1、第三章函数河南中考考点过关第一节 函数及其图象目录（河南中考）考点 考点 1 平面直角坐标系中点的坐标特征 考点 2 函数自变量的取值范围及函数值 考点 3 函数的表示方法及图象的画法方法 课时一 平面直角坐标系中点的坐标的求法 命题角度 1几何图形中点的坐标的计算 命题角度 2点的坐标的规律探索 课时二 函数图象的分析与判断 命题角度 3函数图象的识别 命题角度 4由几何动点和函数图象解决 几何问题考点 平面直角坐标系中点的坐标特征考点 11.各象限内点的坐标特征-+平面直角坐标系中点的坐标特征考点 12.特殊位置上点的坐标特征坐标轴上点的坐标特征x轴上点的纵坐标为;y轴上点的横坐标为;原点
2、的坐标为 .象限角平分线上点的坐标特征 第一、三象限的角平分线上点的横、纵坐标相等,即 ;第二、四象限的角平分线上点的横、纵坐标互为 ,即x2=-y2.到坐标轴距离相等的点的坐标特征到x轴距离相等的点的纵坐标的绝对值 ;到y轴距离相等的点的横坐标的绝对值 ;到x轴、y轴距离相等的点的横、纵坐标或相等、或互为相反数.与坐标轴平行的直线上点的坐标特征与x轴平行的直线上点的 坐标相同;与y轴平行的直线上点的 坐标相同.00（0,0）x1=y1相反数相等相等纵横平面直角坐标系中点的坐标特征考点 13.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离(如图)点P(x,y)到x轴的距离是 ;到y轴的距离是 ;到原点的距
3、离是 .22yx|y|x|4.平面直角坐标系内两点间的距离(1)在x轴或与x轴平行的直线l上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离为|x1-x2|;(2)在y轴或与y轴平行的直线l上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离为|y1-y2|.拓展:平面直角坐标系内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离是 平面直角坐标系中点的坐标特征考点 15.对称点的坐标特征（x,-y）（-x,y）（-x,-y）平面直角坐标系中点的坐标特征考点 16.点平移的坐标特征(a0,b0)可简记为:左减右加,上加下减.函数自变量的取值范围及函数值考点 2表达式自变量的取值范围分式型,
4、如y=_ 二次根式型,如y=_ 分式+二次根式型,如y=_ 零指数幂或负整数指数幂底数不为零实际问题要符合实际意义复合型各限制条件的公共部分xaxxax0 x0 x01.自变量的取值范围2.函数值:若y是x的函数,且x=a时y=b,则b叫做当自变量的值为a时的函数值.函数的表示方法及图象的画法考点 31.函数的三种表示方法:列表法、图象法.2.函数图象的画法:列表、描点、连线.注意:画一次函数的图象时,描出两点即可;画其他曲线,需至少描出五个点.解析式法方法 几何图形中点的坐标的计算命题角度1例1(逻辑推理)如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(-6,0),C(0,2 ).将矩形OAB
5、C绕点O按顺时针方向旋转,使点A恰好落在OB上的点A1处,则点B的对应点B1的坐标为 ()【思路分析】求点B1的坐标分别求出点B1的横、纵坐标构造直角三角形,利用勾股定理或三角函数进行求解.过点B1作B1Ey轴于点E,连接OB1,在RtOB1E中,求出OB1的长度及B1OE的度数,再利用三角函数解题.D点的坐标的规律探索命题角度2类型1以图形的旋转为背景例2 2021原创如图,在平面直角坐标系中,OABC的顶点A在x轴上,且OA=7,顶点B的坐标为(10,3).将 OABC绕原点O顺时针旋转,每次旋转45,则第60次旋转结束时,点C的坐标为 ()A.(5,0)B.(0,-5)C.(-4,3)D
6、.(-3,-3)【思路分析】D点的坐标的规律探索命题角度2类型2以图形的滚动为背景例3 2019辽宁阜新如图,在平面直角坐标系中,将ABO沿x轴向右滚动到AB1C1的位置,再到A1B1C2的位置依次进行下去,若已知点A(4,0),B(0,3),则点C100的坐标为（）【思路分析】B点的坐标的规律探索命题角度2类型3以点的运动为背景例4 2019商丘一模在平面直角坐标系中,若干个半径为2、圆心角为60的扇形形成了如图所示的连续的曲线(x轴上的半径除外),点P从原点O出发,沿这条曲线向右上下起伏运动,在直线上的速度为每秒2个单位长度,在弧线上的速度为每秒 个单位长度,则2 020秒时,点P的坐标是
7、（）A.(2 019,0)B.(2 019,)C.(2 020,-)D.(2 020,0)【思路分析】先求出前几个关键点(拐点)的坐标,找出坐标规律,再依据此规律求得结论.D点的坐标的规律探索命题角度2类型4以图形的渐变为背景例5 2019湖北天门如图,在平面直角坐标系中,四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3都是菱形,点A1,A2,A3都在x轴上,点C1,C2,C3都在直线y=x+上,且C1OA1=C2A1 A2=C3A2A3=60,OA1=1,则点C6的坐标是.【思路分析】第一步:确定点Cn的横坐标的变化规律;第二步:求出点C6的横坐标,代入直线C1C2的解析式,继而求得
8、点C6的纵坐标.点的坐标的规律探索命题角度2点的坐标的规律探索题的求解策略点的坐标的规律探索题中,点的坐标的变化形式一般分两种:点的坐标在同一象限内递推变化;点的坐标在坐标轴上或象限内循环递推变化.解决这类题的步骤如下:(1)根据点的坐标的变化特点判断属于哪种变化形式;(2)根据题意求出前几个点的坐标,归纳出后一个点的坐标与前一个点的坐标之间存在的关系;(3)两种变化形式下求第M个点的坐标的方法:第种变化形式:根据(2)中得到的关系,得到第M个点的坐标;第种变化形式:先确定多少次变换是一个循环,记次数为n,Mn=pq(0qn),则第M个点与第q个点所在的坐标轴或象限相同,根据(2)中得到的关系
9、,得到第M个点的坐标.提分技法提分技法函数图象的识别命题角度3例6 2020湖北孝感如图,在四边形ABCD,ADBC,D=90,AB=4,BC=6,BAD=30,动点P从点A出发,沿路径ABCD以每秒1个单位长度的速度向点D运动.过点P作PHAD,垂足为点H.设点P运动的时间为x(单位:s),APH的面积为y(当点P与点A或点D重合时,设y=0),则y关于x的函数图象大致是 ()D函数图象的识别命题角度3【思路分析】结合题意,根据点P的位置分如下3种情况分析:当0 x4时;当4x10时;当10 x12时.方法一(判断趋势法):当0 x4时,点P在AB边上,PH,AH均随x的增大而增大,且PH=
10、x,AH=x,所以y是x的二次函数,故排除选项A,B.当4x10时,点P在BC边上,PH长度不变,AH随x的增大而增大,故y随x的增大而增大,故排除选项C.方法二(求解析式法):分别求出这3种情况下y与x之间的函数关系式,进而进行判断.函数图象的识别命题角度3动点问题中函数图象的判断方法1.判断趋势法根据题意分段,判断每段的增减变化趋势,从而寻找相应的图象.2.求解析式法根据题意求出每段的解析式,结合函数的图象与性质即可得到答案.3.定点排除法从选项中各图象的关键转折点入手,对应动点运动情况进行排除.提分技法提分技法由几何动点和函数图象解决几何问题命题角度4例7(逻辑推理、直观想象)如图(1)
11、,在矩形ABCD中,动点P从点A出发,以相同的速度,沿ABCDA方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为x,PAB的面积为y(当P,A,B三点共线时,不妨设y=0),若y与x之间的函数图象如图(2)所示,则矩形ABCD的面积为.【思路分析】通过分析图象可知,当0 x4时,点P在AB上;当4x10时,点P在BC上;当10 x14时,点P在CD上;当140k0b0b0;呈下降趋势k0;在负半轴bk1x+b1方法 一次函数解析式的确定命题角度1例1 2019四川乐山如图,过点B(1,0)的直线l1与直线l2:y=2x+4相交于点P(-1,a).(1)求直线l1的解析式;(2)求四边形PAOC的面积.
12、【思路分析】(1)先求点P的坐标,再结合点B的坐标,利用待定系数法求直线l1的解析式.(2)先求点C,A的坐标,再结合S四边形PAOC=SPAB-SBOC进行求解.一次函数解析式的确定命题角度1【自主解答】解:(1)点P(-1,a)在直线l2:y=2x+4上,2(-1)+4=a,即a=2,P(-1,2).设直线l1的解析式为y=kx+b,将B(1,0),P(-1,2)分别代入,得 解得故直线l1的解析式为y=-x+1.(2)易知C(0,1).对于y=2x+4,令y=0,得x=-2,A(-2,0),S四边形PAOC=SPAB-SBOC=32-11=.一次函数解析式的确定命题角度1利用待定系数法求
13、一次函数解析式的方法1.求正比例函数的解析式时,只要代入图象上一个点的坐标即可,因为正比例函数只有一个待定系数.2.求一次函数(非正比例函数)的解析式时,需要代入图象上两个点的坐标.3.若已知一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点坐标,则b值已知,故代入图象上一个点(非与y轴交点)的坐标即可求解.提分技法提分技法一次函数的图象与性质命题角度2例2(逻辑推理)将直线y=kx向下平移3个单位长度后得到直线l,直线l不经过第二象限,则下列说法正确的是 ()A.直线l与y轴的交点的坐标为(0,3)B.ky2【思路分析】根据平移的规律得到直线l的解析式为y=kx-3.因为直线l的解析式中,b=-30.C
14、k0时,y随x的增大而增大.D1-2,k0,y1y2.一次函数的图象与性质命题角度2解决一次函数的图象与性质题的策略1.在平面直角坐标系中,只需描出两个点即可画出一次函数的图象.特殊地,由于正比例函数图象过原点,故只需描出另外一个点即可画出正比例函数的图象.2.由于一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,b),因此根据一次函数图象与y轴的交点的坐标,即可确定b的值.3.确定一次函数y=kx+b的图象经过的象限的方法:先根据b的值确定其图象与y轴交点的位置,再根据k的正负确定其图象是“/”型还是“”型,即可确定该函数图象经过的象限.提分技法提分技法一次函数与一次方程(组)、不等式的关系命题角
15、度3例3 2019贵州贵阳中考改编在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示.(1)求关于x,y的方程组 的解;(2)不等式组0k1x+b1k2x+b2的解集为 .【思路分析】(1)原方程组可化为 故方程组的解即为两函数图象交点的坐标,据此求解即可.(2)关于x的不等式组0k1x+b1k2x+b2的解集为直线y=k1x+b1位于x轴上方部分以及直线y=k2x+b2位于直线y=k1x+b1上方的部分对应的自变量的取值范围.2x3一次函数与一次方程(组)、不等式的关系命题角度3解:(1)原方程组可化为方程组的解为两函数图象交点的坐标.一次函数y=k1x+b1与y=
16、k2x+b2的图象的交点坐标为(2,1),关于x,y的方程组 的解是(2)2x3 解法提示:将(1,2),(2,1)分别代入y=k1x+b1,得 解得 y=-x+3,令y=0,得x=3,直线y=k1x+b1与x轴的交点为(3,0).观察题图中的函数图象,易知关于x的不等式组0k1x+b1k2x+b2的解集为2x3.,2211bkybky.1,1yx2211,bkybky，111121,2bkbk，3,111bk【自主解答】一次函数与一次方程(组)、不等式的关系命题角度3根据两函数图象确定不等式解集的方法1.先确定关键点的坐标.如图,点A即为关键点.2.在关键点左右两侧观察图象的位置.如图,在点
17、A左侧,直线l1在直线l2下方,则y1y2,故xxA即为不等式k1xy2,故xxA即为不等式k1xk2x+b的解集.提分技法提分技法第三章函数河南中考考点过关第三节 一次函数的实际应用目录（河南中考）考点 考点 一次函数的实际应用方法 命题角度 1方案选取型问题 命题角度 2方案设计型问题 命题角度 3行程问题 命题角度 4物资调运问题考点 一次函数的实际应用考点 1.含有一次函数图象的实际问题 说明图示函数图象变化的意义图象呈上升趋势,说明函数值随着自变量的增大而增大;图象平行于x轴,说明随着自变量的增大函数值不变;图象呈下降趋势,说明函数值随着自变量的增大而减小.OA段、BC段:y随x的增
18、大而增大,且BC段比OA段增速快;AB段:随着x的增大,y值不变;CD段:y随x的增大而减小.图象上拐点的意义图象上的拐点既是前一段函数变化的终点,又是后一段函数变化的起点.函数图象的交点两个函数图象的交点处自变量的值相同、函数值相同,在比较两函数值大小时,该点作用较突出.当x=a时,y1=y2=b;当xa时,y2a时,y2y1.一次函数的实际应用考点 2.不含一次函数图象的实际问题(1)一般解题步骤:设出问题中的变量,弄清自变量和因变量;建立一次函数模型(列一次函数解析式);确定自变量的取值范围;利用一次函数的性质解决实际问题;作答.(2)实际问题中的最大值、最小值在一次函数的实际应用题中,
19、自变量的取值范围一般有一定的限制,所以对应的函数图象是线段或射线,一般根据一次函数的增减性即可求出函数的最大值或最小值.方法 方案选取型问题命题角度1例1 甲、乙两家超市举行为期一个月的感恩回馈客户活动,活动期间,两家超市将对销售的同品种同价格的车厘子推出优惠方案.甲超市的优惠方案:顾客可以先办理会员卡,购买的车厘子六折优惠;乙超市的优惠方案:顾客购买的车厘子超过一定数量后,超过部分打折优惠.活动期间,某顾客购买车厘子的质量为x千克,在甲超市所需总费用为y甲元,在乙超市所需总费用为y乙元,y甲,y乙与x之间的函数关系的图象如图所示,折线OAB表示y乙与x之间的函数关系图象.(1)甲超市办理会员
20、卡的费用是元,两家超市优 惠前的车厘子的单价是元.(2)当x10时,求y乙关于x的函数解析式.(3)当顾客在活动期间一次性购买m千克车厘子时,该怎样选择花费较少?6030方案选取型问题命题角度1【思路分析】(1)函数y甲的图象与y轴的交点甲超市办理会员卡的费用;函数y乙的图象的折点两家超市优惠前的车厘子的单价.(2)利用待定系数法求解:设出当x10时y乙关于x的函数解析式把点A,B的坐标分别代入求解.(3)求出函数y甲与y乙图象的两个交点 判断每个区域内两函数图象的上、下位置关系,分类讨论即可.【自主解答】解:(1)6030解法提示:由图象可得,甲超市办理会员卡的费用是60元,两家超市优惠前的
21、车厘子的单价是30010=30(元).方案选取型问题命题角度1(2)当x10时,设y乙关于x的函数解析式是y乙=kx+b,将(10,300),(25,480)分别代入,即当x10时,y乙关于x的函数解析式是y乙=12x+180.(3)由题意可得,y甲=60+300.6m=18m+60.当0m10时,令12m+180=18m+60,得m=20.结合图象可知:当0m20时,选择乙超市花费较少;当5m20时,选择甲超市花费较少;当m=5或m=20时,选择甲、乙超市花费一样.方案选取型问题命题角度1方案选取型问题的求解策略(1)若给定自变量的取值,则将自变量的值代入解析式,得到因变量的值,再进行选取.
22、(2)若给定因变量的取值,则将因变量的值代入解析式,得到自变量的值,再进行选取.(3)若自变量、因变量均未给定取值:方法一:可分别求出y1y2的解集,再根据结果进行选取;方法二:画出函数图象,求出交点坐标,再利用图象的上、下位置关系进行判断.提分技法提分技法方案设计型问题命题角度2例2 2019河南省实验三模某商场计划购进A,B两种新型节能台灯共100盏,这两种台灯的进价、售价如下表所示:(1)若商场预计进货款为3 500元,且恰好用完,则这两种台灯各购进多少盏?(2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍,应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯后获利最多,此时利润为多少元?进价/
23、(元/盏)售价/(元/盏)A型3045B型5070方案设计型问题命题角度2【思路分析】(1)设商场应购进A型台灯m盏,则购进B型台灯(100-m)盏,根据“购进A型台灯的总金额+购进B型台灯的总金额=3 500元”,列方程求解即可.(2)设当商场购进A型台灯x盏时,销售完这批台灯后可获利y元,先根据“总利润=销售完A型台灯的利润+销售完B型台灯的利润”,列出y关于x的函数解析式,再根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”,列不等式,求出x的取值范围,最后利用一次函数的性质,求得y的最大值.【自主解答】解:(1)设商场应购进A型台灯m盏,则购进B型台灯(100-m)盏,根据题意,得30
24、m+50(100-m)=3 500,解得m=75,方案设计型问题命题角度2100-75=25(盏).答:应购进A型台灯75盏,B型台灯25盏.(2)设当商场购进A型台灯x盏时,销售完这批台灯后可获利y元,则y=(45-30)x+(70-50)(100-x)=15x+2 000-20 x=-5x+2 000.B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍,100-x3x,x25.-50,y随x的增大而减小,当x=25时,y取得最大值,此时y=-525+2 000=1 875.答:当商场购进A型台灯25盏、B型台灯75盏时,才能使销售完这批台灯后获利最多,此时利润为1 875元.方案设计型问题命题角度
25、2方案设计型问题的求解策略方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题,解题时一般先根据题意求出函数解析式,然后由图象、题干信息或列不等式求得自变量的取值范围,再利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值,从而设计出符合要求的方案.提分技法提分技法行程问题命题角度3例3 如图(1),N地在M地和P地之间,甲、乙两车分别从M地和N地向P地同向而行,两车同时出发,并分别以各自的速度匀速行驶,结果乙车比甲车晚到0.6小时.甲、乙两车距N地的路程y(千米)与甲车行驶所用的时间x(小时)之间的关系如图(2)所示.结合图象信息解答下列问题:(1)甲车的速度是千米/时,乙车的 速度是千米/时.(2
26、)求图(2)中BC所在直线的函数解析式.(3)求点E的坐标,并说明点E的实际意义.(4)当甲车出发多长时间时,甲、乙两车相距20千米?请你直接写出答案.9050行程问题命题角度3【思路分析】(1)结合图象,求出甲车从M地到N地的行驶路程与所用时间、乙车从N地到P地的行驶路程与所用时间,再利用速度=求解即可.(2)利用待定系数法求解:设出BC所在直线的函数解析式求得点B,C的坐标代入求解.(3)求直线OD的解析式与直线BC的解析式联立点E的坐标;在点E处,甲、乙两车到N地的距离相等,即甲、乙两车相遇.(4)分两种情况讨论:甲车到达P地前,|y甲-y乙|=20;甲车到达P地后,180-y乙=20.
27、行程问题命题角度3【自主解答】解:(1)9050解法提示:由点A的坐标可知M,N两地相距90千米,N,P两地相距180千米,甲车用了1小时到达N地,则甲车的速度是90千米/时,故甲车从N地到P地用时为18090=2(小时),a=1+2=3,b=3+0.6=3.6,故乙车的速度为1803.6=50(千米/时).行程问题命题角度3(2)设BC所在直线的函数解析式为y=kx+h,将点B(1,0),C(3,180)分别代入,故BC所在直线的函数解析式为y=90 x-90.(3)易得直线OD的解析式为y=50 x,行程问题命题角度3即点E的坐标为 .实际意义:当甲、乙两车出发 小时时,在距离N地 千米处
28、相遇.(4)当甲车出发 小时时,甲、乙两车相距20千米.行程问题命题角度3行程问题的求解策略(1)行程问题中一般会给出函数图象,一般x轴表示时间,y轴表示路程.解题时,要弄清y轴表示的实际意义,从而利用数形结合思想解决实际问题.以相遇问题为例:当甲、乙两人都从A地出发同向而行,y轴表示两人离A地的距离时,若两函数图象交于点(a,b),则表示当x=a时两人相遇;当甲、乙两人分别从A,B两地出发相向而行,y轴表示甲、乙两人之间的距离时,若函数图象与x轴交于点(a,0),则表示当x=a时两人相遇;当y轴表示甲、乙两人离各自出发地的距离时,则需要结合图象想象实际运动过程解决问题.(2)解决行程问题时,
29、可画出线段示意图分析运动过程,从而找到解题突破口.提分技法提分技法物资调运问题命题角度4例4 为了保护环境和提高果树产量,某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A,B两个果园运送有机化肥,甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥;A,B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥.两个仓库到A,B两个果园的路程如下表所示:设甲仓库运往A果园x吨有机化肥,若汽车每吨每千米的运费为2元,(1)设总运费为y元,求y关于x的函数解析式;(2)求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时,总运费最省,最省的总运费是多少元.路程/千米甲仓库乙仓库A果园1525B果园2020物资调运问题命题角度4【思路分析】(1)
30、方法一(列表法):运量/吨运费/元甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A果园x110-x215x225(110-x)B果园80-x100-(110-x)220(80-x)220100-(110-x)物资调运问题命题角度4物资调运问题命题角度4【自主解答】解:(1)y=215x+225(110-x)+220(80-x)+220(x-10)=-20 x+8 300,即y关于x的函数解析式为y=-20 x+8 300.(2)对于y=-20 x+8 300,-200kx20,则y1y2;当1x2时,-8y-4.其中错误结论的个数是()A.5B.4C.3D.2C反比例函数的图象与性质命题角度1【思路分析】判断一个点
31、是否在图象上,只需将该点的坐标代入解析式检验即可.当反比例函数y=中的ky2.提分技法提分技法反比例函数的图象与性质命题角度1例2 2020山东德州函数y=和y=-kx+2(k0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()【思路分析】方法一:分k0和k0)的图象经过A,B两点,若菱形ABCD的面积为2 ,则k的值为()A.2B.3C.4D.6【思路分析】过点A作x轴的垂线,交CB的延长线于点E,求得AE的长,再根据菱形的面积,求得AB的长,继而求得BE的长,最后根据A,B两点的纵坐标,列关于k的方程,求解即可.C反比例函数中|k|的几何意义命题角度3例4 2020黑龙江牡丹江如图,点A在反比例
32、函数y1=(x0)的图象上,过点A作ABx轴,垂足为点B,交反比例函数y2=(x0)的图象于点C.P为y轴上一点,连接PA,PC,则APC的面积为()A.5 B.6 C.11 D.12【思路分析】连接OA,OC,将求APC的面积转化为求AOC的面积,再利用反比例函数中|k|的几何意义及SAOC=SOAB-SOBC求解即可.B 反比例函数中|k|的几何意义命题角度3例5 如图,点A是反比例函数y=(x0)的图象上任意一点,过点A作ABx轴,交反比例函数y=(x”“”或“=”);(3)直接写出y1y2时x的取值范围.【思路分析】(1)先由点A的坐标求出反比例函数的解析式,继而求得a的值,最后利用待
33、定系数法求一次函数的解析式.(2)过点A作AEx轴于点E,过点B作BFy轴于点F,证BCFDAE,即可得解.(3)根据两函数图象各部分的位置关系,即可得解.=反比例函数与一次函数的综合命题角度4【自主解答】解:(1)把点A的坐标代入反比例函数y2=,得4=,m=12,故反比例函数的解析式为y2=.把点B的坐标代入反比例函数y2=,得-2=,解得a=-6,B(-6,-2).把点A,B的坐标分别代入一次函数y1=kx+b,故一次函数的解析式为y1=x+2.(2)=(3)x-6或0 x0a0图象 开口方向_ 向下对称轴直线x=或直线x=(其中x1,x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)顶点坐标_ 增减
34、性在对称轴左侧,此时x-.y随x的增大而.y随x的增大而.最值当x=-时,y有最值.当x=-时,y有最大值.向上a2b），（a4b-4aca2b2减小增大增大减小小a4b-4ac2二次函数的图象与性质考点 22.抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c之间的关系二次函数的图象与性质考点 2大大y轴左侧右侧原点正负a+b+ca-b+c aa0开口向上|a|越 ,抛物线开口越小;|a|越小,抛物线开口越 .a0对称轴在y轴 .简称“同左异右”ab0抛物线与y轴交于 半轴 c0抛物线与x轴有 个交点 b2-4ac 0抛物线与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=.当x=-1时,y=.若a+b+c0,
35、则当x=1时,y 0.若a-b+c0,则当x=-1时,y 0.一两0)平移后抛物线的解析式简记y=a(x-h)2+k向左左“+”右“-”向右向上上“+”下“-”向下二次函数图象的变换考点 42.中心对称抛物线关于原点成中心对称的抛物线(x-x,y-y)y=ax2+bx+c-y=a(-x)2+b(-x)+c,即y=-ax2+bx-cy=a(x-h)2+k-y=a(-x-h)2+k,即y=-a(x+h)2-ky=a(x-x1)(x-x2)-y=a(-x-x1)(-x-x2),即y=-a(x+x1)(x+x2)二次函数图象的变换考点 43.轴对称抛物线关于x轴对称的抛物线(x不变,y-y)关于y轴对
36、称的抛物线(y不变,x-x)y=ax2+bx+c-y=ax2+bx+c,即y=-ax2-bx-cy=a(-x)2+b(-x)+c,即y=ax2-bx+cy=a(x-h)2+k-y=a(x-h)2+k,即y=-a(x-h)2-ky=a(-x-h)2+k,即y=a(x+h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)-y=a(x-x1)(x-x2),即y=-a(x-x1)(x-x2)y=a(-x-x1)(-x-x2),即y=a(x+x1)(x+x2)二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点 5x轴不相等相等没有1.二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+
37、c与 交点的横坐标.b2-4ac抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数方程ax2+bx+c=0的根的情况0两个两个 的实数根=0一个(顶点在x轴上)两个 的实数根 0没有交点 实数根 二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点 5xx2x1x0(a0)抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围._ax2+bx+c0)抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围._ _方法 二次函数的图象与性质命题角度1例1(逻辑推理)2019福建若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(,y2),E(2,
38、y3),则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y1y3y2C.y3y2y1D.y2y30时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越小,如图(1);当a0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越大,如图(2).提分技法提分技法二次函数图象与系数a,b,c的关系命题角度2例2 2020山东菏泽一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是()【思路分析】根据一次函数和二次函数的图象逐项分析ac,b的符号,若符号一致,则符合题意.B二次函数图象与系数a,b,c的关系命题角度2例3 2020山东滨州对称轴为直线x=1的抛物线y=
39、ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)如图所示,小明同学得出了以下结论:abc4ac,4a+2b+c0,3a+c0,a+bm(am+b)(m为任意实数),当x0abc0b的符号由对称轴的位置和a的符号共同决定.对称轴在y轴右侧,a0.b0c的符号由图象与y轴交点的位置决定.图象与y轴交于负半轴.c0b24ac 4a+2b+c的值为当x=2时y的值.当x=2时,y0.4a+2b+c0.3a+c0 当x=1时,函数取最小值,为a+b+c.am2+bm+ca+b+cm(am+b)a+b 抛物线开口向上,对称轴为直线x=1.当x1时,y随x的增大而减小.当x0,开口向下,则a0;交于负半轴,则c
40、1或-1或-0)个单位,得到抛物线y=ax2+bx-k;向右平移h(h0)个单位,得到抛物线y=a(x-h)2+b(x-h).提分技法提分技法二次函数与一元二次方程、不等式(组)的关系命题角度4例5 2020湖北荆门若抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过第四象限的点(1,-1),则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是()A.有两个大于1的不相等实数根B.有两个小于1的不相等实数根C.有两个实数根,一个大于1,另一个小于1D.没有实数根【思路分析】根据题意画出抛物线的大致图象,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的根,结合图象即可得出结论.C二次函
41、数与一元二次方程、不等式(组)的关系命题角度4例6 2019山东济宁如图,抛物线y=ax2+c与直线 y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+cn的解集是.【思路分析】不等式可变形为ax2+c-mx+n,先画出直线y=mx+n关于y轴的对称图形,即直线y=-mx+n,再寻找抛物线在直线y=-mx+n上方的部分对应的自变量的取值范围,即可得出结论.x-3或x1二次函数与一元二次方程、不等式(组)的关系命题角度4利用函数图象确定不等式的解集的方法已知函数y1,y2的图象:(1)求y1y2的解集,即是求函数y1的图象在函数y2的图象上方部分所对应的自变量的取值范围;(
42、2)求y1y2的解集,即是求函数y1的图象在函数y2的图象下方部分所对应的自变量的取值范围.提分技法提分技法用待定系数法求二次函数解析式命题角度5例7 2019湖南永州中考改编已知抛物线经过A(-3,0),B(0,3)两点,且其对称轴为直线x=-1.求此抛物线的解析式.【思路分析】方法一(交点式):先求出抛物线与x轴的另一个交点,再利用交点式设出抛物线的解析式,最后将点B的坐标代入,即可得解.方法二(顶点式):根据抛物线的对称轴,设出抛物线的顶点式,再将A,B两点的坐标分别代入,即可得解.【自主解答】解:方法一(交点式):抛物线的对称轴是直线x=-1,抛物线与x轴的一个交点为A(-3,0),抛
43、物线与x轴的另一个交点为(1,0).用待定系数法求二次函数解析式命题角度5设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3),把B(0,3)代入,得3=-3a,解得a=-1,故抛物线的解析式为y=-(x-1)(x+3),即y=-x2-2x+3.方法二(顶点式):抛物线的对称轴是直线x=-1,设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k,将A(-3,0),B(0,3)分别代入,故抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.用待定系数法求二次函数解析式命题角度5巧设二次函数解析式的方法用待定系数法求二次函数的解析式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出二次函数的解析式,再代入点的坐
44、标进行求解.方法如下:(1)已知二次函数图象上三个点的坐标,可设为一般式y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a0);(2)已知二次函数图象的顶点坐标(或对称轴、最值),可设为顶点式y=a(x-h)2+k;(3)已知二次函数图象与x轴交点的(横)坐标,可设为交点式y=a(x-x1)(x-x2).提分技法提分技法二次函数综合题命题角度6例8 2020湖南衡阳在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(-1,0),(2,0).(1)求这个二次函数的表达式;(2)求当-2x1时,y的最大值与最小值的差;(3)一次函数y=(2-m)x+2-m的图象与二次函数y=x2+p
45、x+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a3b,求m的取值范围.二次函数综合题命题角度6【思路分析】(1)方法一:根据已知点(-1,0),(2,0),利用待定系数法求解即可;方法二:根据已知点(-1,0),(2,0),将二次函数解析式用交点式表示,化简即可.(2)先求出函数图象的对称轴,再利用二次函数的增减性求出-2x1时y的最大值和最小值,进而计算即可.(3)两函数图象交点的横坐标即为两函数的函数值相等时x的值,据此列方程求解,进而推出m的取值范围.【自主解答】解:(1)方法一:将(-1,0),(2,0)分别代入y=x2+px+q,这个二次函数的表达式为y=x2-x-2.二次函数综合题命题角
46、度6方法二:二次函数y=x2+px+q的图象过点(-1,0),(2,0),该二次函数的解析式为y=(x+1)(x-2),即y=x2-x-2.(2)二次函数y=x2-x-2的图象过点(-1,0),(2,0),二次函数y=x2-x-2图象的对称轴为直线x=,当-2x1时,y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y的最小值为当-2x1时,y的最大值与最小值的差为二次函数综合题命题角度6(3)令(2-m)x+2-m=x2-x-2,整理,得x2+(m-3)x+m-4=0,解得x1=-1,x2=4-m.a33,m1.第三章函数河南中考考点过关第六节 二次函数的应用目录（河南中考）考点 考点 利用二次函数
47、解决最值问题方法 命题角度 1利用二次函数解决几何图形中的最值问题 命题角度 2利用二次函数解决销售中的最值问题考点 利用二次函数解决最值问题考点 利用二次函数知识解决最值问题的一般步骤:(1)理解题意,分析问题中的变量与常量之间的关系;(2)根据实际问题或几何知识列出二次函数解析式;(3)结合二次函数的图象与性质在自变量的取值范围内求出函数的最值;(4)检验结果的合理性,得出结论.方法 利用二次函数解决几何图形中的最值问题命题角度1例1 2019黑龙江大庆如图,在RtABC中,A=90,AB=8 cm,AC=6 cm,若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑点D与点B,A重合的情
48、况),运动速度为2 cm/s,过点D作DEBC交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x s,AE的长为y cm.(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.(2)当x为何值时,BDE的面积S取最大值?最大值为多少?利用二次函数解决几何图形中的最值问题命题角度1【思路分析】(1)由DEBC,得ADEABC,得到 ,再列关于x,y的等式,变形后即可得解;(2)由S=BDAE,得到函数解析式,然后运用二次函数的性质求解.【自主解答】解:(1)易知BD=2x cm.AB=8 cm,AD=(8-2x)cm.由DEBC,得ADEABC,y=-x+6(0 x4).利用二次函数解决几何图形中
49、的最值问题命题角度1(2)SBDE=BDAE=2x(-x+6)=(-x2+6x)(cm2)(0 x4),当x=2时,SBDE最大,最大值为6 cm2.利用二次函数解决销售中的最值问题命题角度2例2 2020山东滨州某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克.(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克?(2)当月利润为8 750元时,每千克水果售价为多少元?(3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大?利用二次函数解决销售中的最值问题命题角度2【思路分析】(1)根据
50、“月销售量=500-10(售价-50)”计算即可.(2)根据“月利润=(售价-进价)月销售量”及(1)中的等量关系列方程求解即可.(3)求出月利润与水果售价之间的函数关系式,再利用二次函数的性质求解即可.【自主解答】解:(1)当售价为55元/千克时,每月销售量为500-10(55-50)=500-50=450(千克).(2)设每千克水果售价为x元,由题意,得(x-40)500-10(x-50)=8 750,即-10 x2+1 400 x-40 000=8 750,利用二次函数解决销售中的最值问题命题角度2整理,得x2-140 x=-4 875,配方,得(x-70)2=4 900-4 875,解
