1、专题七类比、拓展探究题专题七类比、拓展探究题 图形旋转引起的探究图形旋转引起的探究例例1 1、(2018(2018焦作一模焦作一模)如图如图1 1，在等边，在等边ABCABC中，点中，点D D，E E分别在边分别在边ABAB，ACAC上，上，ADADAEAE，连接，连接BEBE，CDCD，点，点M M，N N，P P分别是分别是BEBE，CDCD，BCBC的中点的中点(1)(1)观察猜想：图观察猜想：图1 1中，中，PMNPMN的形状是的形状是_ _；(2)(2)探究证明：把探究证明：把ADEADE绕点绕点A A逆时针方向旋转到图逆时针方向旋转到图2 2的位置，的位置，PMNPMN的形状是否发
2、的形状是否发生改变？并说明理由；生改变？并说明理由；(3)(3)拓展延伸：把拓展延伸：把ADEADE绕点绕点A A在平面内自由旋转，若在平面内自由旋转，若ADAD1 1，ABAB3 3，请直接写出，请直接写出PMNPMN的周长的最大值的周长的最大值1 1(2019(2019山东菏泽山东菏泽)如图，如图，ABCABC和和ADEADE是有公共顶点的等腰直角三角形，是有公共顶点的等腰直角三角形，BACBACDAEDAE9090.(1)(1)如图如图1 1，连接，连接BEBE，CDCD，BEBE的延长线交的延长线交ACAC于点于点F F，交，交CDCD于点于点P P，求证：，求证：BPCDBPCD；(
3、2)(2)如图如图2 2，把，把ADEADE绕点绕点A A顺时针旋转，当点顺时针旋转，当点D D落在落在ABAB上时，连接上时，连接BEBE，CDCD，CDCD的的延长线交延长线交BEBE于点于点P P，若，若BCBC6 6 ，ADAD3 3，求，求PDEPDE的面积的面积2 2(2020(2020河南模拟河南模拟)如图如图1 1，菱形，菱形ABCDABCD是边长为是边长为2 2，BADBAD6060，对角线，对角线ACAC，BDBD交于交于点点O.O.(1)(1)操作发现：小芳同学将操作发现：小芳同学将CBDCBD绕点绕点O O旋转得旋转得CEFCEF，当，当CFCF落在落在ADAD上时上时
4、(如图如图2)2)，连接，连接EDED，请直接写出，请直接写出DEDE与与ACAC的位置关系和数量关系；的位置关系和数量关系；(2)(2)问题解决：小芳同学继续旋转问题解决：小芳同学继续旋转CEF(ACEF(A，C C不重合不重合)，如图，如图3 3，连接，连接DEDE，ACAC，她认为，她认为(1)(1)中的结论仍然成立你同意吗？说明理由；中的结论仍然成立你同意吗？说明理由；(3)(3)深入思考：若直线深入思考：若直线DEDE与直线与直线ACAC的交点为的交点为H H，请直接写出，请直接写出BHBH的最大值的最大值3 3(2019(2019山东东营山东东营)如图如图1 1，在，在RtRtAB
5、CABC中，中，B B9090，ABAB4 4，BCBC2 2，点，点D D，E E分别是边分别是边BCBC，ACAC的中点，连接的中点，连接DE.DE.将将CDECDE绕点绕点C C逆时针方向旋转，记旋转角逆时针方向旋转，记旋转角为为.(1)(1)问题发现问题发现当当0 0时时，_；当当180180时时，_(2)(2)拓展探究拓展探究试判断：当试判断：当0 0360360时时，的的大小有无变化？请仅就图大小有无变化？请仅就图2 2的情形给出的情形给出证明证明(3)(3)问题解决问题解决CDECDE绕点绕点C C逆时针旋转至逆时针旋转至A A，B B，E E三点在同一条直线上时，求线段三点在同
6、一条直线上时，求线段BDBD的长的长例例2 2、(2019(2019四川自贡四川自贡)(1)(1)如图如图1 1，E E是正方形是正方形ABCDABCD边边ABAB上的一点，连接上的一点，连接BDBD，DEDE，将，将BDEBDE绕点绕点D D逆时针旋转逆时针旋转9090，旋转后角的两边分别与射线，旋转后角的两边分别与射线BCBC交于点交于点F F和和点点G.G.线段线段BDBD和和DGDG的数量关系是的数量关系是_；写出线段写出线段BEBE，BFBF和和BDBD之间的数量关系之间的数量关系(2)(2)当四边形当四边形ABCDABCD为菱形，为菱形，ADCADC6060，点，点E E是菱形是菱
7、形ABCDABCD边边ABAB所在直线上的一所在直线上的一点，连接点，连接BDBD，DEDE，将，将BDEBDE绕点绕点D D逆时针旋转逆时针旋转120120，旋转后角的两边分别与射，旋转后角的两边分别与射线线BCBC交于点交于点F F和点和点G.G.如图如图2 2，点，点E E在线段在线段ABAB上时，请探究线段上时，请探究线段BEBE，BFBF和和BDBD之间的数量关系，写出之间的数量关系，写出结论并给出证明；结论并给出证明；如图如图3 3，点，点E E在线段在线段ABAB的延长线上时，的延长线上时，DEDE交射线交射线BCBC于点于点M M，若，若BEBE1 1，ABAB2 2，直接写出
8、线段直接写出线段GMGM的长度的长度动点引起的探究动点引起的探究1 1(2019(2019湖南常德湖南常德)在等腰三角形在等腰三角形ABCABC中，中，ABABACAC，作，作CMABCMAB交交ABAB于点于点M M，BNBNACAC交交ACAC于点于点N.N.(1)(1)在图在图1 1中，求证：中，求证：BMCBMCCNBCNB；(2)(2)在图在图2 2中的线段中的线段CBCB上取一动点上取一动点P P，过，过P P作作PEPEABAB交交CMCM于点于点E E，作，作PFACPFAC交交BNBN于点于点F F，求证：，求证：PEPEPFPFBMBM；(3)(3)在图在图3 3中动点中动
9、点P P在线段在线段CBCB的延长线上，类似的延长线上，类似(2)(2)过过P P作作PEABPEAB交交CMCM的延长线于点的延长线于点E E，作，作PFACPFAC交交NBNB的延长线于点的延长线于点F F，求证：，求证：AMPFAMPFOMBNOMBNAMPE.AMPE.2 2(2018(2018开封一模开封一模)【问题提出】【问题提出】如图如图1 1，已知，已知ABCABC是等腰三角形，点是等腰三角形，点E E在线段在线段ABAB上，点上，点D D在直线在直线BCBC上，且上，且EDEDECEC，将，将BCEBCE绕点绕点C C顺时针旋转顺时针旋转6060至至ACFACF连接连接EFE
10、F，试证明：试证明：ABABBDBDAF.AF.【类比探究】【类比探究】(1)(1)如图如图2 2，如果点，如果点E E在线段在线段ABAB的延长线上，其他条件不变，线段的延长线上，其他条件不变，线段ABAB，BDBD，AFAF之间又有怎样的数量关系？请说明理由；之间又有怎样的数量关系？请说明理由；(2)(2)如果点如果点E E在线段在线段BABA的延长线上，其他条件不变，请在图的延长线上，其他条件不变，请在图3 3的基础上将图的基础上将图形补充完整，并写出形补充完整，并写出ABAB，BDBD，AFAF之间的数量关系，不必说明理由之间的数量关系，不必说明理由3 3(2019(2019河南模拟河
11、南模拟)如图如图1 1，在四边形，在四边形ABCDABCD中，中，ABABADAD，B BADCADC180180，点点E E，F F分别在四边形分别在四边形ABCDABCD的边的边BCBC，CDCD上，上，EAFEAF BADBAD，连接，连接EFEF，试猜想，试猜想EFEF，BEBE，DFDF之间的数量关系之间的数量关系(1)(1)思路梳理思路梳理将将ABEABE绕点绕点A A逆时针旋转至逆时针旋转至ADGADG，使，使ABAB与与ADAD重合，由重合，由BBADCADC180180，得得FDGFDG180180，即点，即点F F，D D，G G三点共线，易证三点共线，易证AFGAFG_，
12、故，故EFEF，BEBE，DFDF之间的数量关系为之间的数量关系为_ _ _；(2)(2)类比引申类比引申如图如图2 2，在图，在图1 1的条件下，若点的条件下，若点E E，F F由原来的位置分别变到四边形由原来的位置分别变到四边形ABCDABCD的边的边CBCB，DCDC延长线上，延长线上，EAFEAF BADBAD，连接，连接EFEF，试猜想，试猜想EFEF，BEBE，DFDF之间的数量关系，之间的数量关系，并给出证明；并给出证明；(3)(3)联想拓展联想拓展如图如图3 3，在，在ABCABC中，中，BACBAC9090，ABABACAC，点，点D D，E E均在边均在边BCBC上，且上，
13、且DAEDAE4545，若，若BDBD1 1，ECEC2 2，则，则DEDE的长为的长为_例例3 3、(2019(2019四川资阳四川资阳)在矩形在矩形ABCDABCD中，连接中，连接ACAC，点，点E E从点从点B B出发，以每秒出发，以每秒1 1个单位的速度个单位的速度沿着沿着B BA AC C的路径运动，运动时间为的路径运动，运动时间为t(t(秒秒).).过点过点E E作作EFEFBCBC于点于点F F，在矩形，在矩形ABCDABCD的内部的内部作正方形作正方形EFGH.EFGH.(1)(1)如图，当如图，当ABABBCBC8 8时，时，若点若点H H在在ABCABC的内部，连接的内部，
14、连接AHAH，CHCH，求证：，求证：AHAHCHCH；当当0 0t8t8时，设正方形时，设正方形EFGHEFGH与与ABCABC的重叠部分面积为的重叠部分面积为S S，求，求S S与与t t的函数关系式；的函数关系式；(2)(2)当当ABAB6 6，BCBC8 8时，若直线时，若直线AHAH将矩形将矩形ABCDABCD的面积分成的面积分成1313两部分，求两部分，求t t的值的值图形形状变化引起的探究1 1(2019(2019湖北武汉湖北武汉)在在ABCABC中，中，ABCABC9090，n n，M M是是BCBC上一点，连上一点，连接接AM.AM.(1)(1)如图如图1 1，若，若n n1
15、 1，N N是是ABAB延长线上一点，延长线上一点，CNCN与与AMAM垂直，求证：垂直，求证：BMBMBNBN；(2)(2)过点过点B B作作BPAMBPAM，P P为垂足，连接为垂足，连接CPCP并延长交并延长交ABAB于点于点Q.Q.如图如图2 2，若，若n n1 1，求证，求证：；如图如图3 3，若，若M M是是BCBC的中点，直接写出的中点，直接写出tantanBPQBPQ的值的值(用含用含n n的式子表示的式子表示)2 2(2019(2019山东德州山东德州)(1)(1)如图如图1 1，菱形，菱形AEGHAEGH的顶点的顶点E E，H H在菱形在菱形ABCDABCD的边上，的边上，
16、且且BADBAD6060，请直接写出，请直接写出HDGCEBHDGCEB的结果的结果(不必写计算过程不必写计算过程)；(2)(2)将图将图1 1中的菱形中的菱形AEGHAEGH绕点绕点A A旋转一定角度，如图旋转一定角度，如图2 2，求，求HDGCEBHDGCEB；(3)(3)把图把图2 2中的菱形都换成矩形，如图中的菱形都换成矩形，如图3 3，且，且ADABADABAHAEAHAE1212，此时，此时HDGCEBHDGCEB的结果与的结果与(2)(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果出变化后的结果(不必写计算过程不必写计算过程
17、)；若无变化，请说明理由；若无变化，请说明理由3 3(2018(2018河南联考三模河南联考三模)如图如图1 1，正方形，正方形ABCDABCD和正方形和正方形AEFGAEFG，连接，连接DGDG，BE.BE.(1)(1)发现发现:当当正方形正方形AEFGAEFG绕点绕点A A旋转，如图旋转，如图2.2.线段线段DGDG与与BEBE之间的数量关系是之间的数量关系是_DGDGBEBE_；直线直线DGDG与直线与直线BEBE之间的位置关系是之间的位置关系是_DGBEDGBE_(2)(2)探究探究如图如图3 3，若四边形，若四边形ABCDABCD与四边形与四边形AEFGAEFG都为矩形，且都为矩形，且ADAD2AB2AB，AGAG2AE2AE，证，证明：直线明：直线DGBE.DGBE.(3)(3)应用应用在在(2)(2)情况下，连接情况下，连接GE(GE(点点E E在在ABAB上方上方)，若，若GEABGEAB，且，且ABAB ，AEAE1 1，则线段则线段DGDG是多少？是多少？(直接写出结论直接写出结论)
