1、人教版九年级数学中考复习专题中考复习专题运动中的直角三角形运动中的直角三角形知识梳理已知点已知点A、B和直线和直线l，在，在l上求点上求点P，使，使PAB为直角三角形为直角三角形（1）过点过点A作作AB的垂线，垂线与的垂线，垂线与l的交点的交点P1即为所有即为所有P点点，即BAP=90（2）过点过点B作作AB的垂线，垂线与的垂线，垂线与l的交点的交点P4即为所有即为所有P点点,即ABP=90（3）以线段以线段AB为直径作圆，圆与为直径作圆，圆与l的交点的交点P2,P3即为所有即为所有P点点，APB=90分别表示出点分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的
2、长度，的长度，由由AB2BP2AP2、BP2AB2AP2、AP2AB2BP2，分别列方程解出坐标，分别列方程解出坐标。或作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系方法指导例如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象过例如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象过C(6，6)，并与，并与x轴交于原点轴交于原点O和和A(4，0)，且抛物线顶点为，且抛物线顶点为D.(1)求此抛物线的表达式；求此抛物线的表达式；典例精析典例精析例题图解：解：抛物线图象与抛物线图象与x轴交于原点轴交于原点O和点和点A(4，0)，设抛物线的表达式为设抛物线的表达式为ya(x0)(x4)(a0)，把把C(
3、6，6)代入得，代入得，66a2，解得解得 ，即此抛物线的表达式为即此抛物线的表达式为 ；(2)连接连接OD,OC，DC，判断，判断OCD的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；温馨提示：温馨提示：判断判断OCD的形状，可先目测，得到的形状，可先目测，得到初步猜想初步猜想OCD为直角三角形，进而证明，得出结为直角三角形，进而证明，得出结论，在这里论，在这里DOC90的判断方法可根据勾股定的判断方法可根据勾股定理的逆定理由三角形的边长入手，也可以从角度入理的逆定理由三角形的边长入手，也可以从角度入手，甚至可以考虑圆的直径所对的圆周角是手，甚至可以考虑圆的直径所对的圆周角是90.解：解：OCD是直
4、角三角形，理由如下：是直角三角形，理由如下：由勾股定理得：由勾股定理得：OC2626272，抛物线对称轴为抛物线对称轴为 D点坐标为点坐标为(2，2)，如解图如解图，过点，过点C作作CF垂直于对称轴于点垂直于对称轴于点F，则，则F(2，6)，OD222(2)28，在在RtCFD中，中，CF4，DF8，DC2CF2DF2428280，OC2OD2CD2，OCD是直角三角形；是直角三角形；(3)在x轴上是否存在一点E，使COE是以OC为斜边的直角三角形；温馨提示：温馨提示：要使要使COE是以是以OC为斜边的直角为斜边的直角三角形，则三角形，则OEC90，故过点，故过点C作作x轴的垂线，垂足即为所求
5、轴的垂线，垂足即为所求E点点解：存在过点解：存在过点C作作CEx轴于点轴于点E，则，则COE是以是以OC为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形C点的坐标为点的坐标为(6，6)，E点的坐标为点的坐标为(6，0)，CEOE，COE是是OC为斜边的直角三角形；为斜边的直角三角形；(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使，使DCF是以是以DC为直角边的直为直角边的直角三角形，若存在，求出点角三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；温馨提示：温馨提示：要使要使DCF是以是以DC为直角边的直角三角形，为直角边的直角三角形，需考虑点需
6、考虑点D和点和点C哪个点为直角顶点，而点哪个点为直角顶点，而点D在对称轴上，在对称轴上，则则CDF90，故只需对点，故只需对点C是直角顶点的情况进行是直角顶点的情况进行分析即可分析即可解：存在，理由如下：CDF90，只可能DCF90，抛物线的解析式为y x22x，抛物线的对称轴为直线x2，点F在对称轴上，如图，过点C作CFDC交抛物线对称轴于点F，CE垂直于对称轴于点E，则E(2，6)，设F(2，a)，DC280,DF2(a2)2，在RtCEF中，EF|a6|，EC4，CF2EF2CE2(a6)24216(a6)2，由题意得：由题意得：DF2CF2DC2，即即(a2)216(6a)280，解得
7、解得a8，F点的坐标为点的坐标为(2，8)；(5)在抛物线上是否存在一点在抛物线上是否存在一点N，使，使DCN为直角三角形若存在，求出点为直角三角形若存在，求出点N的的坐标；若不存在，说明理由；坐标；若不存在，说明理由；温馨提示：温馨提示：要使要使DCN为直角三角形，需对哪个为直角三角形，需对哪个点作直角顶点进行讨论，故需分点作直角顶点进行讨论，故需分DCN90，CDN90，DNC90这三种情况讨论这三种情况讨论解：存在，理由如下：解：存在，理由如下：分以下三种情况讨论：分以下三种情况讨论：当当DCN90时，如图，时，如图，D(2，2)，C(6，6)，直线直线DC的解析式为的解析式为y2x6，
8、CDCN1，设直线设直线CN1的解析式为的解析式为y xn，把(6，6)代入得n9，直线CN1的解析式为y x9，联立直线CN1的解析式与抛物线的解析式可得解得 N1()；当当CDN90时，时，点点N2在抛物线上，在抛物线上，故可设点故可设点N2的坐标为的坐标为(x，x22x)，如图，过点，如图，过点C作作CMx轴，轴，N2Mx轴交于点轴交于点M，N2M交对称轴于点交对称轴于点H，D(2，2)，C(6，6)，在在RtCN2M中，中，N2M2(6x)2.在在RtN2DH中，中，N2H2(2x)2，HD2DN2N2H2HD2(2x)2(x22x2)2，CDN290，CD280，在在RtCDN2中，
9、中，CN2DN2CD2，即即(x22x6)2(6x)2(2x)2(x22x2)280，解得解得x11，x22(舍去舍去)将将x1代入代入y x22x中得中得y ，N2(1，)；当当DNC90时，如图，时，如图，由由(2)知以知以CD为直径的圆与抛物线交于点为直径的圆与抛物线交于点O，C，D，此时点此时点N与点与点O重合，重合，N3(0，0)综上所述，存在满足条件的三个点综上所述，存在满足条件的三个点N，坐标分别为，坐标分别为 N3(0，0)；(6)连接连接AD，点，点M是抛物线上一点，在平面内是否存在一点是抛物线上一点，在平面内是否存在一点N，使得以点，使得以点A，D，M，N为顶点的四边形是以
10、为顶点的四边形是以AD为一边的矩形，若存在，求出点为一边的矩形，若存在，求出点N的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由温馨提示：温馨提示：以点以点A，D，M，N为顶点的四边形是以为顶点的四边形是以AD为一边的矩形，分两种情况：为一边的矩形，分两种情况：MDAD；AMAD，分别求点，分别求点N的坐标即可的坐标即可解：存在点解：存在点N的坐标为的坐标为N1(2，2)，N2(4，4)由由(1)(2)知知A(4，0)，D(2，2)，易得易得AD的函数表达式为的函数表达式为yx4.以以A，D，M，N为顶点的四边形是以为顶点的四边形是以AD为一边的矩形，为一边的矩形，当当MDAD时，设直线时，设直线MD的函数表达式为的函数表达式为yxt，将点将点D(2，2)代入得代入得t0，此时，此时MD的函数表达式为的函数表达式为yx，联立联立解得此时点M的坐标为(0，0)，由矩形的中心对称性质可知，点N1的坐标为(2，2)；当当AMAD时，同理可得直线时，同理可得直线AM的函数表达式为的函数表达式为yx4，联立联立 解得解得此时点此时点M的坐标为的坐标为(2，6)，由矩形中心对称性质可知，点，由矩形中心对称性质可知，点N2的坐的坐标为标为(4，4)综上所述，点综上所述，点N的坐标为的坐标为N1(2，2)，N2(4，4)
