为径为4，点，点C在弧在弧AB上，上，CDOA，垂足为点，垂足为点D，当当OCD的面积最大时，求图中阴影部分的面的面积最大时，求图中阴影部分的面积。积。图形面积的最值问题图形面积的最值问题 已知平面直角坐标系有A(
9、1,3),B(3,1)两点,在x，y轴上分别找一点C、D，使四边形ABCD的周长最小，则最小周长=_ 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P，BC=6，ABC=150，则线段 AP+BP+PD 的最小值为_。如图，AOB=45，角内有一点P,PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则PQR的周长的最小值为 _ 边长为4的正三角形ABC，点A，B分别在平面直角坐标系的x轴和y轴上滑动。则oc的最大值为_.如图，AOB=30，M，Q 在 OA 上，P、N 在 OB 上，OM=1，ON=3，则 MP+PQ+QN 最小值是_ 在锐角ABC中，,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 。思考：思考：在解决不同类型的几何最值问题在解决不同类型的几何最值问题时你能体会其中蕴含哪些数学思想方时你能体会其中蕴含哪些数学思想方法？法？
