1、类型一与切线性质有关的证明与计算(2020,23/2018,22/2017,24/2016,25/2015,24)此类问题一般是证明线段的数量或位置关系,证明角相等,或者求角的大小、线段长度.与角有关的问题,通常利用切线的性质,以及圆中角、弧、弦的对应关系的相关基本图形进行角度的推导.已知线段长,在圆中求其他线段的长度,主要有两种方法,一是找到根据条件可解的三角形,以及所求线段所在的可解三角形,通过勾股定理、三角函数知识解三角形求线段的长;二是找到所求线段和已知线段所在的相似三角形,根据比例关系及其变形,求线段的长.图Z2-1解:(1)证明:连接OC,如图所示.AB为O的直径,ACB=ACO+
2、OCB=90.DE是O的切线,OCD=ACO+ACD=90,OCB=ACD.OB=OC,B=OCB.OEAC,ACD=E,B=E.图Z2-1【配练】2020密云区二模如图Z2-2,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,点D在O上,AC平分BAD,过点C的切线交直径AB的延长线于点E.(1)求证:BCE=CAD;(2)若AB=10,AD=6,求CE的长.图Z2-2解:(1)证明:连接OC,CE是O的切线,OCCE,OCB+BCE=90,AB是O的直径,ACB=90,CAB+OBC=90,OC=OB,OCB=OBC,CAB=BCE,AC平分DAB,CAD=CAB,CAD=BCE.【配练】2020密云
3、区二模如图Z2-2,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,点D在O上,AC平分BAD,过点C的切线交直径AB的延长线于点E.(2)若AB=10,AD=6,求CE的长.图Z2-2 题型精练1.2020海淀区二模如图Z2-3,AB为O的直径,C为O上一点,CEAB于点E,O的切线BD交OC的延长线于点D.(1)求证:DBC=OCA;(2)若BAC=30,AC=2,求CD的长.图Z2-3解:(1)证明:AB为O的直径,ACB=90,A+ABC=90.BD为O的切线,ABBD,DBC+ABC=90,A=DBC,OA=OC,A=OCA,OCA=DBC.1.2020海淀区二模如图Z2-3,AB为O的直径,C
4、为O上一点,CEAB于点E,O的切线BD交OC的延长线于点D.(2)若BAC=30,AC=2,求CD的长.图Z2-3图Z2-4图Z2-43.2020东城区二模如图Z2-5,ABC内接于O,AB为直径,过点O作AB的垂线,交AC于点D,分别延长BC,OD交于点F,过点C作O的切线CE,交OF于点E.(1)求证:EC=ED;(2)如果OA=4,EF=3,求弦AC的长.图Z2-5解:(1)证明:如图,连接OC,CE与O相切,OC是O的半径,OCCE,OCA+ACE=90.OA=OC,A=OCA,ACE+A=90.ODAB,ODA+A=90,ODA=CDE,CDE+A=90,CDE=ACE,EC=ED
5、.3.2020东城区二模如图Z2-5,ABC内接于O,AB为直径,过点O作AB的垂线,交AC于点D,分别延长BC,OD交于点F,过点C作O的切线CE,交OF于点E.(2)如果OA=4,EF=3,求弦AC的长.图Z2-54.2020石景山区一模如图Z2-6,AB是O的直径,直线PQ与O相切于点C,以OB,BC为边作 OBCD,连接AD并延长交O于点E,交直线PQ于点F.(1)求证:AFCF;(2)连接OC,BD交于点H,若tanOCB=3,O的半径是5,求BD的长.图Z2-6解:(1)证明:四边形OBCD是平行四边形,DCOB,DC=OB,AO=OB,DCAO,DC=AO,四边形OCDA是平行四
6、边形,AFOC.直线PQ与O相切于点C,OC是半径,OCQ=90,AFC=OCQ=90,即AFCF.4.2020石景山区一模如图Z2-6,AB是O的直径,直线PQ与O相切于点C,以OB,BC为边作 OBCD,连接AD并延长交O于点E,交直线PQ于点F.(2)连接OC,BD交于点H,若tanOCB=3,O的半径是5,求BD的长.图Z2-6类型二判断直线与圆的位置关系(2019,22)直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种,对应的交点个数分别是2个,1个,0个.证明直线和圆O相切(有一个交点),一般有两种情况,一是连半径,证垂直;二是作垂直,证半径.在连半径,证垂直时,证明直角的方法主要有:(1
7、)根据角的数量关系,证明两角相加为90;(2)利用全等,转移直角;(3)利用平行,转移直角.例1 2019北京22题在平面内,给定不在同一直线上的点A,B,C,如图Z2-7所示.点O到点A,B,C的距离均等于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD.(1)求证:AD=CD;(2)过点D作DEBA,垂足为E,作DFBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求直线DE与图形G的公共点个数.【分层分析】(1)根据圆的定义判断图形G是ABC的外接圆,根据条件补全图形;由角平分线可以得到圆周角相等,进而得到对应弧相等,由弧等
8、得到弦等,即可证明AD=CD.图Z2-7例1 2019北京22题在平面内,给定不在同一直线上的点A,B,C,如图Z2-7所示.点O到点A,B,C的距离均等于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD.(2)过点D作DEBA,垂足为E,作DFBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求直线DE与图形G的公共点个数.【分层分析】(2)要判断直线DE与图形G的公共点个数,即判断直线DE与图形G的位置关系.先观察图形,猜测是相切的位置关系,由于点D已经在圆上,因此连接半径OD,证明OD垂直于DE,即可证明相切的位置关系.其中
9、得到BC是直径是解题关键.图Z2-7【配练】2020广渠门中学模拟题改编如图Z2-8,在平面内给定ABC,AB=AC,点O到ABC的三个顶点的距离均等于c(c为常数),到点O的距离等于c的所有点组成图形G,过点A作AB的垂线交BC于点E,交图形G于点D,延长DA,在DA的延长线上存在一点F,使得ABF=ABC.(1)依题意补全图形;(2)判断直线BF与图形G交点的个数并证明.图Z2-8解:(1)如图,作AB,AC的垂直平分线交于点O,以O为圆心,OB长为半径作圆,O为图形G.【配练】2020广渠门中学模拟题改编如图Z2-8,在平面内给定ABC,AB=AC,点O到ABC的三个顶点的距离均等于c(
10、c为常数),到点O的距离等于c的所有点组成图形G,过点A作AB的垂线交BC于点E,交图形G于点D,延长DA,在DA的延长线上存在一点F,使得ABF=ABC.(2)判断直线BF与图形G交点的个数并证明.图Z2-8解:(2)直线BF与图形G的交点只有一个.证明如下:如图,连接BD,ADAB,BAD=90,BD是直径,ADB+ABD=90,AB=AC,ACB=ABC,ACB=ADB,ABF=ABC,ABF=ADB,ABF+ABD=90,DBF=90,BDBF,且OB是半径,BF是O的切线,直线BF与图形G的交点只有一个.题型精练1.2020延庆区一模如图Z2-9,AB是O的直径,点C是O上的一点,点
11、D是弧BC的中点,连接AC,BD,过点D作AC的垂线EF,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F.(1)依题意补全图形;(2)判断直线EF与O的位置关系,并说明理由;(3)若AB=5,BD=3,求线段BF的长.图Z2-9解:(1)补全图形如图.1.2020延庆区一模如图Z2-9,AB是O的直径,点C是O上的一点,点D是弧BC的中点,连接AC,BD,过点D作AC的垂线EF,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F.(2)判断直线EF与O的位置关系,并说明理由;图Z2-9解：(2)相切,理由如下:如图,连接OD.点D是弧BC的中点,BOD=FAE.ODAE.FDO=E.AEEF,E=90.F
12、DO=90.又OD是O的半径,直线EF与O相切.1.2020延庆区一模如图Z2-9,AB是O的直径,点C是O上的一点,点D是弧BC的中点,连接AC,BD,过点D作AC的垂线EF,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F.(3)若AB=5,BD=3,求线段BF的长.图Z2-9图Z2-10解:(1)证明:OB=OD,OBD=ODB.FC=BC,CFB=CBF.ODAC,DGF=90,ODB+DFG=90.CFB=DFG,ODB+CFB=OBD+CBF=OBC=90,OBBC,OB是O的半径,BC是O的切线.图Z2-103.2020朝阳区一模如图Z2-11,在ABC中,AB=3,AC=4,BC=5
13、.在同一平面内,ABC内部一点O到AB,AC,BC的距离都等于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G.(1)直接写出a的值.(2)连接BO并延长,交AC于点M,过点M作MNBC于点N.求证:BMA=BMN;求直线MN与图形G的公共点个数.图Z2-11解:(1)a=1.3.2020朝阳区一模如图Z2-11,在ABC中,AB=3,AC=4,BC=5.在同一平面内,ABC内部一点O到AB,AC,BC的距离都等于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G.(2)连接BO并延长,交AC于点M,过点M作MNBC于点N.求证:BMA=BMN;图Z2-11解：(2)证明:由题意可知图形
14、G是以O为圆心,a为半径的圆,AB,AC,BC与O相切,ABM=NBM.AB=3,AC=4,BC=5,A=90.MNBC,A=BNM=90.BMA=BMN.3.2020朝阳区一模如图Z2-11,在ABC中,AB=3,AC=4,BC=5.在同一平面内,ABC内部一点O到AB,AC,BC的距离都等于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G.(2)连接BO并延长,交AC于点M,过点M作MNBC于点N.求直线MN与图形G的公共点个数.图Z2-11解：如图,设O与AC的切点为D,连接OD,过点O作OEMN于点E.ODAC.OD=OE.OE为O的半径.MN为O的切线.直线MN与图形G的公共点个数为1.
