1、 第第 二二 章章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 21 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 21.1 平面平面 学案学案 新知自解新知自解 1了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法 2能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系位置关系 3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与 作用作用 平面平面 概念概念 几何里所说的几何里所说的“平面平面”是从生活中的一些物体中抽
2、象出来的，是是从生活中的一些物体中抽象出来的，是 _的的 画法画法 常常把水平的平面画成一个常常把水平的平面画成一个_，并且其锐角画成，并且其锐角画成 45 ，且横边，且横边 长等于邻边长的长等于邻边长的_，为了增强立体感，被遮挡部分用，为了增强立体感，被遮挡部分用_画出来画出来 无限延展无限延展 平行四边形平行四边形 2倍倍 虚线虚线 表示表示方法方法 (1)一个希腊字母：如一个希腊字母：如 ， 等；等； (2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； (3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四四个大写英文字母：表
3、示平面的平行四边形的四个顶点个顶点 1.直线在平面内的概念直线在平面内的概念 如果直线如果直线 l 上的上的_都在平面都在平面 内， 就说直线内， 就说直线 l 在平面在平面 内，或者说平内，或者说平 面面 _直线直线 l. 2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系一些文字语言、数学符号与图形的对应关系 数学符数学符号表示号表示 文字语言表达文字语言表达 图形语言表达图形语言表达 _ 点点 A 在直线在直线 l 上上 _ 点点 A 在直线在直线 l 外外 _ 点点 A 在平面在平面 内内 所有点所有点 经过经过 Al A l A _ 点点 A 在平面在平面 外外 _ 直线直线 l 在平面在平
4、面 内内 _ 直线直线 l 在平面在平面 外外 _ 直线直线 l，m 相交于点相交于点 A _ 平面平面 ， 相交于直线相交于直线 l A l l lmA l 平面的基本性质平面的基本性质 公理公理 内容内容 图形图形 符号符号 公理公理 1 如果一条直线上的如果一条直线上的_在一个平在一个平 面内，那么这条直线在面内，那么这条直线在_ Al，Bl 且且 A，B _ 公理公理 2 过过_的三点，的三点， _一个平面一个平面 A，B，C 三点不共线三点不共线 存在唯一的平面存在唯一的平面 使使 A，B，C 公理公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有
5、且只有一条过该点点，那么它们有且只有一条过该点 的的_ P 且且 P _ 两点两点 此平面内此平面内 不在同一条直线上不在同一条直线上 有且只有有且只有 公共直线公共直线 l l且且Pl 化解疑难化解疑难 1公理公理 1 的作用：的作用：用直线检验平面用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工用直的木常被应用于实践，如泥瓦工用直的木 条刮平地面上的水泥浆条刮平地面上的水泥浆)；判断判断直线是否在平面内直线是否在平面内(经常被用于立体几何的说理经常被用于立体几何的说理 中中) 2公理公理 2 的作用：的作用：确定平面；确定平面；证明点、线共面证明点、线共面 公理公理 2 中要注意条件中要注意条件“
6、不在一条直线上的三点不在一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不，事实上，共线的三点是不 能确定一个平面的同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有能确定一个平面的同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有 无数个平面；过不在一条直线上的四点，不一定有平面因此，要充分重视无数个平面；过不在一条直线上的四点，不一定有平面因此，要充分重视“不不 在一条直线上的三点在一条直线上的三点”这一条件的重要性这一条件的重要性 3公理公理 3 强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一 条直线以后若无特别说明，条直线以
7、后若无特别说明，“两个平面两个平面”是指不重合的两个平面是指不重合的两个平面 公理公理 3 的主要作用：的主要作用：判定两个平面是否相判定两个平面是否相交；交；证明共线问题；证明共线问题；证明线证明线 共点问题共点问题. 1下列对平面的描述语句：下列对平面的描述语句： 平静的太平洋面就是一个平面；平静的太平洋面就是一个平面； 8 个平面重叠起来比个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚；个平面重叠起来厚； 四边形确定一个平面；四边形确定一个平面； 平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集 其中正确的是其中正确的是( ) A B C D 解析：解
8、析： 序号序号 正误正误 原因分析原因分析 太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展 的的 平面是无大小、无厚薄之分的平面是无大小、无厚薄之分的 如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面 平面是空间中点的集合，是无限集平面是空间中点的集合，是无限集 答案：答案： D 2下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是( ) 解析：解析： A 中图形没有画出两平面的交线；中图形没有画出两平面的交线；B、C 中的图形没有按照实、虚中
9、的图形没有按照实、虚 线画法原则去画，也不正确线画法原则去画，也不正确 答案：答案： D 3正方体正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，M，N 是是 AA1，AB 中点，中点， 则则 D1M、CN、DA 三线三线_ 解析：解析： M、N 是是 AA1、AB 中点，中点， MNA1B，A1BCD1， MNCD1，D1M 与与 CN 在一个面内在一个面内 D1MCNP，PCN，CN平面平面 ABCD， P面面 ABCD 同理同理 P平面平面 ADD1A1 P 在平面在平面 ABCD 与平面与平面 ADD1A1，PDA. 答案：答案： 共点共点 教案教案 课堂探究课堂探究 文字语言、图形语言、符号
10、语言的相互转化文字语言、图形语言、符号语言的相互转化自主练透型自主练透型 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系 (1)点点 P 与直线与直线 AB； (2)点点 C 与直线与直线 AB； (3)点点 M 与平面与平面 AC； (4)点点 A1与平面与平面 AC； (5)直线直线 AB 与直线与直线 BC； (6)直线直线 AB 与平面与平面 AC； (7)平面平面 A1B 与平面与平面 AC. 解析：解析： (1)点点 P直线直线 AB； (2)点点 C 直线直线 AB； (3)点点 M平面平面 AC； (4)点点 A1 平面平面 AC；
11、 (5)直线直线 AB直线直线 BC点点 B； (6)直线直线 AB平面平面 AC； (7)平面平面 A1B平面平面 AC直线直线 AB. 归纳升华归纳升华 三种语言的转换方法三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、 几条直线且相互之间的位置关系如何， 试着用文字语言表示， 再用符号语言表示几条直线且相互之间的位置关系如何， 试着用文字语言表示， 再用符号语言表示 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别
12、. 1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相 应的图形：应的图形：(1)A，B ；(2)l，mA，A l；(3)Pl，P ，Ql，Q . 解析：解析： (1)点点 A 在平面在平面 内，点内，点 B 不在平面不在平面 内，如图内，如图(1)； (2)直线直线 l 在平面在平面 内，直线内，直线 m 与平面与平面 相交于点相交于点 A，且点，且点 A 不在直线不在直线 l 上，上， 如图如图(2)； (3)直线直线 l 经过平面经过平面 外一点外一点 P 和平面和平面 内一点内一点 Q，如图，如图(3) 点、线
13、共面问题点、线共面问题多维探究型多维探究型 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内 解析：解析： 已知：如图所示，已知：如图所示，l1l2A， l2l3B，l1l3C. 求证：直线求证：直线 l1、l2、l3在同一平面内在同一平面内 方法一：方法一：(纳入平面法纳入平面法) l1l2A，l1和和 l2确确定一个平面定一个平面 . l2l3B，Bl2. 又又l2，B. 同理可证同理可证 C. 又又Bl3，Cl3，l3， 直线直线 l1、l2、l3在同一平面内在同一平面内 方法二：方法二：(辅助平面法辅助平面法) l1l2A，l1、l2确定一个平面确定
14、一个平面 . l2l3B，l2、l3确定一个平面确定一个平面 . Al2，l2，A. Al2，l2，A. 同理可证同理可证 B，B，C，C. 不共线的三个点不共线的三个点 A、B、C 既在平面既在平面 内，又在平面内，又在平面 内内 平面平面 和和 重合，即直线重合，即直线 l1、l2、l3在同一平面内在同一平面内 归纳升华归纳升华 证明点、线共面问题的理论依据是公理证明点、线共面问题的理论依据是公理 1 和公理和公理 2，常用方法有，常用方法有 1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用 “纳入法纳入法”；
15、2先由其中一部分点、线确定一个平面先由其中一部分点、线确定一个平面 ，其余点、线确定另一个平面，其余点、线确定另一个平面 ， 再证平面再证平面 与与 重合，即用重合，即用“同一法同一法”； 3假设不共面，结合题设推出矛盾，用假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法反证法”. 2已知：已知：Al，Bl，Cl，D l，如图，求证：直线，如图，求证：直线 AD，BD，CD 共面共面 证明：证明： 因为直线因为直线 l 与点与点 D 可以确定平面可以确定平面 ，所以只需证明，所以只需证明 AD，BD，CD 都在平面都在平面 内内 因为因为 D l，所以，所以 l 与与 D 可以确可以确定平面定平面 .
16、 因为因为 Al，所以，所以 A，又，又 D，所以，所以 AD(基本性质基本性质) 同理，同理，BD，CD，所以，所以 AD，BD，CD 在同一平面在同一平面 内，即它们共面内，即它们共面 共线问题共线问题多维探究型多维探究型 已知已知ABC 在平面在平面 外，其三边所在的直线满足外，其三边所在的直线满足 ABP，BC Q，ACR，如图所示，如图所示 求证：求证：P，Q，R 三点共线三点共线 证明：证明： 法一：法一：ABP， PAB，P平面平面 . 又又 AB平面平面 ABC， P平面平面 ABC. 由公理由公理 3 可知：点可知：点 P 在平面在平面 ABC 与平面与平面 的交线上，同理可
17、证的交线上，同理可证 Q、R 也也 在平面在平面 ABC 与平面与平面 的交线上的交线上 P，Q，R 三点共线三点共线 法法二：二：APARA， 直线直线 AP 与直线与直线 AR 确定平面确定平面 APR. 又又ABP，ACR. 平面平面 APR平面平面 PR. B平面平面 APR，C平面平面 APR， BC平面平面 APR. QBC，Q平面平面 APR，又，又 Q， QPR，P，Q，R 三点共线三点共线 归纳升华归纳升华 点共线：点共线：证明多点共线通常利用公理证明多点共线通常利用公理 3，即两相交平面交线的唯一性，通过，即两相交平面交线的唯一性，通过 证明点分别在两个平面内，证明点在相交
18、平面的交线上，也可选择其中两点确定证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定 一条直线，然后证明其他点也在其上一条直线，然后证明其他点也在其上. 3如图所如图所示，在正方体示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，设线段中，设线段 A1C 与平面与平面 ABC1D1 交于点交于点 Q，求证：，求证：B，Q，D1三点共线三点共线 解析：解析： 如图所示， 连接如图所示， 连接 A1B， CD1.显然显然 B平面平面 A1BCD1， D1平面平面 A1BCD1. BD1平面平面 A1BCD1. 同理同理 BD1平面平面 ABC1D1. 平面平面 ABC1D1平面平面 A1BCD1BD1. A1C平面平面 ABC1D1Q， Q平面平面 ABC1D1. 又又A1C平面平面 A1BCD1， Q平面平面 A1BCD1. QBD1，即，即 B，Q，D1三点共线三点共线 谢谢观看！谢谢观看！
