1、重难突破专题(五)特殊三角形存在性问题题型解读特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形或直角三角形.解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论,避免漏解.类型一等腰三角形存在性问题例1 如图Z5-1,已知点A(-1,0)和点B(1,2),在坐标轴上存在定点P,使得ABP为等腰三角形,则满足这样条件的点P共有()A.6个B.7个C.8个D.9个图Z5-1【方法点析】求解等腰三角形(ABC)的存在性问题有两种基本方法:(1)代数法:适用于三角形(ABC)的边长容易由勾股定理求解的情况.步骤如下:根据点的坐标,表示出AB2,BC2,CA2;根据等腰三角形的性质,可得到三个方程:AB2
2、=BC2,BC2=CA2,CA2=AB2;分别解这三个方程,若能得到方程有解,则这个解即为所求;若方程无解,则不存在这样的三角形.(2)几何法(两圆一线法):利用数形结合,先找点,再计算.已知线段AB,在平面内找一点C,使得ABC为等腰三角形,满足条件的点C在如图Z5-2所示的以点A,B为圆心,以线段AB长为半径的圆上(除圆上与AB在一条直线上的4个点),或在线段AB的垂直平分线上(除与AB在一条直线上的点).若要求点C在某一条曲线上,则点C为该曲线与上图的交点.图Z5-2答案C解析 如图所示:以A为圆心,以AB为半径作圆与坐标轴交于4个点,这4个点符合点P的要求,分别记作:P1,P2,P3,
3、P4;以B为圆心,以AB为半径作圆与坐标轴交于4个点,其中有3个点符合点P的要求,分别记作:P5,P6,P7;作AB的垂直平分线交坐标轴于两个点,其中有1个点符合点P的要求,记作P8.满足这样条件的点P共有8个.故选C.例2 如图Z5-3,直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).(1)求点A,B的坐标.(2)求抛物线对应的函数表达式.(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【分层分析】(1)分别令x=0,y=0求解.图Z5-3解:(1)直线y=3x+3,当x=0时,y
4、=3,当y=0时,x=-1,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(0,3).例2 如图Z5-3,直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).(2)求抛物线对应的函数表达式.【分层分析】(2)根据A,B,C三点坐标即可求出抛物线对应的函数表达式.图Z5-3例2 如图Z5-3,直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【分层分析】(3)先求出抛物线的对称轴,ABQ是等腰三角形可分为哪几
5、种情况?设出Q点坐标,根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标.图Z5-3类型二直角三角形存在性问题例3 (1)如图Z5-4,已知点A(-1,0)和点B(1,2),在x轴上确定点P,使得ABP为直角三角形,则满足这样条件的点P的坐标是;(2)如图,已知点A(-1,0)和点B(1,2),在y轴上确定点P,使得ABP为直角三角形,则满足条件的点P共有个;(3)如图,已知点A(-1,0)和点B(1,2),在坐标轴上确定点P,使得ABP为直角三角形,则满足这样条件的点P共有个.图Z5-4例3 (1)如图Z5-4,已知点A(-1,0)和点B(1,2),在x轴上确定点P,使得ABP为直角三角形,则满足这
6、样条件的点P的坐标是;【分层分析】(1)设点P的坐标为(x,0),可求得AP,AB,PB的值,再利用勾股定理分类列方程求解;图Z5-4答案(1,0)或(3,0)例3 (2)如图,已知点A(-1,0)和点B(1,2),在y轴上确定点P,使得ABP为直角三角形,则满足条件的点P共有个;【分层分析】(2)分别以A,B,P为直角顶点,找出符合条件的点P即可;图Z5-4答案4解析以A为直角顶点,过A作直线垂直于AB,与y轴交于一点P,这一点符合点P的要求;以B为直角顶点,过B作直线垂直于AB,与y轴交于一点P,这一点也符合P点的要求;以P为直角顶点,以AB为直径画圆,与y轴有2个交点.满足条件的点P共有
7、4个.例3 (3)如图,已知点A(-1,0)和点B(1,2),在坐标轴上确定点P,使得ABP为直角三角形,则满足这样条件的点P共有个.【分层分析】(3)解法同(2).图Z5-4答案6解析 以B为直角顶点,可过B作直线垂直于AB,与坐标轴交于两点,这两点符合P点的要求;以A为直角顶点,可过A作直线垂直于AB,与坐标轴交于一点,这一点符合点P的要求;以P为直角顶点,可以AB为直径画圆,与坐标轴共有3个交点(舍去点A).满足条件的点P共有6个.【方法点析】求解直角三角形的存在性问题的常用方法有两种:(1)代数法:设出一个点的坐标,表示出AB2,BC2,CA2,分三种情况:AB2=BC2+CA2;BC
8、2=CA2+AB2;CA2=AB2+BC2,根据不同的情况建立方程求解.(2)几何法(两线一圆):如图Z5-5,已知线段AB,在平面内找一点C使得ABC为直角三角形,这样的点C的集合如图Z5-5所示(分别过点A,B作线段AB的垂线;以AB为直径画圆,除点A,B以外的点都可以与点A,B构成直角三角形,这个模型简称“两线一圆”).图Z5-5例4 如图Z5-6,抛物线y=ax2+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点,与y轴交于点C,连结AB,AC,BC.(1)求抛物线的表达式.(2)求证:AB平分CAO.(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得ABM是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求
9、出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z5-6例4 如图Z5-6,抛物线y=ax2+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点,与y轴交于点C,连结AB,AC,BC.(1)求抛物线的表达式.【分层分析】(1)用待定系数法即可求得抛物线的表达式;图Z5-6例4 如图Z5-6,抛物线y=ax2+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点,与y轴交于点C,连结AB,AC,BC.(2)求证:AB平分CAO.【分层分析】(2)利用等腰三角形的等边对等角和平行线性质即可得出结论;图Z5-6(2)证明:当x=0时,y=-4,C(0,-4),AO=3,OC=4,AC=5.B(5,-4),BC=5,BC
10、x轴,B=CAB,B=BAO,CAB=BAO,AB平分CAO.例4 如图Z5-6,抛物线y=ax2+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点,与y轴交于点C,连结AB,AC,BC.(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得ABM是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【分层分析】(3)用几何法:过A,B分别作AB的垂线,与抛物线对称轴的交点即为点M,利用三角函数可求出相关线段长度,从而求出M点坐标;用代数法:设M点坐标,再分别表示出AM,BM,求出AB,利用勾股定理列出方程即可求解.图Z5-6 题型精练1.如图Z5-7,在平行四边形ABCD中,AB=7
11、cm,BC=4 cm,A=30.点P从点A出发沿着AB边向点B运动,速度为1 cm/s.连结PD,若设运动时间为t(s),则当t=s时,ADP为等腰三角形.图Z5-7答案2.如图Z5-8,在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),B(2,-3).试问坐标轴上是否存在一点P,使得ABP为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z5-8图Z5-9(1)求反比例函数与一次函数的表达式;图Z5-94.如图Z5-10,已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.(1)求抛物线对应的函数表达式.(2)在(1)中二次函数
12、的第二象限的图象上是否存在一点P,使POB与POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点Q是y轴上一点,且ABQ为直角三角形,求点Q的坐标.图Z5-104.如图Z5-10,已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.(1)求抛物线对应的函数表达式.图Z5-10解:(1)把(1,-4)的坐标代入y=kx-6,得k=2,直线AB对应的函数表达式为y=2x-6.令y=0,解得x=3,点B的坐标是(3,0).点A为抛物线的顶点,设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-1)2-4,把B(3,0)的坐标代入,得4a
13、-4=0,解得a=1,抛物线对应的函数表达式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3.4.如图Z5-10,已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P,使POB与POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z5-104.如图Z5-10,已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.(3)若点Q是y轴上一点,且ABQ为直角三角形,求点Q的坐标.图Z5-10图Z5-11图Z5-11图Z5-11
14、图Z5-11图Z5-116.2019龙东地区如图Z5-12,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB在x轴上,AB,BC的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根(BCAB),OA=2OB,边CD交y轴于点E,动点P以每秒1个单位长度的速度从点E出发沿折线段EDDA向点A运动,运动时间为t(0tAB),OA=2OB,边CD交y轴于点E,动点P以每秒1个单位长度的速度从点E出发沿折线段EDDA向点A运动,运动时间为t(0tAB,BC=4,AB=3,OA=2OB,OA=2,OB=1,四边形ABCD是矩形,点D的坐标为(-2,4).6.2019龙东地区如图Z5-12,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB在x轴上,AB,BC的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根(BCAB),OA=2OB,边CD交y轴于点E,动点P以每秒1个单位长度的速度从点E出发沿折线段EDDA向点A运动,运动时间为t(0tAB),OA=2OB,边CD交y轴于点E,动点P以每秒1个单位长度的速度从点E出发沿折线段EDDA向点A运动,运动时间为t(0t6)秒,设BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S.(3)在点P的运动过程中,是否存在点P,使BEP为等腰三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z5-12
