1、初三年级 数学例说线段的最值问题一、线段最值问题的知识概要二、线段最值问题的两类几何模型三、线段最值问题的主要解答方法与典型例题一、线段最值问题的知识概要知识概要代数方面两点之间线段最短直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短函数的增减性与最值线段的最值问题几何方面二、线段最值问题的两类几何模型第一类几何模型（第一种情况）：第一类几何模型（第一种情况）：已知：如图，定点A，B分布在定直线l两侧.求作：在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.第一类几何模型（第一种情况）：第一类几何模型（第一种情况）：已知：如图，定点A，B分布在定直线l两侧.求作：在直线l上找一点P，使得PA+PB
2、的值最小.作法：连接AB交直线l于点P，点P即为所求，PA+PB的最小值即为线段AB的长度.第一类几何模型（第一种情况）：第一类几何模型（第一种情况）：第一类几何模型（第二种情况）：第一类几何模型（第二种情况）：已知：如图，定点A，B分布在定直线l同侧.求作：在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.第一类几何模型（第二种情况）：第一类几何模型（第二种情况）：第一类几何模型（第二种情况）：第一类几何模型（第二种情况）：第二类几何模型（第一种情况）：第二类几何模型（第一种情况）：已知：如图，P为O内异于圆心的定点.求作：在圆上找一点M，使得PM最长或最短.第二类几何模型（第一种情况）：第二类几
3、何模型（第一种情况）：已知：如图，P为O内异于圆心的定点.求作：在圆上找一点M，使得PM最长或最短.作法：作O的直径AB经过点P，则连接点P和圆上任意一点的线段中，PA最短，PB最长.第二类几何模型（第一种情况）：第二类几何模型（第一种情况）：.,.+PBPAABMOM PMOPMPMPOOMOMOAPMPOOAPM POPOPAPMPA显然，在圆上任取异于，的一点，连接在中，即证明：第二类几何模型（第一种情况）：第二类几何模型（第一种情况）：.OPMOMPOPMOMOBOBPOPMPBPMMPPAPB在中，即由于点的任意性，可知连接点 和圆上任意一点的线段中，最短，最长第二类几何模型（第一种
4、情况）：第二类几何模型（第一种情况）：.,.PBPAABMOM PMOPMOMPOPMOMOAOAPOPMPAPM显然，在圆上任取异于，的一点，连接在中，即证明：第二类几何模型（第一种情况）：第二类几何模型（第一种情况）：.OPMPMPOOMOMOBPMPOOBPMOBPOPMBPMPPAPB在中，即由于点的任意性，可知连接点 和圆上任意一点的线段中，最短，最长第二类几何模型（第二种情况）：第二类几何模型（第二种情况）：已知：如图，P为O外一定点.求作：在圆上找一点M，使得PM最长或最短.第二类几何模型（第二种情况）：第二类几何模型（第二种情况）：已知：如图，P为O外一定点.求作：在圆上找一点
5、M，使得PM最长或最短.作法：连接PO并延长，交O于点A，B.则连接点P和圆上任意一点的线段中，PA最短，PB最长.三、线段最值问题的主要解答方法与典型例题典型例题典型例题1 1：如图，直线 与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为多少？此时PC+PD的最小值为多少？243yx分析：分析：如图，直线 与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为多少？此时PC+PD的最小值为多少？243yx符合第一类几何模型（第二种情况）的特征.分析：分析：
6、根据“两点之间线段最短”可得此时PC+PD的值最小.OO分析：分析：CD为ABO的中位线，可得CD=OA；1212O解答过程：解答过程：,.240,4,3240,6,3,1/3.2CDDxDCDxPPCPDyxxyByxyxAC DAB OBCDABOCDxCDAO 解：连接，作点 关于 轴的对称点连接交 轴于点，此时的值最小令中的则点 的坐标(0,4).令中的解得点 的坐标(-6,0).点分别为线段的中点，为的中位线.轴，且解答过程：解答过程：O2222/,12133=222Rt=345,5.DDxODDOPCDOPODCDDDOPCDPCDDCDCDDDPCPD点和点 关于 轴对称，为的中
7、点.，点 坐标(-,0).在中，即的最小值为小结：小结：1.本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合的重要性.典型例题典型例题2 2：分析：分析：CM的长为定值.分析：分析：可构造RtCMF，利用勾股定理求出CM的长；分析：分析：分析：分析：解答过程：解答过程：,601160.2MMFDCFMAAMCACABCDAMADMAMDADFDM解：过点作于点是定值,当 在上时，的长度取最小值.在菱形中，为中点，解答过程：解答过程：221130=.223=cos30=.2=+=7.=71.FMDFDMDFM MDMCFMCFAC MCMA，小结：
8、小结：“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.分析：分析：分析：分析：分析：分析：根据第二类几何模型（第二种情况）可知；解答过程：解答过程：.,AMNMNAMNAMAMAMAMMCMAACMMFDCF解：沿所在直线翻折得到，点 在以点为圆心，以为半径的半圆上.连接与交于点，此时的值最小过点作于点解答过程：解答过程：22601160.21130=.223=cos30=.2=+=7.=71.ABCDAMADMAMDADFDMFMDFDMDFM MDMCFMCFAC MCMA在菱形中，为中点，小结：小结：典型例
9、题典型例题3 3：如图，在RtABC中，A=90，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，则EF的最小值为多少？分析：分析：如图，在RtABC中，A=90，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，则EF的最小值为多少？可得四边形AEPF为矩形；根据矩形的对角线相等这一性质可将EF转化为AP.分析：分析：依据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.”分析：分析：可知当APBC时，AP最小.解答过程：解答过程：9090.APBACPEABPFAC,BACAEPAFPAEPFEFAPEFAP 解：连接，四边形是矩形.，即要使最小，
10、只要最小即可.解答过程：解答过程：9043,5.114 3=5.22=2.42.4.AAPBCPAPBACBACAC=AB=BC=APAPEF 过点 作于，此时最小.在Rt中，由勾股定理可得由等积法得，即的最小值为小结：小结：1.当P点为主动点，E，F为从动点（随P点动）时，我们应该将与从动点有关的线段优先转化为与主动点相关的线段，这是解决这一系列问题的共同思路.2.类似于二元一次方程组的“消元法”，将双动点问题转化为单动点问题，往往能将问题简化.小结：小结：3.此题中我们巧妙地运用了矩形的定义和性质，提醒同学们今后要注意解答此类问题时应用特殊图形的性质与判定.典型例题典型例题4 4：如图，直
11、线 与抛物线 相交于A(，)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C.（1）求抛物线的表达式.（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.2yx260yaxbxa1252yx分析：分析：如图，直线 与抛物线 相交于A(，)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C.（1）求抛物线的表达式.2yx260yaxbxa1252yx待定系数法求抛物线的表达式yx分析：分析：（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不
12、存在，请说明理由.P，C两点横坐标相同；线段PC的长度随P，C横坐标的变化而变化.yx分析：分析：设点P的横坐标为n；PC长度表示为关于n的函数；在自变量n的取值范围内可求出函数PC长度的最大值.yx解答过程：解答过程：222=4+2=661 54 62 2511=2=6,.222=-861646286.BmyxmBABaabbabyxx解：（1）点（4，）在直线上,，（4，）.（，），（，）在抛物线上,解得抛物线的表达式为yx解答过程：解答过程：22222226142226=2949492+.480,949=.48P nnC nnnnPCnnnnnnPCnPC（）设（，），则（，-8）,由题
13、意知，（）-（-8）-（-）当时，线段最大且为小结：小结：本题是平面直角坐标系中线段最值问题，可将待求线段的长表示为关于自变量的函数.其中，自变量的取值范围会决定因变量取值范围，因而同学们必须先确定自变量范围.小结与反思：小结与反思：数学思想：转化、数形结合.作业：作业：如图，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且始终满足PAB=PBC，则线段CP长的最小值为多少？解答过程：解答过程：90,+90.,+90.90.ABCABPPBCPABPBCBAPABPAPBABOOPOAOBPOOA 解：取的中点，点 在以 为圆心，以为半径的圆弧上.解答过程：解答过程：=4=3=5=2.2.OCOPPCBCOBCOBOCPC OCOPPC连接交于点，此时最小.在Rt中，即最小值为小结：小结：此道作业题构造“辅助圆”的突破口在于发现动点与两定点连线的夹角为确定值；若点P在ABC外部，则CP长存在最大值；若APB为非直角时，则作ABP的外接圆，此时AB为非直径的弦.祝同学们身体健康、学业有成！同学们再见！
