1、课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题典例典例“串串”考法考法类型一线段问题类型一线段问题大题拆分练大题拆分练例例 1如图，已知直线如图，已知直线yxc与与x轴的交点为轴的交点为A(3，0)，与与y轴交于点轴交于点C，抛物线，抛物线yx2bxc经过点经过点A、C，与，与x轴交轴交于另一点于另一点B，点，点P从点从点C沿抛物线向点沿抛物线向点A运动运动(不与点不与点A重合重合)，过点过点P作作x轴的垂线交轴的垂线交AC于点于点D，点，点P的横坐标为的横坐标为m.例1题图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(1)直线的表达式为直线的表达式为_；点；点C的坐标为的坐标为_；(2)抛物线的表
2、达式为抛物线的表达式为_；点；点B的坐标为的坐标为_；(3)点点P的坐标为的坐标为_；点；点D的坐标为的坐标为_(用含用含m的式子表示的式子表示)；(4)PD_(用含用含m的代数式表示的代数式表示)，PD的最大值为的最大值为_；(5)设抛物线的顶点为设抛物线的顶点为E，点，点F为为y轴上的一点，若轴上的一点，若FBFE的值最小，则点的值最小，则点F的坐标为的坐标为_；(6)设点设点G为抛物线对称轴上的一点，若为抛物线对称轴上的一点，若GBC的周长最小，则点的周长最小，则点G的坐标为的坐标为_.yx3(0，3)yx24x3(1，0)(m，m24m3)(m，m3)m23m94(0，)13(2，1)
3、课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题【拓展训练】【拓展训练】1.(2020东营东营)如图，抛物线如图，抛物线yax23ax4a的图象经过点的图象经过点C(0，2)，交，交x轴于点轴于点A、B(点点A在点在点B左侧左侧)，连接，连接BC，直线，直线ykx1(k0)与与y轴交于点轴交于点D，与，与BC上方的抛上方的抛物线交于点物线交于点E，与，与BC交于点交于点F.(1)求抛物线的解析式及点求抛物线的解析式及点A、B的坐标；的坐标；第1题图解：把解：把C(0，2)代入代入yax23ax4a，得，得4a2，解得，解得a .抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2 x2.令令 x2 x20，可得
4、，可得x11，x24，A(1，0)，B(4，0)；1232123212课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题存在存在如解图，由题意知点如解图，由题意知点E在在y轴的右侧，过点轴的右侧，过点E作作EGy轴，交轴，交BC于点于点G.CDEG，直线直线ykx1(k0)与与y轴交于点轴交于点D，D(0，1)，CD211，EFDFEGDC第1题解图(2)是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由EFDF课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题 EG.设设BC所在直线的解析式为所在直线的解析式
5、为ymxn(m0)将将B(4，0)、C(0，2)代入上述解析式，代入上述解析式，EFDF得得 解得解得04,2,mnn 1,22.mn 直线直线BC的解析式为的解析式为y x2，设设E(t，t2 t2)，则，则G(t，t2)，其中，其中0t4，EG t2 t2(t2)t22t2 (t2)22，321212121212121232课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题 (t2)22，0)的图象与的图象与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴轴交于点交于点C.抛物线的顶点为抛物线的顶点为M，直线，直线ykx6经过点经过点B、M，OB3，P为线段为线段BM上的一点，过点上的一点，过点P作作PQ
6、x轴于点轴于点Q，设点设点P的横坐标为的横坐标为m.(1)点点B的坐标为的坐标为_；BM所在直线的表达式为所在直线的表达式为_；例2题图(3，0)y2x6课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(2)抛物线的表达式为抛物线的表达式为_；点；点M的坐标为的坐标为_；点；点A的坐标为的坐标为_；点；点C的坐标为的坐标为_；(3)点点Q的坐标为的坐标为_；点；点P的坐标为的坐标为_；QO_；BQ_；PQ_；CP_；(用含用含m的代数式表示的代数式表示)(4)SAOC_；S四边形四边形COQP_；S四边形四边形ACPQ_；(不能直接算出结果的用含不能直接算出结果的用含m的代数式表示的代数式表示)(5
7、)将将S四边形四边形ACPQ的代数式化为顶点式为的代数式化为顶点式为_；四边形；四边形ACPQ面积最面积最大值为大值为_yx22x3(1，4)(1，0)(0，3)(m，0)(m，2m6)m3m2m625129mm32m2 m92m2 m3292(m )2941051610516课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题【拓展训练】【拓展训练】2.如图，抛物线如图，抛物线yax2bx8经过经过A(2，0)、B(4，0)、C三点，直线三点，直线yx4与与抛物线交于抛物线交于B、D两点，点两点，点P在直线在直线BD下方的抛物线上运动下方的抛物线上运动(1)求抛物线的解析式及点求抛物线的解析式及点D的
8、坐标；的坐标；课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题解：将点解：将点A(2，0)、B(4，0)代入抛物线解析式，得代入抛物线解析式，得解得解得4280,16480,abab 1,2,ab 抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x8.联立方程组联立方程组228,4,yxxyx 解得解得 ，或，或40 xy 15xy 点点D(1，5)；课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(2)当点当点P运动到何处时运动到何处时BDP的面积最大，求出此时的最大面积及点的面积最大，求出此时的最大面积及点P的坐标的坐标如解图，过点如解图，过点P作作PEy轴，交直线轴，交直线BD于点于点E，设点设点P(x，x
9、22x8)，则点，则点E(x，x4)PEx4(x22x8)x23x4.SBDPSDPESBPE PE(xPxD)PE(xBxE)PE(xBxD)(x23x4)(x )2 ，0，1x4.当当x 时，时，BDP面积最大，最大值为面积最大，最大值为 ；此时点此时点P(，)52121212523212585232125832354第2题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题类型三角度问题类型三角度问题大题拆分练大题拆分练例例 3如图，如图，A(1，1)、B(1 ，2)为平面直角坐标系中的两点，连接为平面直角坐标系中的两点，连接AB，C为为坐标轴上任意一点坐标轴上任意一点3例3题图课时课时15
10、二次函数综合题二次函数综合题(1)若点若点C为坐标轴上一点，连接为坐标轴上一点，连接BC，且，且ABC30，则点，则点C的坐标为的坐标为_，画出点，画出点C；【自主解答】请在虚线框中画出草图【自主解答】请在虚线框中画出草图(0，2)或或(1 ，0)或或(0，1)333课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题解：画出草图如解图解：画出草图如解图；例3题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(2)若点若点C为坐标轴上一点，连接为坐标轴上一点，连接AC、BC，且，且CABCBA，则点，则点C的坐标为的坐标为_，画出点，画出点C；【自主解答】请在虚线框中画出草图【自主解答】请在虚线框中画出草
11、图(0，3 )或或(1，0)33课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题画出草图如解图画出草图如解图；例3题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(3)过点过点A作作x轴的平行线轴的平行线DE交交y轴于点轴于点D，过点，过点B作作x轴的垂线交轴的垂线交DE于点于点E，若点，若点C为为y轴上一点，且轴上一点，且EAC2ABE，则点，则点C的坐标为的坐标为_，画出点画出点C.【自主解答】请在虚线框中画出草图【自主解答】请在虚线框中画出草图(0，1)或或(0，1)33课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题画出草图如解图画出草图如解图.例3题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题
12、解：直线解：直线yx3经过点经过点C，即，即C(0，3)抛物线抛物线yx2bxc过点过点B(3，0)，C(0，3)，解得，解得 .9303bcc 43bc 抛物线的表达式为抛物线的表达式为yx24x3；【拓展训练】【拓展训练】3.如图，抛物线如图，抛物线yx2bxc与与x轴交于轴交于A，B两点两点(点点A在点在点B的左侧的左侧)，与，与y轴交于轴交于点点C，点，点B的坐标为的坐标为(3，0)，直线，直线yx3恰好经过恰好经过B，C两点两点.(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；第3题图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(2)设抛物线的顶点为设抛物线的顶点为D，点，点P在抛物线的对称
13、轴上，在抛物线的对称轴上，且且APDACB，求点，求点P的的坐标坐标在在yx24x3中，令中，令y0，即，即x24x30，解得，解得x11，x23，即即A(1，0)，B(3，0)yx24x3(x2)21，D(2，1)OB3，OC3，OA1，AB2.可得可得OBC是等腰直角三角形是等腰直角三角形OBC45，CB3 .2第3题图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题如解图，设抛物线对称轴与如解图，设抛物线对称轴与x轴交于点轴交于点F，AF AB1.过点过点A作作AEBC于点于点E.则则AEB90.可得可得BEAE ，CE2 .在在AEC与与AFP中，中，AECAFP90，ACEAPF，AECA
14、FP.，即，即 .解得解得PF2.点点P在抛物线的对称轴上，在抛物线的对称轴上，点点P的坐标为的坐标为(2，2)或或(2，2)122AEAF2CEPF212 2PE第3题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题类型四特殊三角形的存在问题类型四特殊三角形的存在问题大题拆分练大题拆分练考向考向1等腰三角形等腰三角形例例 4如图，如图，A(1，2)、B(5，3)为平面直角坐标系中的两点，连接为平面直角坐标系中的两点，连接AB，C为为x轴上轴上任意一点任意一点例4题图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(1)在在ABC中，若中，若ACBC，则点，则点C的坐标为的坐标为_，画出，画出ABC；
15、【自主解答】请在虚线框中画出草图【自主解答】请在虚线框中画出草图(，0)298课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题解：解：ABC如解图如解图如示；如示；例4题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(2)在在ABC中，若中，若ABAC，则点，则点C的坐标为的坐标为_，画，画出出ABC；【自主解答】请在虚线框中画出草图【自主解答】请在虚线框中画出草图(1 ，0)，(1 ，0)1313课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题ABC如解图如解图如示；如示；例4题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(3)在在ABC中，若中，若ABBC，则点，则点C的坐标为的坐标为_，画，画出出
16、ABC.【自主解答】请在虚线框中画出草图【自主解答】请在虚线框中画出草图(52 ，0)，(52 ，0)22课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题ABC如解图如解图如示如示例4题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题【拓展训练】【拓展训练】4.如图，已知抛物线如图，已知抛物线yax22ax9a与坐标轴交于与坐标轴交于A，B，C三点，其中三点，其中C(0，3)，BAC的平分线的平分线AE交交y轴于点轴于点D，交，交BC于点于点E.(1)直接写出直接写出a的值、点的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；的坐标及抛物线的对称轴；第4题图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题【解法提示】【解法
17、提示】C(0，3)，9a3，解得，解得a .令令y0，得，得ax22 ax9a0，a ，x22 x90，解得，解得x 或或x3 ，A(，0)，B(3 ，0)，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x .31313333333解：解：a ；A(，0)；对称轴为直线；对称轴为直线x ；3133课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(2)点点P为抛物线的对称轴上一动点，若为抛物线的对称轴上一动点，若PAD为等腰三角形，求出点为等腰三角形，求出点P的坐标的坐标OA ，OC3，tanCAO ，CAO60.AE为为BAC的平分线，的平分线，DAO30，DO AO1，点点D的坐标为的坐标为(0，1)设
18、点设点P的坐标为的坐标为(，a)33333第4题图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题依据两点间的距离公式可知依据两点间的距离公式可知AD24，AP212a2，DP23(a1)2.当当ADPA时，时，412a2，方程无解，方程无解当当ADDP时，时，43(a1)2，解得，解得a2或或a0，点点P的坐标为的坐标为(，2)或或(，0)，当当APDP时，时，12a23(a1)2，解得，解得a4，点点P的坐标为的坐标为(，4)综上所述，点综上所述，点P的坐标为的坐标为(，2)或或(，0)或或(，4)333333课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题考向考向2 直角三角形直角三角形例例5如图，
19、如图，A(1，1)、B(5，2)为平面直角坐标系中的两点，连接为平面直角坐标系中的两点，连接AB，C为为x轴上任轴上任意一点意一点例5题图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(1)在在ABC中，若以中，若以AB作为直角三角形的斜边，则点作为直角三角形的斜边，则点C的坐标为的坐标为_，画出，画出ABC；【自主解答】请在虚线框中画出草图【自主解答】请在虚线框中画出草图(3 ，0)或或(3 ，0)22课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题解：解：ABC如解图如解图所示；所示；例5题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(2)在在ABC中，若以中，若以AB作为直角三角形的直角边，则点
20、作为直角三角形的直角边，则点C的坐标为的坐标为_，画出，画出ABC.【自主解答】请在虚线框中画出草图【自主解答】请在虚线框中画出草图(，0)或或(，0)54112课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题ABC如解图如解图所示所示例5题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题【拓展训练】【拓展训练】5.如图，直线如图，直线yx2与抛物线与抛物线yax2bx6(a0)相交于相交于A(，)和和B(4，m)，点点P是线段是线段AB上异于上异于A、B的动点，过点的动点，过点P作作PCx轴，交抛物线于点轴，交抛物线于点C.(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；1252第5题图课时课时15 二次
21、函数综合题二次函数综合题解：解：B(4，m)在直线在直线yx2上，上，m426，B(4，6)，A(，)，B(4，6)在抛物线在抛物线yax2bx6上，代入得上，代入得1252115642216466abab 28ab ，解得，解得 ，抛物线的表达式为抛物线的表达式为y2x28x6；课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(2)连接连接AC，是否存在点，是否存在点P使得使得PAC为直角三角形，若存在，请求出点为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由存在分三种情况讨论：存在分三种情况讨论：若点若点P为直角顶点，则为直角顶点，则APC90.由题意易知
22、，由题意易知，PCy轴，轴，APC45，因此这种情形不存在；，因此这种情形不存在；若点若点A为直角顶点，则为直角顶点，则PAC90.如解图如解图，过点，过点A作作ANx轴于点轴于点N，则，则ON ，AN .过点过点A作作AM直线直线AB，交交x轴于点轴于点M，则由题意易知，则由题意易知，AMN为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，MNAN ，125252课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题OMONMN 3，M(3，0)设直线设直线AM的表达式为的表达式为ykxb，则则 ，解得，解得 ，13kb 152230kbkb 直线直线AM的表达式为的表达式为yx3.又又抛物线的表达式为抛物线的表达式
23、为y2x28x6，联立联立，解得，解得x3或或x (与点与点A重合，舍去重合，舍去)C(3，0)，即点，即点C、M重合重合121252第5题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题当当x3时，时，yx25，P1(3，5)；若点若点C为直角顶点，则为直角顶点，则ACP90.y2x28x62(x2)22，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x2.如解图如解图，作点，作点A关于对称轴关于对称轴x2的对称点的对称点C，则点则点C在抛物线上，且在抛物线上，且C(，)当当x 时，时，yx2 .P2(，)综上所述，当综上所述，当PAC为直角三角形时，点为直角三角形时，点P的坐标为的坐标为(3，5)
24、或或(，)5272721127211272112第5题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题类型五特殊四边形的存在问题类型五特殊四边形的存在问题大题拆分练大题拆分练考向考向1平行四边形平行四边形例例 6如图，如图，A(2，1)、B(6，1)为平面直角坐标系中的两点，连接为平面直角坐标系中的两点，连接AB，C、D为平为平面内两点，以面内两点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形为顶点的四边形为平行四边形例6题图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(1)若点若点C的坐标为的坐标为(0，3)，AB为边，则点为边，则点D的坐标为的坐标为_，画出平，画出平行四边形；行四边形；【自主解
25、答】请在虚线框中画出草图【自主解答】请在虚线框中画出草图(4，3)或或(4，3)课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题解：画出平行四边形如解图解：画出平行四边形如解图所示；所示；例6题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题(2)若点若点C的坐标为的坐标为(3，0)，AB为对角线，则点为对角线，则点D的坐标为的坐标为_，画出平行四边，画出平行四边形形【自主解答】请在虚线框中画出草图【自主解答】请在虚线框中画出草图(5，2)课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题画出平行四边形如解图画出平行四边形如解图所示所示例6题解图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题【拓展训练】【拓展训练
26、】6.(2020广西北部湾经济区广西北部湾经济区卷节选卷节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与与x轴交于轴交于A，B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，已知，已知B(3，0)，C(0，3)，连接，连接BC，点点P是抛物线上的一个动点，点是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点是对称轴上的一个动点(1)求该抛物线的解析式；求该抛物线的解析式；第6题图解：把解：把B(3，0)，C(0，3)代入代入yx2bxc，得得 ，解得，解得 ，该抛物线的表达式为该抛物线的表达式为yx22x3；9303bcc 23bc 课时课时15 二次函数综合题二次函数综
27、合题(2)若点若点P在直线在直线BC的下方，当点的下方，当点P到直线到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由存在存在理由如下：设点理由如下：设点P的坐标为的坐标为(m，m22m3)，设直线设直线BC的表达式为的表达式为ykxb，根据题意得根据题意得 ，303kbb 解得解得 ，13kb 第6题图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题直线直线BC的表达式为的表达式为yx3，点点P在直
28、线在直线BC的下方，的下方，SPBC 3(m3m22m3)(m23m)(m )2 ，1 0，0m3.当当m 时，时，SPBC最大，此时点最大，此时点P到到BC的距离最大，的距离最大，当点当点P到到BC的距离最大时，点的距离最大时，点P的坐标为的坐标为(，)，点点N在抛物线在抛物线yx22x3的对称轴的对称轴x1上，上，点点Q在抛物线在抛物线yx22x3上，上，设点设点N的坐标为的坐标为(1，n)，点，点Q的坐标为的坐标为(a，a22a3)，12323232278323232154第6题图课时课时15 二次函数综合题二次函数综合题当当PC为平行四边形的边时，则有为平行四边形的边时，则有xQxNxPxC或或xNxQxPxC，点点C的坐标为的坐标为(0，3)，a1 或或1a ，解得解得a 或或 ，点点Q的坐标为的坐标为(，)或或(，)；当当PC为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得 ，解得解得a ，点点Q的坐标为的坐标为(，)；综上所述，点综上所述，点Q的坐标为的坐标为(，)或或(，)或或(，)323252125274127412a 3022 12121545274127412154第6题图
