1、上海市2022-2023学年高一下学期阶段测试1数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题1角是第_象限角2半径为2的扇形面积为，则扇形所对圆心角的弧度数为_3若角的终边过点，则_4已知，则_5若，则_（用符号表示)6若为锐角，则_.7若，则_.8设的内角所对的边分别为，若，则角=_.9在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是_10已知，且，则=_11在中，则下列结论正确的是_外接圆的面积为 若，则当时，有一解 的面积有最大值12已知、是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则的最大值为_二、单选题13“”是“”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要14已知，
2、化简的结果是（）ABCD15小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A20 mB30 mC20 mD30 m16在中，分别是角的对边，若，则的值为（）A2021B2022C2023D2024三、解答题17（1）化简：（2）已知，求的值18已知函数，.(1)若是第一象限角，且，求的值；(2)求使成立的x的取值集合.19已知在中，所对边分别为，且.(1)若，求的面积；(2)若，求的周长.
3、20阅读问题：已知点，将绕坐标原点逆时针旋转至，求点的坐标.解：如图，点在角的终边上，且，则，点在角的终边上，且，于是点的坐标满足：，即.（1）将绕原点顺时针旋转并延长至点使，求点坐标；（2）若将绕坐标原点旋转并延长至，使，求点的坐标（用含有、的数学式子表示）；（3）定义，的中点为，将逆时针旋转角，并延长至，使，且的中点也在单位圆上，求的值.21在非直角三角形ABC中，角的对边分别为，（1）若，求角B的最大值；（2）若，（i）证明：；（可能运用的公式有）（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.试卷第3页，
4、共3页参考答案：1三【分析】利用终边相同的角的表示判断出与的终边相同，即可判断.【详解】因为，所以与的终边相同，为第三象限角.故答案为：三2【分析】由扇形面积公式即可求解.【详解】设扇形所对圆心角的弧度数为，半径为，由扇形面积公式可得：，解得.故答案为：3#【分析】由三角函数的定义求解即可.【详解】.故答案为：4【分析】利用诱导公式将转化求解.【详解】因为，又因为，所以.故答案为：5【分析】根据反三角函数的定义即可求解.【详解】而所以，即.故答案为：6-2【分析】利用同角公式化简真数为:,再用对数运算性质可得.【详解】因为.故答案为:【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式以及对数的运算性质
5、,属于基础题.7【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角差的余弦公式计算可得；【详解】解：因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以所以故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于中档题.8【分析】根据正弦定理到，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】，则，故.根据余弦定理：，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.9等腰直角三角形【分析】根据正弦定理，可得，然后利用余弦定理可得，最后可得结果.【详解】由正弦定理及， 得， ，又，由余弦定理， 得， 即，为等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形10或.【
6、分析】两式平方相加从而得到角的三角函数值,然后由角的范围确定的值.【详解】两式平方相加得,即, 则.因为,所以,故或.故答案为：或.11【分析】由正弦定理可判断，由余弦定理和基本不等式可判断，由方程的解的情况可判断.【详解】由可知，由正弦定理得：，所以，所以外接圆的面积，正确；若，由正弦定理得：，解得：，所以或（均符合题意），错误；由，得，解得：，当且仅当时取等号，所以，正确；，得，当有一解时，关于方程只有一个正根此方程有唯一正解等价于或，又，解得：或，则错误.故答案为：12【分析】由三角函数的定义设出的坐标，并根据的关系得出，再结合三角函数的性质求解最大值.【详解】可令（），（），且，所以、
7、，由可得：，又因为，所以，所以所以，当时，取得最大值.故答案为：.13A【分析】由，可得，分析即得解【详解】由题意，若，则，即，故充分性成立；反之，若，则，即，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要条件.故选：A14B【分析】由倍角公式化简即可.【详解】.故选：B15D【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.【详解】，由题意知：CAM45，AMC105，所以ACM30，在RtABM中，AM，在ACM中，由正弦定理得，所以CM，在RtDCM中，CDCMsinAMD30.故选：D.16B【分析】根据，利用余弦定理得到，再利用三角恒等变换，结合正弦定理求解.【详解】解：因为，由余弦定理得，所以，所以
8、，故选：B.17（1）；（2）【分析】（1）由诱导公式化简即可；（2）由同角三角函数的基本关系得出，进而由得出的值【详解】（1）原式.（2），即18(1)(2)或.【分析】（1）先求出，结合所在象限求得，进而利用半角公式进行求解；（2）利用半角公式，辅助角公式求得，进而求出使成立的x的取值集合.【详解】（1），解得：，因为是第一象限角，所以；（2），即，利用辅助角公式得：，所以，或，解得：，或，故使成立的x的取值集合为或19(1)(2)或.【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式即得；（2）利用正弦定理及条件可求，再利用正弦定理即可求解.【详解】（1），（2）依题意，正弦定理：，所以代入计算
9、：，则.当为锐角时，所以，当为钝角时，所以，综上：或.20（1）；（2）；（3）.【分析】（1）直接利用任意角的三角函数定义求解；（2）取，再由任意角的三角函数定义求解；（3）利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求出，利用余弦定理，求的值【详解】（1），即，；（2），即；（3）由题意，【点睛】本题考查三角函数值的计算，考查余弦定理，考查学生的计算能力，利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求出是关键，属于中档题21（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）存在，证明见解析.【解析】(1)由余弦定理结合基本不等式可得，从而可求出角B的最大值.(2)(i)由正弦定理边角互换可得，结合和差化积公式和诱导公式可得，结合两叫和、差的余弦公式和同角三角函数的基本关系可得所证式子.(ii)结合已知条件和半角正切公式可得，通过整理变形可得，从而可求出.【详解】解：（1）因为，所以由余弦定理可得：（当且仅当时取等号），又，所以角B的最大值为.（2）（i）由及正弦定理得，所以，因为，所以，有，由两角和、差的余弦公式可得整理得，故（ii）由及半角正切公式可得，展开整理得，即，即，即，与原三角式作比较可知存在且答案第9页，共10页
