1、专题九专题九 二次函数压二次函数压轴题轴题类型五类型五 平行四边形判定平行四边形判定问题问题例5(2018自贡)如图，抛物线yax2bx3过点A(1，0)，B(3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为2，点P(m，n)是线段AD上的动点(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段 PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使以P、Q、D、R四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由例5题图典例精析D(2，_)，Q(m，)，lPQ .(1)【自主作答【自
2、主作答】3m22m3m2m2解：(1)将A(1，0)，B(3，0)，代入得 ，得 ，抛物线的解析式为yx22x3.当x2时，y3，点D的坐标为(2，3)，设直线AD的解析式为ykxc，代入点A(1，0)，D(2，3)，有 ，解得 ，直线AD的解析式为yx1；3 0933 0a bab 12ab023k ck c 11kc(2)【思维教练】由(1)可得直线AD和抛物线的解析式，将点P、Q坐标用含m的式子表示出来，其纵坐标相减为PQ的长度l，从而求得l与m的关系式，最后利用二次函数的性质，求得m的值及PQ的最大值【自主作答】(2)点P(m，n)在直线AD上，nm1，点P的坐标为(m，m1)，点Q的
3、坐标为(m，m22m3)，lm1(m22m3)m2m2，10，当m 时，l有最大值，最大值为 ；112(1)2 4(1)2 1 94(1)4 (3)【思维教练】根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，当PQ为平行四边形的边时，可分PQ1和PQ2两种情况讨论；当PQ为平行四边形对角线，可得DR的长，根据中点坐标公式得到点R的坐标【自主作答】(3)存在，点R的坐标为(2，2)，(2，4)，(2，1)，(2，5)，(0，3)，(2，1)【解法提示解法提示】由(2)可知0PQ ，PQ可取的整数为1或2.当PQ为平行四边形的边时，DR即为平行于PQ的另一条边()当PQ1时，DR1，D(2，
4、3)，R(2，2)或(2，4)；()当PQ2时，DR2，D(2，3)，R(2，1)或(2，5)；94当PQ为平行四边形的对角线时，DR则为该平行四边形的另一条对角线，点P在线段AD上，2m1，要使得点R的横、纵坐标均为整数，则m可取1，0，设PQ与DR的交点为F，则点F的坐标为(m，)D(2，3)，R(2m2，m23m1)当m1时，R(0，3)，当m0时，R(2，1)，综上所述，满足题意的点R的坐标有(2，2)，(2，4)，(2，1)，(2，5)，(0，3)，(2，1)2342mm【方法指导】已知问题找点已知三个点 已知平面上不共线三个点A、B、C，求一点P，使得A、B、C、P四个点组成平行四
5、边形 连接AB、AC、BC，分别过点A、B、C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所有点P分别求出直线P1P2，P2P3，P3P1的解析式，再求出交点即为P点；可由点的平移来求坐标已知问题找点已知两个点 已知平面上两个点A、B，求两点P、Q，使得A、B、P、Q四个点组成平行四边形(题目中P、Q的位置有具体限制)分两种情况讨论：若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P、Q的位置；若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P、Q的位置通过点的平移，构造全等三角形来求坐标；由中点坐标公式可得坐标系中 APBQ的四个点A、P、B、Q的坐标满足xAxBxPxQ，yAyByPyQ
