1、题型八二次函数与几何图形综合题类型二特殊三角形存在性问题类型二特殊三角形存在性问题【例例2】(2020通辽通辽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与与x轴交于点轴交于点A，B，与，与y轴交于点轴交于点C.且直线且直线yx6过点过点B，与，与y轴交于点轴交于点D，点，点C与点与点D关于关于x轴对称，点轴对称，点P是线段是线段OB上一动点，过点上一动点，过点P作作x轴的垂线交抛物线于轴的垂线交抛物线于点点M，交直线，交直线BD于点于点N.(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；(2)当当MDB的面积最大时，求点的面积最大时，求点P的坐标；的坐标；
2、(3)在在(2)的条件下，在的条件下，在y轴上是否存在点轴上是否存在点Q，使得以，使得以Q，M，N三点为顶点的三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理的坐标；若不存在，说明理由由【分析分析】(1)易知点易知点C的坐标，结合点的坐标，结合点B的坐标，利用待定系数法求出表达式；的坐标，利用待定系数法求出表达式；(2)设出点设出点P坐标坐标，表示出线段表示出线段MN的长的长，列出面积公式列出面积公式，用二次函数性质即可用二次函数性质即可求解；求解；(3)分分QMN，MNQ，MQN为直角时三种情况讨论求解为直角时三种情况讨论求解
3、解：解：(1)易知点易知点B(6，0)，点，点D(0，6).点点C与点与点D关于关于x轴对称，轴对称，C(0，6).把把B，C点坐标代入点坐标代入yx2bxc，得抛物线的表达式为得抛物线的表达式为yx25x6；1直角三角形的存在性问题直角三角形的存在性问题问题：问题：已知点已知点A，B，在抛物线上找一点，在抛物线上找一点C，使以点使以点A，B，C为顶点的三角为顶点的三角形是直角三角形形是直角三角形找点：找点：(1)连接连接AB，以以AB为直角边为直角边，过点过点A，B分别作分别作AB的垂线的垂线，与抛物与抛物线的交点即为点线的交点即为点C；(2)以以AB为斜边为斜边，作作AB为直径的圆与抛物线
4、的交点即为为直径的圆与抛物线的交点即为点点C.求点坐标：求点坐标：将直角三角形各边的长将直角三角形各边的长AB,AC，BC用含参数的代数式表示出用含参数的代数式表示出来来，根据勾股定理分根据勾股定理分AB，BC，AC为斜边为斜边，列方程求解列方程求解，若方程无解若方程无解，则则点坐标不存在点坐标不存在2等腰三角形的存在性问题等腰三角形的存在性问题问题：问题：已知点已知点A，B，在抛物线上找一点，在抛物线上找一点C，使以点使以点A、点、点B、点、点C为顶点的为顶点的三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形找点：找点：(1)连接连接AB，作作AB的垂直平分线的垂直平分线，与抛物线的交点即为点与抛物线的
5、交点即为点C；(2)分分别以点别以点A、点、点B为圆心为圆心，AB长为半径作弧与抛物线的交点即为点长为半径作弧与抛物线的交点即为点C.求点坐标：求点坐标：利用两点间距离公式利用两点间距离公式.将等腰三角形各边的长将等腰三角形各边的长AB,AC,BC用含参用含参数的代数式表示出来数的代数式表示出来，最后根据等腰三角形两腰相等分情况讨论分最后根据等腰三角形两腰相等分情况讨论分ABAC，ABBC，ACBC，列方程求解列方程求解，若方程无解若方程无解，则点坐标不存在则点坐标不存在注：注：解出未知数的值要进行检验解出未知数的值要进行检验，若出现三个顶点共线或不合题意的点若出现三个顶点共线或不合题意的点，
6、要舍去要舍去1(甘肃模拟甘肃模拟)如图，抛物线与如图，抛物线与x轴交于轴交于A，B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C(0，2)，点点A的坐标是的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点为抛物线上的一个动点，过点P作作PDx轴于点轴于点D，交，交直线直线BC于点于点E，抛物线的对称轴是直线，抛物线的对称轴是直线x1.(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；(2)若点若点P在第二象限内，且在第二象限内，且PE OD，求，求PBE的面积；的面积；(3)在在(2)的条件下，若的条件下，若M为直线为直线BC上一点，在上一点，在x轴的上方，是否存在点轴的上方，是否存在点M，使使BDM是以
7、是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由2(2020广元广元)如图，直线如图，直线y2x10分别与分别与x轴，轴，y轴交于点轴交于点A，B两两点点点点C为为OB的中点，抛物线的中点，抛物线yx2bxc经过经过A，C两点两点(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；(2)点点D是直线是直线AB下方的抛物线上的一点，且下方的抛物线上的一点，且ABD的面积为的面积为 ，求点求点D的坐标；的坐标；(3)点点P为抛物线上一点若为抛物线上一点若APB是以是以AB为直角边的直角三角形，为直角边的直角三角形，求点
8、求点P到抛物线的对称轴的距离到抛物线的对称轴的距离3(2019阜新阜新)如图，抛物线如图，抛物线yax2bx2交交x轴于点轴于点A(3，0)和点和点B(1，0)，交，交y轴于点轴于点C.(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；(2)点点D的坐标为的坐标为(1，0)，点，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形求四边形ADCP面积的最大值；面积的最大值；(3)点点M为抛物线对称轴上的点，在抛物线上是否存在点为抛物线对称轴上的点，在抛物线上是否存在点N，使使MNO为等腰直角三角形，且为等腰直角三角形，且MNO为直角？为直角？若存在，请求出点若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由
