1、微专题微专题9“一线三等角一线三等角”模型模型第9章1.“一线三垂直一线三垂直”模型模型:当点当点P在线段在线段AB上上,且且3两边在两边在AB同侧同侧时时如图如图,ACAB,BDAB,CPDP,则有则有ACPBPD.【模型分析】【模型分析】在直线在直线AB上有一点上有一点P,以以A,B,P为顶点的为顶点的1,2,3相等相等,1,2的一条边在直线的一条边在直线AB上上,另一条边在另一条边在AB同侧同侧,3两边所在的直线分别交两边所在的直线分别交1,2非公共边所在的非公共边所在的直线于点直线于点C,D.2.“一线三等角一线三等角”模型模型:当点当点P在线段在线段AB上上,若若3为锐角为锐角,3=
2、A=B,则有则有ACPBPD【模型分析】【模型分析】DPB=180-3-CPA,C=180-A-CPA,而而A=3,C=DPB.A=B,ACPBPD.3.“一线三等角一线三等角”模型模型:如图如图,若若1为钝角为钝角,1=2=3,则有则有ACPBPD.【模型分析】【模型分析】DPB=180-3-CPA,C=180-1-CPA,而而1=3,C=DPB.1=2,ACPBPD.4.当点当点P在在AB或或BA的延长线上的延长线上,且且3两边在两边在AB同侧同侧,1=2=3,如图如图,则有则有ACPBPD【模型分析】【模型分析】DPB=180-3-CPA,C=180-1-CPA,而而1=3,C=DPB.
3、1=2=PBD,ACPBPD.5.当点当点P在在AB或或BA的延长线上的延长线上,且且3两边在两边在AB异侧异侧,1=2=3,如图如图,则有则有ACPBPD【模型分析】【模型分析】C=1-CPB,BPD=3-CPB,而而1=3,C=BPD.1=2,PAC=DBP,ACPBPD.例例1如图如图,ABBC,CDBC,AEDE,AE=DE,求证求证:AB+CD=BC.ABE ECD,AB=EC,BE=CD,AB+CD=EC+BE=BC.例例2如图如图,ACB=90,AC=BC,BECE于于E,ADCE于于D,AD=2.5 cm,BE=0.8 cm,则则DE的长为多少的长为多少?【解析】【解析】BEC
4、E,ADCE,E=ADC=90.EBC+BCE=90.BCE+ACD=90,EBC=DCA.例例3如图如图1,图图2,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,等腰等腰RtABC有两有两个顶点在坐标轴上个顶点在坐标轴上,求第三个顶点的坐标求第三个顶点的坐标.图图1图图2【解析】【解析】如图如图1,过点过点B作作BDx轴于点轴于点D.BCD+DBC=90.由等腰由等腰RtABC可知可知,BC=AC,ACB=90,易知易知BCD+ACO=90,图图1CD=3,BD=2,OD=5,B(-5,2).如图如图2,过点过点A作作ADy轴于点轴于点D.图图2OB=1,OC=3,AD=3,OD=2,A(3,2).
5、例例4如图如图,在等腰三角形在等腰三角形ABC中中,BAC=120,AB=AC=2,点点D是是BC边上的一个动点边上的一个动点(不与不与B,C重合重合),在在AC上取一点上取一点E,使使ADE=30.(1)设设BD=x,AE=y,求求y关于关于x的函数关系式并写出自变量的函数关系式并写出自变量x的的取值范围取值范围;(2)当当ADE是等腰三角形时是等腰三角形时,求求AE的长的长.【解析】【解析】(1)ABC是等腰三角形是等腰三角形,且且BAC=120,ABD=ACB=30,ABD=ADE=30.ADC=ADE+EDC=ABD+DAB,EDC=DAB,ABDDCE.(2)当当AD=DE时时,如图
6、如图1,图图1当当AE=ED时时,如图如图2,EAD=EDA=30,AED=120,DEC=60,EDC=90,图图2练习练习1如图如图,正方形正方形ABCD,BE=CF.求证求证:(1)AE=BF;(2)AEBF.(2)设设AE,BF交于点交于点G.ABEBCF,BAE=CBF.ABE=90,BAE+AEB=90,CBF+AEB=90,BGE=90,AEBF.练习练习2已知已知,ABC中中,BAC=90,AB=AC,点点P为为BC上上一动点一动点(BPCP),分别过分别过B,C作作BEAP于于E,CFAP于于F.(1)求证求证:EF=CF-BE.(2)若若P为为BC延长线上一点延长线上一点,
7、其他条件不变其他条件不变,则线段则线段BE,CF,EF是否存在某种确定的数量关系是否存在某种确定的数量关系?画图并直接写出你的结论画图并直接写出你的结论.ABECAF,AE=CF,BE=AF.EF=AE-AF,EF=CF-BE.22(3)问题解决问题解决如图如图3,连接连接EF,当当CD=时时,DEF为等腰直角三角形为等腰直角三角形;当当CD=时时,DEF与与ABC相似相似.图图1图图2图图3(2)如图如图1,过点过点D作作DMAB于点于点M,作作DNAC于点于点N.A=DMA=DNA=90,MDN=90.MDE+EDN=NDF+EDN,MDE=NDF.又又DME=DNF,DEMDFN,图图2
