1、安徽中考安徽中考 常见最值问题常见最值问题将军饮马将军饮马1竹子系本科生0A+B+C+D=360 x(2-6)竹子系本科生直 击 安 徽 中 考竹子系本科生x(2-6)PART 01将 军 饮 马 1竹子系本科生0A+B+C+D=360 x(2-6)竹子系本科生引例：引例：35ABCDPABSS矩形31竹子系本科生0A+B+C+D=360 x(2-6)竹子系本科生35ABCDPABSS矩形31S矩形ABCD=AB AD =5 3 =15 =5 ABCDPABSS矩形311531PEABSPAB215521PE即：PE=2 55E两两定定一一动动“将军饮马将军饮马”竹子系本科生0A+B+C+D=
2、360 x(2-6)竹子系本科生 唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说：唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题如图所示，诗中将军诗中隐含着一个有趣的数学问题如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边点出发，走到河边m饮马后再到饮马后再到B点宿点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？营请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军
3、专程去拜访他，向他请教一物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题个百思不得其解的问题.将军每天从军营将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为从此，这个被称为“将军饮马将军饮马”的问题广泛流传的问题广泛流传将将 军军 饮饮 马马（ynyn）竹子系本科生0A+B+C+D=360 x(2-6)竹子系本科生 一般做法：作点 B（A）关于直线的对称点B，连接 BA，BA 与直线交点即为所求点。BA即为最短距离。理由：B为 B
4、的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 BP=BP。所以 PA+PB=PA+PB。这样问题就化成了求 A到 B的最短距离，直接相连就可以了。原理：原理：两点间线段最短。竹子系本科生0A+B+C+D=360 x(2-6)竹子系本科生 做法：作点 B（A）关于直线l的对称点B，连接 BA，BA 与直线交点即为所求点。BA即为最短距离。l解：设PAB中AB边上的高是PE5353131ABCDPABSS矩形PEPEABSPAB2521 PE=2 动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上如图，作B关于直线l的对称点B，连接AB，则AB就是所求的最短距离。在RtABE中，AB=5，BB=2+
5、2=4，41452222BBABAB41小值PB即PA为的最E竹子系本科生0A+B+C+D=360 x(2-6)竹子系本科生引例：引例：D竹子系本科生0A+B+C+D=360 x(2-6)竹子系本科生PRAT 01 将军饮马将军饮马1 总结：总结：特征：特征：（1）两个定点两个定点一个动点，即一个动点，即“两定两定一动一动”（2）定点在）定点在动点轨迹动点轨迹l（即（即对称轴对称轴）的同侧）的同侧（3）求动点到两个定点距离和的最小值（如：）求动点到两个定点距离和的最小值（如：PA+PB）解法：解法：（1）关于）关于动点轨迹动点轨迹l（即（即对称轴对称轴）作一个定点（如：）作一个定点（如：B）的
6、对称点）的对称点(B)（2）连接对称点（）连接对称点（B）和另一个定点（）和另一个定点（A）（3）连线（即）连线（即AB）与）与动点轨迹动点轨迹m（即（即对称轴对称轴）交点）交点Q即所求动点。即所求动点。原理：原理：两点间线段最短两点间线段最短Pl竹子系本科生0A+B+C+D=360 x(2-6)竹子系本科生针对练习针对练习1：如图如图,在正方形在正方形ABCD中中,E是是AB上一点上一点,BE=2,AE=3BE,P是是AC上一动点。则当上一动点。则当PB+PE的值为最小值时的值为最小值时,点点P的位置在的位置在()A.AC的三等分点的三等分点 B.AC的中点的中点C.连接连接DE与与AC的交
7、点的交点 D.以上答案都不对以上答案都不对解：解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小。四边形ABCD是正方形，B、D关于AC对称，PB=PD，PB+PE=PD+PE=DE.根据两点之间线段最短，所以此时PB+PE的值最小。故P点即为所求；故选C.C竹子系本科生0A+B+C+D=360 x(2-6)竹子系本科生针对练习针对练习2：如图，在边长为如图，在边长为4的正方形的正方形ABCD中，中，E是是AB边上的一点，且边上的一点，且AE=3，点，点Q为对角线为对角线AC上的动点，则上的动点，则BEQ周长的最小值为周长的最小值为_.解：解：连接BD，DE，四边形ABCD是正
8、方形，点B与点D关于直线AC对称，DE的长即为BQ+QE的最小值，BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6.故答案为：6.5342222AEADQEBQDE6竹子系本科生0A+B+C+D=360 x(2-6)竹子系本科生针对练习针对练习3：如图如图,一个牧童在小河的南一个牧童在小河的南4km的的A处牧马处牧马,而他正位于他的小屋而他正位于他的小屋B的西的西8km北北7km处处,他想把他的马牵到小河边去饮水他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是()A.15 km B.16 km C.17 km D.18 km解：解：如
9、图,作出A点关于小河MN的对称点A,连接AB交MN于点P，则AB就是牧童要完成这件事情所走的最短路程。在RtADB中，由勾股定理求得 则他要完成这件事情所走的最短路程是17km.故选C.kmDBDABA178)447(2222C竹子系本科生0A+B+C+D=360 x(2-6)竹子系本科生针对练习针对练习4：如图如图,抛物线抛物线y=x2+bx+c与与x轴交于轴交于A(1,0),B(3,0)两点。两点。(1)求该抛物线的解析式；求该抛物线的解析式；(2)设设(1)中的抛物线交中的抛物线交y轴与轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得使得QAC的周长最小
10、的周长最小?若存在，求出若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；点的坐标；若不存在，请说明理由；解：解：(1)将A(1,0),B(3,0)代y=x2+bx+c中得抛物线解析式为：y=x22x+3;(2)存在理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=1对称直线BC与x=1的交点即为Q点，此时AQC周长最小0=c+3b-9-0=c+b+1 3c-2=b解得：y=x22x+3C的坐标为：(0,3)直线BC解析式为：y=x+3(6分)Q点坐标即为Q(1,2)。3xy-1x 2y-1=x解得：竹子系本科生0A+B+C+D=360 x(2-6)竹子系本科生PRAT 01 将军饮马将军饮马1 总
11、结：总结：特征：特征：（1）两个定点两个定点一个动点，即一个动点，即“两定两定一动一动”（2）定点在）定点在动点轨迹动点轨迹l（即（即对称轴对称轴）的同侧）的同侧（3）求动点到两个定点距离和的最小值（如：）求动点到两个定点距离和的最小值（如：PA+PB）解法：解法：（1）关于）关于动点轨迹动点轨迹l（即（即对称轴对称轴）作一个定点（如：）作一个定点（如：B）的对称点）的对称点(B)（2）连接对称点（）连接对称点（B）和另一个定点（）和另一个定点（A）（3）连线（即）连线（即AB）与）与动点轨迹动点轨迹m（即（即对称轴对称轴）交点）交点Q即所求动点。即所求动点。Pl原理：原理：两点间线段最短两点间线段最短竹子系本科生谢谢观赏谢谢观赏
